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小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中對小數(shù)與分數(shù)概念教學(xué)的思考
小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中對小數(shù)與分數(shù)概念教學(xué)的思考
嚴今石
（延邊教育出版社理科編輯室，吉林延吉133000）
摘要：本文對人教版數(shù)學(xué)教科書中“分數(shù)與小數(shù)”部分在概念的教學(xué)以及教材結(jié)構(gòu)方面存在的問題進行了分析，并在此基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)學(xué)科知識和教材編寫的角度，對分數(shù)與小數(shù)的教學(xué)提出一些有針對性的建議，進而對教材中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提出一些想法，力求使“分數(shù)與小數(shù)”內(nèi)容教學(xué)更加科學(xué)，并對進一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)教科書的功能提供參考。
關(guān)鍵詞：小學(xué)；數(shù)學(xué)教科書；分數(shù)；小數(shù)
作者簡介：嚴今石（1971-），女，副編審，碩士，從事數(shù)學(xué)教材的翻譯、編寫和研究工作。
一、引言
分數(shù)歷來是在小學(xué)數(shù)學(xué)中既不易“教”也不易“學(xué)”的內(nèi)容。盡管教科書中對分數(shù)的三種含義都提到了，但教育反饋的結(jié)果表明，大部分學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)完分數(shù)之后，對分數(shù)的認識還停留在其“份數(shù)”定義，而且并不了解小數(shù)、分數(shù)、比的含義。這直接導(dǎo)致應(yīng)用這些概念去解決問題帶來困難。因而，對目前教材中“分數(shù)與小數(shù)”內(nèi)容的編寫以及教材中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)進行反思，針對不足提出編寫建議，就顯得尤為迫切和必要。本文試從“分數(shù)與小數(shù)的意義”的教學(xué)和“教材編寫”兩個方面對小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中概念教學(xué)進行探討。
二、問題的提出
1.在引入小數(shù)概念中存在的問題。人教版數(shù)學(xué)教科書中，對“小數(shù)”概念是通過十進制分數(shù)來建立的，通過舉例的方式，隨即進行歸納，直接提出概念。如通過例子[1]，“把1 米平均分成10份，每份是1分米。1分米是1/10米，還可以寫成0.1米。把1米平均分成100份，每份是1厘米。1厘米是1/100米，還可以寫成0.01米”，來說明小數(shù)的意義，使學(xué)生知道“分母是10、100、1000……的分數(shù)可以用小數(shù)表示”的事實。這里又是借助長度單位，又是利用分數(shù)的意義，說的過于復(fù)雜。
實際意圖是想闡述“1/10還可以寫成0.1，1/100還可以寫成0.01”的規(guī)定，但最終還是沒有講清楚“十進分數(shù)為什么可以用小數(shù)來表示”的道理。這樣做，也許是因為考慮到這個年齡段孩子們的認知能力，但這樣的定義方法就導(dǎo)致學(xué)生可能僅僅知道小數(shù)概念的外延，而無法理解引入小數(shù)概念的必要性，不能深刻地認識概念的本質(zhì)。教材除了在教學(xué)小數(shù)意義時，借助計量單位的十進關(guān)系（如長度單位）來幫助學(xué)生理解外，講小數(shù)的性質(zhì)以及在練習(xí)中也安排了很多根據(jù)十進制計量單位理解小數(shù)的實際意義的練習(xí)。其實，小數(shù)意義的理解要涉及到十進分數(shù)，雖然教科書中在前面安排了“分數(shù)的初步認識”[2]，但是由于在初步認識階段，對這些知識的介紹如“蜻蜓點水”、“一帶而過”，學(xué)生實際上對“分數(shù)”的認識很模糊，對小數(shù)教學(xué)來說，對“什么叫分數(shù)”還沒弄清楚，所以對用它來定義的小數(shù)就不易理解了。
2.分數(shù)內(nèi)容教學(xué)中存在的問題。分數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中的難點和重點，而分數(shù)內(nèi)容的教學(xué)效果一直不太理想。原因何在？我想主要是因為沒有幫助學(xué)生弄清基本概念，因為數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中的核心問題，對它的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生解決實際問題的能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)。事實上，概念本身有自己嚴密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內(nèi)涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。另一方面，概念作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的術(shù)語，也是由于人們認識的不斷深化而不斷發(fā)展變化的。例如，分數(shù)定義，按人們認識發(fā)展的順序，一般有四種情況。分別是份數(shù)定義、商定義、比定義和公理化定義[3]。研究發(fā)現(xiàn)，對“分數(shù)”內(nèi)容，教科書上沒有處理好分數(shù)概念教學(xué)的發(fā)展性和階段性之間的矛盾。
考慮到小學(xué)生的接受能力，結(jié)合兒童認識事物的特點，小學(xué)教科書中側(cè)重從分數(shù)的“份數(shù)定義”[4]、“商定義”[4]、“比定義”[5]這三個層次，分階段引導(dǎo)學(xué)生認識分數(shù)，學(xué)習(xí)分數(shù)，運用分數(shù)。但是，教科書中存在從“份數(shù)定義”向“商定義”和“比定義”過渡過程中處理不夠到位、歸納不完整等一些問題，導(dǎo)致學(xué)生無法認識概念的本質(zhì)。
如教科書中，通過樣例1和樣例2來總結(jié)出“分數(shù)與除法的互逆關(guān)系”，可是例1和例2都是關(guān)于等分物體的題，只能代表得出的結(jié)論對“等分除法”成立，而對除法的另一種實際應(yīng)用“包含除法”能否成立還得經(jīng)過驗證。然而，教材中不僅避開了這種情況的討論，在接下來講的例3（正好是“包含除法”題）里反而用上了此結(jié)論，而得出了另一個結(jié)論：“求一個量是另一個量的幾分之幾，可以用除法計算。[4]”對這樣的解釋，學(xué)生只能認可而無法理解。這直接導(dǎo)致學(xué)生對“分數(shù)與除法關(guān)系”的了解只是停留在表面，沒有從根本上知道其內(nèi)涵，更不能作為分數(shù)意義的進一步擴展來理解。這不但局限了分數(shù)的價值，還給學(xué)生解決分數(shù)問題造成阻礙。
三、對“小數(shù)”與“分數(shù)”數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析
1“。 小數(shù)”的本質(zhì)。目前，教材一般都從小數(shù)與分數(shù)的關(guān)系著手，利用分數(shù)來定義小數(shù)。從小數(shù)與分數(shù)的關(guān)系來看，小數(shù)確實是分數(shù)的一種，十進分數(shù)可以寫成小數(shù)形式，但它并不是小數(shù)的本質(zhì)。從“數(shù)系的擴展”角度來看，小數(shù)和分數(shù)的引入都是計數(shù)單位的擴展，即測量和計算以及分物時不能得到整數(shù)的結(jié)果，就得用更小的計數(shù)單位來表示和測量。其中，從整數(shù)擴展成小數(shù)的具體依據(jù)是“十進位值制記數(shù)原則”。在整數(shù)學(xué)習(xí)中，計數(shù)單位的擴展，尤其是“位值”概念的建立，而且“十進制計數(shù)”，為在建立小數(shù)概念、小數(shù)大小比較以及小數(shù)的運算等方面進行知識遷移提供了基礎(chǔ)。因此，小數(shù)的本質(zhì)在于“十進位值制記數(shù)法”。
2“。 分數(shù)”的本質(zhì)。事實上，分數(shù)是從兩種實際意義中產(chǎn)生的，因而具有兩種具體意義。一種是由測量而產(chǎn)生（對應(yīng)的除法為“包含除法”），另一種是由分物體而產(chǎn)生（對應(yīng)的除法為“等分除法”），還有在理論層面上是由數(shù)學(xué)發(fā)展的需要而產(chǎn)生的（即除法運算得不到整數(shù)的結(jié)果時需要用新的數(shù)來表示）。分數(shù)的本質(zhì)在于“能夠表示不能整除情形下平均分以后得到的那個結(jié)果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然數(shù)，a≠0）時，其商是整數(shù)；不能整除時，其商就是新的數(shù)，我們稱它為分數(shù)。因此，分數(shù)的明確定義，就是兩個自然數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。因而，分數(shù)教學(xué)就需要盡快從“份數(shù)定義”過渡到“商定義”。所謂“份數(shù)”定義只是初步認識時的過渡說法，至于“比”定義則是商定義的引申，其價值在于可用它來定量研究兩個以上事物在量方面的結(jié)構(gòu)關(guān)系。
四、對“小數(shù)”定義的對策和對“分數(shù)”定義及其教學(xué)的建議
1.對“小數(shù)”定義的對策�；谇懊嫠岬降膯栴}和以上的探討，筆者認為可以將整數(shù)中十進制計數(shù)、位值概念的建立等基本構(gòu)造思想和擴展長度單位時所用過的定義方法遷移過來定義小數(shù)。即當(dāng)要表示不是整數(shù)的數(shù)值時，也可以用“把原來計數(shù)單位1平均分成10份后得到的每份”來計數(shù)。這個新的計數(shù)單位用“0.1”來表示，并讀作“零點一”，依此類推就可以得到0.01，0.001，……等其他小數(shù)單位。
這樣，避開分數(shù)來定義小數(shù)對“分數(shù)”教學(xué)也有好處。因為教科書中將“分數(shù)”的初步認識安排在三年級上冊，其目的就是為了建立小數(shù)概念，然后分數(shù)的系統(tǒng)教學(xué)是安排在五年級下冊里。這樣由于兩個階段相距時間較長（正好兩年半），給學(xué)生的理解和記憶造成了一定困難。此外，由于分數(shù)的“產(chǎn)生和含義”都放在了第二階段上，所以系統(tǒng)學(xué)習(xí)時出現(xiàn)了不必要的重復(fù)。對概念下定義的過程，是對概念本質(zhì)特征的一種歸納鞏固過程。對于抽象的概念，過早的下定義，等于是索然無味的簡單灌輸，但定義下得太遲，又使學(xué)生的已有知識呈現(xiàn)零亂狀態(tài)，不能及時地整理和總結(jié)，更不利于概念的定型化。
2.對“分數(shù)”定義及其教學(xué)的建議。筆者認為，關(guān)于“分數(shù)的認識”教學(xué)，既要重視概念的階段性，又要注意到概念發(fā)展的連續(xù)性，要有計劃地發(fā)展概念的含義，按階段發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。因此，建議強調(diào)“分數(shù)與除法的等價性”，講解更透徹一點，使學(xué)生真正認識到“分數(shù)與除法可以互逆，可以看作同一種運算”。對上面提出的問題，把例3改成“10只是7只的幾倍？”和“7只是10只的幾分之幾？”的兩個小題來，說明“分數(shù)與除法的等價性”對包含除法也成立，至于“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，可以用除法計算”的道理，可以利用它們之間的對稱關(guān)系來解釋如下：“求10只是7只的幾倍，就是求10里包含多少個7，所以要算10÷7得多少”。同樣，“求7只是10只的幾分之幾，就是求7里包含多少個10，這里因為7比10小，不能把整個10都包含，但可以包含10的一部分，所以要算7÷10得多少”，在這基礎(chǔ)上對除法的兩種情況進行全面地歸納，得出結(jié)論才符合邏輯，學(xué)生也可以接受。而對數(shù)學(xué)概念不注重引入，只是簡單舉個例子，找出規(guī)律，將概念直接提出來的做法是不科學(xué)的，不利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
五、結(jié)束語
在小學(xué)階段，分數(shù)與小數(shù)概念是非常重要的數(shù)概念，由于分數(shù)與自然數(shù)有著較大的差異，學(xué)生掌握分數(shù)概念比較困難，如果教科書中只是給出了抽象的定義，學(xué)生即便是了解了分數(shù)和小數(shù)的外延，也不一定懂它們的本質(zhì)，對分數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、延伸、變化，更沒有清楚的認識。因而，在編寫教材時，不妨去對潛藏在分數(shù)與小數(shù)概念中的思想作充分的分析，使得學(xué)生掌握概念最核心、最本質(zhì)的特征。這樣，能通過概念教學(xué)，讓學(xué)生把握分數(shù)與小數(shù)的本質(zhì)，體會其中的數(shù)學(xué)思想，從而使得分數(shù)與小數(shù)的教學(xué)取得更好的效果。
參考文獻：
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[2]課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心。義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)三年級（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2007.
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[4]課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心。義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)五年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2009.
[5]課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心。義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)六年級（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2009.
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