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認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)探究簡捷的方法
認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)探究簡捷的方法
錢桂保
。ńK省南京市臨江高級(jí)中學(xué),江蘇南京210000)
摘要:對(duì)數(shù)學(xué)中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等的深入理解,弄清數(shù)學(xué)概念、知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),是數(shù)學(xué)問題解決的必不可少的前提。解題的過程也是在探究命題人在題干中給出的函數(shù)模型產(chǎn)生的過程,通過這種探究體驗(yàn)到考題命制的源與流,感受到了數(shù)學(xué)的魅力。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)問題;解題;探究方法
數(shù)學(xué)問題的解決需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),如運(yùn)用數(shù)學(xué)中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等,并進(jìn)行合理的判斷、推理、演算,因此,對(duì)數(shù)學(xué)中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等的深入理解,弄清數(shù)學(xué)概念、知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),是數(shù)學(xué)問題解決的必不可少的前提。隨著學(xué)習(xí)的深入,理解的深度加深,必然會(huì)對(duì)問題順利、快速解決有積極的影響,理解越是深刻,產(chǎn)生的解法越簡單。
例1.已知函數(shù)f(x)=x2+x+a,(a>0),若f(m)<0,試判斷f(m+1)的符號(hào)?
解法一:∵f (m)<0,代入得:m2+m+a<0,即∴m2+m<-a,因?yàn)閍>0,所以m2+m<0,解得-1<m<0!鄊+1>0而(f m+1)=(m+1)2+(m+1)+a,其中的每一項(xiàng)均大于0,∴f(m+1)>0,即f(m+1)的符號(hào)是正。
上述的解法實(shí)質(zhì)是通過f(m+1)的表達(dá)式的符號(hào)判斷的,但這種解法并不能刻畫此題的背景和實(shí)質(zhì),那么這題的本質(zhì)究竟是什么呢?我們來看解法二。
解法二:若設(shè)f(x)=x2+x+a≤0的解集為A,那么由f(m)<0知m∈A,而要判斷f(m+1)的符號(hào)就相當(dāng)于判斷m+1是否是集合A中的元素。
既然認(rèn)識(shí)到了本題的實(shí)質(zhì)就是判斷m+1與解集A的關(guān)系,那么有沒有更加直觀、更加簡潔的解法呢?若能直接判斷數(shù)m+1與解集A的歸屬關(guān)系,那無疑是最簡單的方法了,正因如此讓我們想到數(shù)形結(jié)合。
解法三:如下圖所示,由于f(x)=x2+x圖像與x軸交點(diǎn)之間的距離MO=1,∵a>0∴f(x)=x2+x+a圖像與x軸交點(diǎn)之間的距離AB<1,由于f(m)<0知:m在區(qū)間(A,B)之間,但m+1必在B右邊,因此:f(m+1)>0,即f(m+1)的符號(hào)是正。
由上可以知道,抓好基本概念的理解,了解其內(nèi)涵和外延,積極探索數(shù)學(xué)命題的本質(zhì),隨著我們對(duì)命題的理解的深刻,必然就會(huì)產(chǎn)生更加簡單的解法。
例2:在等差數(shù)列{an}中,若它的前m項(xiàng)的和Sm=Sn,(m≠n),試求Sm+n的值。
初看本題,涉及到等差數(shù)列概念,自然想到用基本量來解決,即:
解法一:∵{an}是等差數(shù)列,且首項(xiàng)為a1,不妨設(shè)其公差為d,
誠然,用基本量的方法解決等差或等比數(shù)列是一種通性通法,思路自然,結(jié)果正確,但計(jì)算較為煩瑣。若要探討它有沒有更加簡單的解法,這就需要我們對(duì)本題的本質(zhì)更加深刻的理解。事實(shí)上,本題的本質(zhì)并不是等差數(shù)列概念,而是對(duì)等差數(shù)列的若干項(xiàng)和的認(rèn)識(shí),若對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的認(rèn)識(shí)深刻些,如解法二,顯然過程自然簡單些,計(jì)算量也小一些了。
解法二:設(shè)Sn=An2+Bn,Sm=Am2+Bm,
∴Sn-Sm=(An2+Bn)-(Am2+Bm)=(n-m)[A(n+m)+B]=0
即A(n+m)+B=0
而Sm+n=(m+n)[A(n+m)+B],∴Sm+n=0。
本題主要是針對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,明顯簡單。若換一個(gè)角度來審視Sn=An2+Bn這一表達(dá)式,就會(huì)產(chǎn)生出新的解法來,即:
解法三:若考察相對(duì)應(yīng)的函數(shù)Sn=Ax2+Bx,
∵Sm=Sn,它的對(duì)稱軸是x= m+n/2,又∵函數(shù)Sn(x)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),∴它必過另一點(diǎn)(m+n,0),即Sm+n=0.
解法三實(shí)質(zhì)上是采用數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行探究的一種解法,過程明顯簡潔快捷。通過上述幾種不同解法中,不難發(fā)現(xiàn),隨著對(duì)本題的本質(zhì)Sn認(rèn)識(shí)的深刻,由此產(chǎn)生的解法也更加簡單些,可見,不同的思維層次,所產(chǎn)生的解題方法也不同,理解越深刻,解法也就越簡單。
通過上面的論述,對(duì)我們的學(xué)習(xí)有所啟示,有所觸動(dòng),這就是我們要加強(qiáng)理解,不能停留在概念的表面,還要加強(qiáng)理解的深入,認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì),既要縱向,還要橫向,例如高中數(shù)學(xué)教材中P的不等式題,我們一起來橫向理解這道題所蘊(yùn)含的函數(shù)本質(zhì)。
例3.已知a,b,m都是正數(shù),且a<b,求證
這道題的生活背景大家都很清楚,即“杯子里裝有b克糖水,其中含有a克糖的,若在糖水里再添加m克糖(假設(shè)全部融解),那么糖水將會(huì)變得更甜”這一變化的一種數(shù)學(xué)反映,本題的證明,既可用分析法,還可構(gòu)造斜率加以證明,這里不再贅述。
下面我們討論對(duì)此題所蘊(yùn)含的函數(shù)本質(zhì)的探討。我們知道,不等式(或方程)與函數(shù)是密切相關(guān),緊密聯(lián)系的,用函數(shù)的觀點(diǎn)解決不等式(或方程)是一種普遍的思維模式,如何揭示出此題所給的不等式與某個(gè)函數(shù)間的超級(jí)鏈接,是這一解法的關(guān)鍵。顯然這個(gè)等
由此可見,這種用函數(shù)證明不等式的解法,需要對(duì)相應(yīng)函數(shù)的深入認(rèn)識(shí)。以后在解題過程中遇到類似的不等式證明問題,可以通過橫向的對(duì)應(yīng)函數(shù)加以深入研究,探究相應(yīng)不等式的問題的有效解決。
由于變量的選取是自主的,因此相對(duì)應(yīng)的函數(shù)的構(gòu)造可能不止一種,其表達(dá)的形式也是多樣的,但最終結(jié)果卻是一致的,這在證法一、證法二中得到體現(xiàn)。事實(shí)上,解題的過程也是在探究命題人在題干中給出的函數(shù)模型產(chǎn)生的過程,通過這種探究體驗(yàn)到考題命制的源與流,感受到了數(shù)學(xué)的魅力!
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