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等差數(shù)列說課稿

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等差數(shù)列說課稿

  等差數(shù)列說課稿(一)

等差數(shù)列說課稿

  本節(jié)課講述的是人教版高一數(shù)學(xué)(上)§3.2等差數(shù)列(第一課時)的內(nèi)容。

  一、教材分析

  1、教材的地位和作用:

  數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用,而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分;另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上,對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了學(xué)習(xí)對比的依據(jù)。

  2、教學(xué)目標(biāo)

  根據(jù)教學(xué)大綱的要求和學(xué)生的實際水平,確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)

  a在知識上:理解并掌握等差數(shù)列的概念;了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想;初步引入"數(shù)學(xué)建模"的思想方法并能運用。

  b在能力上:培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力;在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下,把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列,培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力;通過階梯性練習(xí),提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

  c在情感上:通過對等差數(shù)列的研究,培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神;養(yǎng)成細心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。

  3、教學(xué)重點和難點

  根據(jù)教學(xué)大綱的要求我確定本節(jié)課的教學(xué)重點為:

 、俚炔顢(shù)列的概念。

  ②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。

  由于學(xué)生第一次接觸不完全歸納法,對此并不熟悉因此用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的同項公式是這節(jié)課的一個難點。同時,學(xué)生對"數(shù)學(xué)建模"的思想方法較為陌生,因此用數(shù)學(xué)思想解決實際問題是本節(jié)課的另一個難點。

  二、學(xué)情分析對于三中的高一學(xué)生,知識經(jīng)驗已較為豐富,他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段,具備了教強的抽象思維能力和演繹推理能力,所以我在授課時注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點,從而促進思維能力的進一步發(fā)展。

  二、教法分析

  針對高中生這一思維特點和心理特征,本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法,通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲,使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實踐活動,以獨立思考和相互交流的形式,在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

  三、學(xué)法指導(dǎo)在引導(dǎo)分析時,留出學(xué)生的思考空間,讓學(xué)生去聯(lián)想、探索,同時鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑,圍繞中心各抒己見,把思路方法和需要解決的問題弄清。

  四、教學(xué)程序

  本節(jié)課的教學(xué)過程由(一)復(fù)習(xí)引入(二)新課探究(三)應(yīng)用舉例(四)反饋練習(xí)(五)歸納小結(jié)(六)布置作業(yè),六個教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。

 。ㄒ唬⿵(fù)習(xí)引入:

  1.從函數(shù)觀點看,數(shù)列可看作是定義域為__________對應(yīng)的一列函數(shù)值,從而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的______ .(N﹡;解析式)

  通過練習(xí)1復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容,為本節(jié)課用函數(shù)思想研究數(shù)列問題作準(zhǔn)備。

  2. 小明目前會100個單詞,他她打算從今天起不再背單詞了,結(jié)果不知不覺地每天忘掉2個單詞,那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為: 100,98,96,94,92   ①

  3. 小芳只會5個單詞,他決定從今天起每天背記10個單詞,那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞增為 5,10,15,20,25    ②

  通過練習(xí)2和3 引出兩個具體的等差數(shù)列,初步認(rèn)識等差數(shù)列的特征,為后面的概念學(xué)習(xí)建立基礎(chǔ),為學(xué)習(xí)新知識創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生的求知欲。由學(xué)生觀察兩個數(shù)列特點,引出等差數(shù)列的概念,對問題的總結(jié)又培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)知能力。

 。ǘ 新課探究

  1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念:

  如果一個數(shù)列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù),這個數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d來表示。強調(diào):

 、 "從第二項起"滿足條件;

 、诠頳一定是由后項減前項所得;

 、勖恳豁椗c它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(強調(diào)"同一個常數(shù)" );

  在理解概念的基礎(chǔ)上,由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,歸納出數(shù)學(xué)表達式:

  an+1-an=d   (n≥1)

  同時為了配合概念的理解,我找了5組數(shù)列,由學(xué)生判斷是否為等差數(shù)列,是等差數(shù)列的找出公差。

  1.  9 ,8,7,6,5,4,……;√

  2.  0.70,0.71,0.72,0.73,0.74……;√

  3. 0,0,0,0,0,0,……; √

  4. 1,2,3,2,3,4,……;×

  5. 1,0,1,0,1,……×

  其中第一個數(shù)列公差<0, 第二個數(shù)列公差>0,第三個數(shù)列公差=0

  由此強調(diào):公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù),也可以是0

  2、第二個重點部分為等差數(shù)列的通項公式

  在歸納等差數(shù)列通項公式中,我采用討論式的教學(xué)方法。給出等差數(shù)列的首項,公差d,由學(xué)生研究分組討論的通項公式。通過總結(jié)的通項公式由學(xué)生猜想的通項公式,進而歸納的通項公式。整個過程由學(xué)生完成,通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作意識又化解了教學(xué)難點。

  若一等差數(shù)列{ }的首項是a1,公差是d,

  則據(jù)其定義可得:

  a2 - a1 =d 即: a2 =a1 +d

  a3 – a2 =d 即: a3 =a2 +d = a1 +2d

  a4 – a3 =d 即: a4 =a3 +d = a1 +3d

  ……

  猜想: a40 = a1 +39d

  進而歸納出等差數(shù)列的通項公式:

  1(1)

  此時指出:這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法,這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密,為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法------迭加法:

  a2 – a1 =d

  a3 – a2 =d

  a4 – a3 =d

  ……

  an – an-1=d

  將這(n-1)個等式左右兩邊分別相加,就可以得到   an– a1= (n-1) 即 an= a1+(n-1)  (1)

  當(dāng)n=1時,(1)也成立,

  所以對一切n∈N﹡,上面的公式都成立

  因此它就是等差數(shù)列{}的通項公式。

  在迭加法的證明過程中,我采用啟發(fā)式教學(xué)方法。

  利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學(xué)生寫出n-1個等式。

  對照已歸納出的通項公式啟發(fā)學(xué)生想出將n-1個等式相加。證出通項公式。

  在這里通過該知識點引入迭加法這一數(shù)學(xué)思想,逐步達到"注重方法,凸現(xiàn)思想" 的教學(xué)要求

  接著舉例說明:若一個等差數(shù)列{an}的首項是1,公差是2,得出這個數(shù)列的通項公式是:an=1+(n-1)×2 ,即an=2n-1    以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用

  同時要求畫出該數(shù)列圖象,由此說明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n一次函數(shù),其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。用函數(shù)的思想來研究數(shù)列,使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。

 。ㄈ⿷(yīng)用舉例

  這一環(huán)節(jié)是使學(xué)生通過例題和練習(xí),增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用,提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向?qū)W生表明:要用運動變化的觀點看等差數(shù)列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的關(guān)系。當(dāng)其中的部分量已知時,可根據(jù)該公式求出另一部分量。

  例1 (1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項;第30項;第40項

 。2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項?如果是,是第幾項?

  在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固等差數(shù)列通項公式;第二問實際上是求正整數(shù)解的問題,而關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an

  例2 在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a12 =31,求首項a1與公差d.

  在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當(dāng)作練習(xí)作為對通項公式的鞏固

  例3  是一個實際建模問題

  建造房屋時要設(shè)計樓梯,已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米,第三層離地面5.8米,若樓梯設(shè)計為等高的16級臺階,問每級臺階高為多少米?

  這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)學(xué)生注意每級臺階"等高"使學(xué)生想到每級臺階離地面的高度構(gòu)成等差數(shù)列,引導(dǎo)學(xué)生將該實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型------等差數(shù)列:(學(xué)生討論分析,分別演板,教師評析問題。問題可能出現(xiàn)在:項數(shù)學(xué)生認(rèn)為是16項,應(yīng)明確a1為第2層的樓底離地面的高度,a2表示第一級臺階離地面的高度而第16級臺階離地面高度為a17,可用課件展示實際樓梯圖以化解難點)

  設(shè)置此題的目的:1.加強同學(xué)們對應(yīng)用題的綜合分析能力,2.通過數(shù)學(xué)實際問題引出等差數(shù)列問題,激發(fā)了學(xué)生的興趣;3.再者通過數(shù)學(xué)實例展示了"從實際問題出發(fā)經(jīng)抽象概括建立數(shù)學(xué)模型,最后還原說明實際問題的"數(shù)學(xué)建模"的數(shù)學(xué)思想方法

 。ㄋ模┓答伨毩(xí)

  1、小節(jié)后的練習(xí)中的第1題和第2題(要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)完成)。目的:使學(xué)生熟悉通項公式,對學(xué)生進行基本技能訓(xùn)練。

  2、書上例3)梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中間還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列。計算中間各級的寬度。

  目的:對學(xué)生加強建模思想訓(xùn)練。

  3、若數(shù)例{} 是等差數(shù)列,若 =   ,(為常數(shù))試證明:數(shù)列{}是等差數(shù)列

  此題是對學(xué)生進行數(shù)列問題提高訓(xùn)練,學(xué)習(xí)如何用定義證明數(shù)列問題同時強化了等差數(shù)列的概念。

 。ㄎ澹w納小結(jié)(由學(xué)生總結(jié)這節(jié)課的收獲)1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達式。

  強調(diào)關(guān)鍵字:從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)

  2.等差數(shù)列的通項公式 an= a1+(n-1) 會知三求一

  3.用"數(shù)學(xué)建模"思想方法解決實際問題

 。┎贾米鳂I(yè)

  必做題:課本P114 習(xí)題3.2第2,6 題

  選做題:已知等差數(shù)列{an}的首項a1= -24,從第10項開始為正數(shù),求公差d的取值范圍。(目的:通過分層作業(yè),提高同學(xué)們的求知欲和滿足不同層次的學(xué)生需求)

  五、板書設(shè)計

  在板書中突出本節(jié)重點,將強調(diào)的地方如定義中,"從第二項起"及"同一常數(shù)"等幾個字用紅色粉筆標(biāo)注,同時給學(xué)生留有作題的地方,整個板書充分體現(xiàn)了精講多練的教學(xué)方法。

  §3.2  等差數(shù)列

  一、等差數(shù)列

  1、定義

  注:"從第二項起"及"同一常數(shù)"用紅色粉筆標(biāo)注

  二、等差數(shù)列的通項公式

  例題與練習(xí)

  等差數(shù)列說課稿(二)

  本節(jié)課講述的是人教版高一數(shù)學(xué)(上)§3.2等差數(shù)列(第一課時)的內(nèi)容。

  一、教材分析

  1、教材的地位和作用:

  數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用,而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分;另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上,對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了學(xué)習(xí)對比的依據(jù)。

  2、教學(xué)目標(biāo)

  根據(jù)教學(xué)大綱的要求和學(xué)生的實際水平,確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)

  a在知識上:理解并掌握等差數(shù)列的概念;了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想;初步引入"數(shù)學(xué)建模"的思想方法并能運用。

  b在能力上:培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力;在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下,把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列,培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力;通過階梯性練習(xí),提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

  c在情感上:通過對等差數(shù)列的研究,培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神;養(yǎng)成細心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。

  3、教學(xué)重點和難點

  根據(jù)教學(xué)大綱的要求我確定本節(jié)課的教學(xué)重點為:

 、俚炔顢(shù)列的概念。

 、诘炔顢(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。

  由于學(xué)生第一次接觸不完全歸納法,對此并不熟悉因此用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的同項公式是這節(jié)課的一個難點。同時,學(xué)生對"數(shù)學(xué)建模"的思想方法較為陌生,因此用數(shù)學(xué)思想解決實際問題是本節(jié)課的另一個難點。

  二、學(xué)情分析對于三中的高一學(xué)生,知識經(jīng)驗已較為豐富,他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段,具備了教強的抽象思維能力和演繹推理能力,所以我在授課時注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點,從而促進思維能力的進一步發(fā)展。

  二、教法分析

  針對高中生這一思維特點和心理特征,本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法,通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲,使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實踐活動,以獨立思考和相互交流的形式,在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

  三、學(xué)法指導(dǎo)在引導(dǎo)分析時,留出學(xué)生的思考空間,讓學(xué)生去聯(lián)想、探索,同時鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑,圍繞中心各抒己見,把思路方法和需要解決的問題弄清。

  四、教學(xué)程序

  本節(jié)課的教學(xué)過程由(一)復(fù)習(xí)引入(二)新課探究(三)應(yīng)用舉例(四)反饋練習(xí)(五)歸納小結(jié)(六)布置作業(yè),六個教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。

  (一)復(fù)習(xí)引入:

  1.從函數(shù)觀點看,數(shù)列可看作是定義域為__________對應(yīng)的一列函數(shù)值,從而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的______ .(N﹡;解析式)

  通過練習(xí)1復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容,為本節(jié)課用函數(shù)思想研究數(shù)列問題作準(zhǔn)備。

  2. 小明目前會100個單詞,他她打算從今天起不再背單詞了,結(jié)果不知不覺地每天忘掉2個單詞,那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為: 100,98,96,94,92   ①

  3. 小芳只會5個單詞,他決定從今天起每天背記10個單詞,那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞增為 5,15,25,35,45    ②

  通過練習(xí)2和3 引出兩個具體的等差數(shù)列,初步認(rèn)識等差數(shù)列的特征,為后面的概念學(xué)習(xí)建立基礎(chǔ),為學(xué)習(xí)新知識創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生的求知欲。由學(xué)生觀察兩個數(shù)列特點,引出等差數(shù)列的概念,對問題的總結(jié)又培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)知能力。

 。ǘ 新課探究

  1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念:

  如果一個數(shù)列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù),這個數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d來表示。強調(diào):

 、 "從第二項起"滿足條件;

 、诠頳一定是由后項減前項所得;

 、勖恳豁椗c它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(強調(diào)"同一個常數(shù)" );

  在理解概念的基礎(chǔ)上,由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,歸納出數(shù)學(xué)表達式:

  an+1-an=d   (n≥1)

  同時為了配合概念的理解,我找了5組數(shù)列,由學(xué)生判斷是否為等差數(shù)列,是等差數(shù)列的找出公差。

  1.  9 ,8,7,6,5,4,……;√ d=-1

  2.  0.70,0.71,0.72,0.73,0.74……;√ d=0.01

  3. 0,0,0,0,0,0,……; √ d=0

  4. 1,2,3,2,3,4,……;×

  5. 1,0,1,0,1,……×

  其中第一個數(shù)列公差<0, 第二個數(shù)列公差>0,第三個數(shù)列公差=0

  由此強調(diào):公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù),也可以是0

  2、第二個重點部分為等差數(shù)列的通項公式

  在歸納等差數(shù)列通項公式中,我采用討論式的教學(xué)方法。給出等差數(shù)列的首項,公差d,由學(xué)生研究分組討論a4 的通項公式。通過總結(jié)a4的通項公式由學(xué)生猜想a40的通項公式,進而歸納an的通項公式。整個過程由學(xué)生完成,通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作意識又化解了教學(xué)難點。

  若一等差數(shù)列{an }的首項是a1,公差是d,

  則據(jù)其定義可得:

  a2 - a1 =d 即: a2 =a1 +d

  a3 – a2 =d 即: a3 =a2 +d = a1 +2d

  a4 – a3 =d 即: a4 =a3 +d = a1 +3d

  ……

  猜想: a40 = a1 +39d

  進而歸納出等差數(shù)列的通項公式:

  an=a1+(n-1)d

  此時指出:這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法,這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密,為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法------迭加法:

  a2 – a1 =d

  a3 – a2 =d

  a4 – a3 =d

  ……

  an – an-1=d

  將這(n-1)個等式左右兩邊分別相加,就可以得到   an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d (1)

  當(dāng)n=1時,(1)也成立,

  所以對一切n∈N﹡,上面的公式都成立

  因此它就是等差數(shù)列{an}的通項公式。

  在迭加法的證明過程中,我采用啟發(fā)式教學(xué)方法。

  利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學(xué)生寫出n-1個等式。

  對照已歸納出的通項公式啟發(fā)學(xué)生想出將n-1個等式相加。證出通項公式。

  在這里通過該知識點引入迭加法這一數(shù)學(xué)思想,逐步達到"注重方法,凸現(xiàn)思想" 的教學(xué)要求

  接著舉例說明:若一個等差數(shù)列{an}的首項是1,公差是2,得出這個數(shù)列的通項公式是:an=1+(n-1)×2 ,即an=2n-1    以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用

  同時要求畫出該數(shù)列圖象,由此說明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n一次函數(shù),其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。用函數(shù)的思想來研究數(shù)列,使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。

 。ㄈ⿷(yīng)用舉例

  這一環(huán)節(jié)是使學(xué)生通過例題和練習(xí),增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用,提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向?qū)W生表明:要用運動變化的觀點看等差數(shù)列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的關(guān)系。當(dāng)其中的部分量已知時,可根據(jù)該公式求出另一部分量。

  例1 (1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項;第30項;第40項

 。2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項?如果是,是第幾項?

  在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固等差數(shù)列通項公式;第二問實際上是求正整數(shù)解的問題,而關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an

  例2 在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a12 =31,求首項a1與公差d.

  在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當(dāng)作練習(xí)作為對通項公式的鞏固

  例3  是一個實際建模問題

  建造房屋時要設(shè)計樓梯,已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米,第三層離地面5.8米,若樓梯設(shè)計為等高的16級臺階,問每級臺階高為多少米?

  這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)學(xué)生注意每級臺階"等高"使學(xué)生想到每級臺階離地面的高度構(gòu)成等差數(shù)列,引導(dǎo)學(xué)生將該實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型------等差數(shù)列:(學(xué)生討論分析,分別演板,教師評析問題。問題可能出現(xiàn)在:項數(shù)學(xué)生認(rèn)為是16項,應(yīng)明確a1為第2層的樓底離地面的高度,a2表示第一級臺階離地面的高度而第16級臺階離地面高度為a17,可用課件展示實際樓梯圖以化解難點)

  設(shè)置此題的目的:1.加強同學(xué)們對應(yīng)用題的綜合分析能力,2.通過數(shù)學(xué)實際問題引出等差數(shù)列問題,激發(fā)了學(xué)生的興趣;3.再者通過數(shù)學(xué)實例展示了"從實際問題出發(fā)經(jīng)抽象概括建立數(shù)學(xué)模型,最后還原說明實際問題的"數(shù)學(xué)建模"的數(shù)學(xué)思想方法

 。ㄋ模┓答伨毩(xí)

  1、小節(jié)后的練習(xí)中的第1題和第2題(要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)完成)。目的:使學(xué)生熟悉通項公式,對學(xué)生進行基本技能訓(xùn)練。

  2、書上例3)梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中間還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列。計算中間各級的寬度。

  目的:對學(xué)生加強建模思想訓(xùn)練。

  3、若數(shù)列{an} 是等差數(shù)列,若 bn = k an ,(k為常數(shù))試證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

  此題是對學(xué)生進行數(shù)列問題提高訓(xùn)練,學(xué)習(xí)如何用定義證明數(shù)列問題同時強化了等差數(shù)列的概念。

  (五)歸納小結(jié)(由學(xué)生總結(jié)這節(jié)課的收獲)1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達式。

  強調(diào)關(guān)鍵字:從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)

  2.等差數(shù)列的通項公式 an= a1+(n-1) d會知三求一

  3.用"數(shù)學(xué)建模"思想方法解決實際問題

 。┎贾米鳂I(yè)

  必做題:課本P114 習(xí)題3.2第2,6 題

  選做題:已知等差數(shù)列{an}的首項a1= -24,從第10項開始為正數(shù),求公差d的取值范圍。(目的:通過分層作業(yè),提高同學(xué)們的求知欲和滿足不同層次的學(xué)生需求)

  五、板書設(shè)計

  在板書中突出本節(jié)重點,將強調(diào)的地方如定義中,"從第二項起"及"同一常數(shù)"等幾個字用紅色粉筆標(biāo)注,同時給學(xué)生留有作題的地方,整個板書充分體現(xiàn)了精講多練的教學(xué)方法。

  等差數(shù)列說課稿(三)

  一、教材分析

  1、地位和作用

  數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的函數(shù),是一種重要的數(shù)學(xué)模型。高中數(shù)列研究的主要對象是等差、等比兩個基本數(shù)列。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列的前n項和公式及其簡單應(yīng)用。它與前面學(xué)過的等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)有著密切的聯(lián)系;同時,又為后面學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項和、數(shù)列求和等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。并且等差數(shù)列前n項和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ),與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容(函數(shù)、三角、不等式等)有著密切的聯(lián)系。因此,本節(jié)課既是本章的重點也是教材的重點。

  2、重、難點分析

  等差數(shù)列前n項和公式是數(shù)列中學(xué)習(xí)的第一個求和公式,這個公式的推導(dǎo)過程運用了倒序相加法,學(xué)生不但可以掌握數(shù)列中一類重要的求和方法,同時也為后面求和作好思想上的引導(dǎo)與知識上的準(zhǔn)備。因此,我把本節(jié)課的重難點設(shè)定如下:

 。1)重點:等差數(shù)列前n項和公式的理解、推導(dǎo)及簡單應(yīng)用

 。2)難點:①對公式推導(dǎo)過程中歸納出一般規(guī)律的理解與領(lǐng)會

  ②靈活應(yīng)用公式解決一些簡單的有關(guān)問題

  二、教學(xué)目標(biāo)

  根據(jù)本課的教材特點、新大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求、學(xué)生身心發(fā)展的合理需要,我從三個不同的方面確定了以下教學(xué)目標(biāo):

  【知識與技能】(直接性目標(biāo))

  掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路;會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的問題。

  【過程與方法】(發(fā)展性目標(biāo))

  通過公式的推導(dǎo)和公式的運用,使學(xué)生體會從特殊到一般,再從一般到特殊的思維規(guī)律,初步形成認(rèn)識問題,解決問題的思路和方法;通過公式推導(dǎo)的過程教學(xué),對學(xué)生進行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練,提高學(xué)生的思維水平。

  【情感態(tài)度價值觀】(可持續(xù)性目標(biāo))

  通過公式的推導(dǎo)過程,展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對稱美。體會模仿與創(chuàng)新的重要性。使學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感,優(yōu)化思維品質(zhì),提高數(shù)學(xué)的推理能力。

  三、教法學(xué)法

  數(shù)學(xué)是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生良好意志品質(zhì)和美好情感的重要學(xué)科,在教學(xué)中,我們不僅要使學(xué)生獲得知識、提高解題能力,還要讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下學(xué)會學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí),感受數(shù)學(xué)學(xué)科的人文思想,進行理性思考。為此我設(shè)計如下教法和學(xué)法:

  1.教學(xué)方法

  在"以生為本"理念的指導(dǎo)下,充分體現(xiàn)課堂教學(xué)中"教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體"的教學(xué)關(guān)系和"以人為本,以學(xué)定教"的教學(xué)理念,構(gòu)建學(xué)生主動的學(xué)習(xí)活動過程。在教學(xué)策略上我采用:以問題驅(qū)動,層層鋪墊,由特殊到一般的方法啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路,并采用變式題組的形式加強公式的掌握運用。遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,采用探究式教學(xué)。在教學(xué)中注意關(guān)注整個過程和全體學(xué)生,充分調(diào)動學(xué)生積極參與教學(xué)過程的每個環(huán)節(jié)。

  2.學(xué)法指導(dǎo)

  新課標(biāo)的理念倡導(dǎo)"以人為本",強調(diào)"以學(xué)生發(fā)展為核心".因此本節(jié)課給學(xué)生提供以下4種學(xué)習(xí)的機會:

 。1)提供觀察、思考的機會:用親切的語言鼓勵學(xué)生觀察并用學(xué)生自己的語言進行歸納。

 。2)提供操作、嘗試、合作的機會:鼓勵學(xué)生大膽利用資源,發(fā)現(xiàn)問題,討論問題,解決問題。

 。3)提供表達、交流的機會:鼓勵學(xué)生敢想敢說,設(shè)置問題促使學(xué)生愿想愿說。

  (4)提供成功的機會:贊賞學(xué)生提出的問題,讓學(xué)生在課堂中能更多地體驗成功的樂趣。

  四、教學(xué)過程

  "數(shù)學(xué)是思維的體操",課程標(biāo)準(zhǔn)指出,教學(xué)中應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系,通過類比、聯(lián)想、知識的遷移和應(yīng)用等方式,使學(xué)生體會知識間的有機聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)的整體性。為此,在具體教學(xué)過程中,我把本節(jié)課分為以下:"創(chuàng)設(shè)情境 ——課題引入——探究新知——應(yīng)用舉例——課堂小結(jié)——布置作業(yè)"六個階段來完成。

  (一)創(chuàng)設(shè)情境

  引入高斯上小學(xué)時的小故事

 。ㄔO(shè)計意圖:源于歷史,富有人文氣息。激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。)

  問題1:1+2+3+ ? +100=?

  學(xué)生大都聽過數(shù)學(xué)家高斯小學(xué)時的故事,對這個問題很熟悉,因此很快利用高斯首尾配對的方法得出結(jié)果。但是學(xué)生對高斯首尾配對的算法可能只處于簡單的記憶模仿階段,為了促進學(xué)生對這種算法的進一步理解,接著提出下面問題。

  問題2:建筑工地上一堆圓木,從上到下每層的數(shù)目分別為1,2,3,……,9 . 問共有多少根圓木?請用簡便的方法計算。即1+2+3+? + 9=?

  這是求奇數(shù)項和的問題,不能簡單模仿偶數(shù)項求和的方法,需要啟發(fā)學(xué)生觀察中間項5與首、尾兩項1和9的關(guān)系。通過前后比較得出認(rèn)識:高斯"首尾配對"的算法還得分奇數(shù)項、偶數(shù)項兩種情況求和。進而提出有沒有更簡單的方法?

  (設(shè)計意圖:借助幾何圖形的直觀性,引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法:把"全等三角形"倒置,與原圖補成平行四邊形,獲得算法: .)

  問題3:求1到n的正整數(shù)之和,即1+2+3+? +n=?

  1   +   2   + … + n-1   +  n

  n   +  n-1  + … +  2    +  1

  (n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1)

  可知

 。ㄔO(shè)計意圖:從求確定的前n個正整數(shù)之和到求一般項數(shù)的前n個正整數(shù)之和,目的在于讓學(xué)生體驗"倒序相加"這一算法的合理性,從心理上完成對"首尾配對"算法的改進,為下面推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和作好必要的知識鋪墊。)

  (二)課題引入

  問題4:數(shù)列 的前n項和為 ,即 ,

  如何求等差數(shù)列的 呢?(板書本節(jié)課題)

 。ㄔO(shè)計意圖:使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的內(nèi)容)

 。ㄈ┨骄啃轮

  由于有了前面的知識準(zhǔn)備,學(xué)生完全可以自已推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項和公式,教師板書過程即可。

 、

 、

  由①+②,得

  由此得到等差數(shù)列 的前n項和的公式 .

 。ㄔO(shè)計意圖:學(xué)生類比聯(lián)想前面方法,水到渠成的推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項和公式,學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程,獲得了發(fā)現(xiàn)的成就感,優(yōu)化了思維品質(zhì),體會了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,體驗了從特殊到一般的研究方法。教師板書過程規(guī)范解題格式,讓學(xué)生掌握倒序相加法。)

  把 代入 中,就可以得到 .

  引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到:第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)。(www.panasonaic.com)第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關(guān)系,而且是關(guān)于n的"二次函數(shù)",可以與二次函數(shù)進行比較。這兩個公式的共同點都是知道 和n,不同點是第一個公式還需知道 ,而第二個公式是要知道d,解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。

  (四)            應(yīng)用舉例

  例1: 為備戰(zhàn)2008年奧運會,"世界飛人"劉翔的主教練孫海平制定了今年8月1 日至7日的訓(xùn)練計劃:每天的訓(xùn)練量(110米欄訓(xùn)練次數(shù))如下表:

  日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日

  訓(xùn)練量 20 22 24 26 28 30 32

  試求劉翔七天的訓(xùn)練量的總和。

 。ㄔO(shè)計意圖:這是一道根據(jù)課本例題改編的應(yīng)用題目,以劉翔為例,以2008奧運會為背景,可以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動學(xué)習(xí)的主動性,體現(xiàn)在數(shù)學(xué)生活中的廣泛性。同時本題給了許多數(shù)據(jù)信息,既可以利用公式一,也可以利用公式二。通過兩種方法的比較,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件靈活選用公式,便于計算。)

  例2: 已知等差數(shù)列一1O,一6,一2,2,?

 。1)前多少項的和是54?

 。2)用n表示前n項和 ?

 。ㄔO(shè)計意圖:問題一主要練習(xí)公式的逆用,方程思想"知三求一".問題二通過 與n的關(guān)系式加強學(xué)生對公式的進一步認(rèn)識,等差數(shù)列的前n項和 可以看成是項數(shù)n的函數(shù),深化了學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識,從而啟發(fā)學(xué)生從函數(shù)的觀點來研究等差數(shù)列前n項和的最值、單調(diào)性、對稱性等問題,為下一節(jié)課的教學(xué)打下伏筆。)

  反饋練習(xí):由學(xué)生自主板演,教師點評,充分調(diào)動學(xué)生的積極性通過學(xué)生對所學(xué)知識的反饋過程,來了解學(xué)生對知識的掌握情況

 。ㄎ澹 課堂小結(jié)

  1、回顧從特殊到一般的研究方法;

  2、倒序相加的算法,及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;

  3、掌握等差數(shù)列的兩個求和公式及簡單應(yīng)用,及函數(shù)與方程的思想。

 。ㄔO(shè)計意圖:為了使課堂知識條理化、系統(tǒng)化,同時培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)概括能力,教師引導(dǎo)學(xué)生從思想方法和知識內(nèi)容兩方面進行小結(jié))

  (六) 布置作業(yè)

  必做題:課本52頁A組第1、3、6

  選做題:課本53頁B組第4題

 。ㄔO(shè)計意圖:根據(jù)學(xué)生的特點,為了促進數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展,培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力,將課后作業(yè)分為必做題和選做題,達到分層教學(xué)的目的。)

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