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認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)探究簡捷的方法
認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)探究簡捷的方法
錢桂保
�。ńK省南京市臨江高級(jí)中學(xué)，江蘇南京210000）
摘要：對(duì)數(shù)學(xué)中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等的深入理解，弄清數(shù)學(xué)概念、知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，是數(shù)學(xué)問題解決的必不可少的前提。解題的過程也是在探究命題人在題干中給出的函數(shù)模型產(chǎn)生的過程，通過這種探究體驗(yàn)到考題命制的源與流，感受到了數(shù)學(xué)的魅力。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題；解題；探究方法
數(shù)學(xué)問題的解決需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，如運(yùn)用數(shù)學(xué)中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等，并進(jìn)行合理的判斷、推理、演算，因此，對(duì)數(shù)學(xué)中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等的深入理解，弄清數(shù)學(xué)概念、知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，是數(shù)學(xué)問題解決的必不可少的前提。隨著學(xué)習(xí)的深入，理解的深度加深，必然會(huì)對(duì)問題順利、快速解決有積極的影響，理解越是深刻，產(chǎn)生的解法越簡單。
例1.已知函數(shù)f（x）=x2+x+a，（a>0），若f（m）<0，試判斷f（m+1）的符號(hào)？
解法一：∵f （m）<0，代入得：m2+m+a<0，即∴m2+m<-a，因?yàn)閍>0，所以m2+m<0，解得-1<m<0�！鄊+1>0而（f m+1）＝（m＋1）2+（m＋1）+a，其中的每一項(xiàng)均大于0，∴f（m+1）＞0，即f（m+1）的符號(hào)是正。
上述的解法實(shí)質(zhì)是通過f（m+1）的表達(dá)式的符號(hào)判斷的，但這種解法并不能刻畫此題的背景和實(shí)質(zhì)，那么這題的本質(zhì)究竟是什么呢？我們來看解法二。
解法二：若設(shè)f（x）=x2+x+a≤0的解集為A，那么由f（m）<0知m∈A，而要判斷f（m+1）的符號(hào)就相當(dāng)于判斷m+1是否是集合A中的元素。
既然認(rèn)識(shí)到了本題的實(shí)質(zhì)就是判斷m+1與解集A的關(guān)系，那么有沒有更加直觀、更加簡潔的解法呢？若能直接判斷數(shù)m+1與解集A的歸屬關(guān)系，那無疑是最簡單的方法了，正因如此讓我們想到數(shù)形結(jié)合。
解法三：如下圖所示，由于f（x）=x2+x圖像與x軸交點(diǎn)之間的距離MO＝1，∵a>0∴f（x）=x2+x+a圖像與x軸交點(diǎn)之間的距離AB＜1，由于f（m）<0知：m在區(qū)間（A，B）之間，但m+1必在B右邊，因此：f（m+1）＞0，即f（m+1）的符號(hào)是正。
由上可以知道，抓好基本概念的理解，了解其內(nèi)涵和外延，積極探索數(shù)學(xué)命題的本質(zhì)，隨著我們對(duì)命題的理解的深刻，必然就會(huì)產(chǎn)生更加簡單的解法。
例2：在等差數(shù)列｛an｝中，若它的前m項(xiàng)的和Sm=Sn，（m≠n），試求Sm+n的值。
初看本題，涉及到等差數(shù)列概念，自然想到用基本量來解決，即：
解法一：∵｛an｝是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為a1，不妨設(shè)其公差為d，
誠然，用基本量的方法解決等差或等比數(shù)列是一種通性通法，思路自然，結(jié)果正確，但計(jì)算較為煩瑣。若要探討它有沒有更加簡單的解法，這就需要我們對(duì)本題的本質(zhì)更加深刻的理解。事實(shí)上，本題的本質(zhì)并不是等差數(shù)列概念，而是對(duì)等差數(shù)列的若干項(xiàng)和的認(rèn)識(shí)，若對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的認(rèn)識(shí)深刻些，如解法二，顯然過程自然簡單些，計(jì)算量也小一些了。
解法二：設(shè)Sn＝An2+Bn，Sm=Am2+Bm，
∴Sn-Sm=（An2+Bn）-（Am2+Bm）=（n-m）[A（n+m）+B]=0
即A（n+m）+B=0
而Sm+n=（m+n）[A（n+m）+B]，∴Sm+n=0。
本題主要是針對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝An2+Bn的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，明顯簡單。若換一個(gè)角度來審視Sn＝An2+Bn這一表達(dá)式，就會(huì)產(chǎn)生出新的解法來，即：
解法三：若考察相對(duì)應(yīng)的函數(shù)Sn=Ax2+Bx，
∵Sm＝Sn，它的對(duì)稱軸是x= m+n/2，又∵函數(shù)Sn（x）的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），∴它必過另一點(diǎn)（m+n，0），即Sm+n=0.
解法三實(shí)質(zhì)上是采用數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行探究的一種解法，過程明顯簡潔快捷。通過上述幾種不同解法中，不難發(fā)現(xiàn)，隨著對(duì)本題的本質(zhì)Sn認(rèn)識(shí)的深刻，由此產(chǎn)生的解法也更加簡單些，可見，不同的思維層次，所產(chǎn)生的解題方法也不同，理解越深刻，解法也就越簡單。
通過上面的論述，對(duì)我們的學(xué)習(xí)有所啟示，有所觸動(dòng)，這就是我們要加強(qiáng)理解，不能停留在概念的表面，還要加強(qiáng)理解的深入，認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì)，既要縱向，還要橫向，例如高中數(shù)學(xué)教材中P的不等式題，我們一起來橫向理解這道題所蘊(yùn)含的函數(shù)本質(zhì)。
例3.已知a，b，m都是正數(shù)，且a<b，求證
這道題的生活背景大家都很清楚，即“杯子里裝有b克糖水，其中含有a克糖的，若在糖水里再添加m克糖（假設(shè)全部融解），那么糖水將會(huì)變得更甜”這一變化的一種數(shù)學(xué)反映，本題的證明，既可用分析法，還可構(gòu)造斜率加以證明，這里不再贅述。
下面我們討論對(duì)此題所蘊(yùn)含的函數(shù)本質(zhì)的探討。我們知道，不等式（或方程）與函數(shù)是密切相關(guān)，緊密聯(lián)系的，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決不等式（或方程）是一種普遍的思維模式，如何揭示出此題所給的不等式與某個(gè)函數(shù)間的超級(jí)鏈接，是這一解法的關(guān)鍵。顯然這個(gè)等
由此可見，這種用函數(shù)證明不等式的解法，需要對(duì)相應(yīng)函數(shù)的深入認(rèn)識(shí)。以后在解題過程中遇到類似的不等式證明問題，可以通過橫向的對(duì)應(yīng)函數(shù)加以深入研究，探究相應(yīng)不等式的問題的有效解決。
由于變量的選取是自主的，因此相對(duì)應(yīng)的函數(shù)的構(gòu)造可能不止一種，其表達(dá)的形式也是多樣的，但最終結(jié)果卻是一致的，這在證法一、證法二中得到體現(xiàn)。事實(shí)上，解題的過程也是在探究命題人在題干中給出的函數(shù)模型產(chǎn)生的過程，通過這種探究體驗(yàn)到考題命制的源與流，感受到了數(shù)學(xué)的魅力！
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