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物理圖線面積在解題中的應(yīng)用
物理圖線面積在解題中的應(yīng)用
江西省鉛山縣第一中學(xué) 楊定國
在物理圖象相關(guān)問題中，往往涉及圖象的點、線、面、斜率、截距等問題，其中大部分圖象面積都有其特有的物理意義，如v-t中面積為位移（但在中學(xué)里面，大多數(shù)研究是在一條直線上運動的情況），F(xiàn)-x為該力所做功，F(xiàn)-t為該力沖量，E-x為電勢差，I-t圖象為電量。值得注意的是，有些為標量，有些為矢量。
一、利用a-t圖象求解瞬時速度
vt=v0+at適用于勻變速直線運動速度的計算，而非勻變速此公式不適用，但如果已知a-t圖象利用a-t面積為Δv，若初速已知，則Δv=vt-v0,就可以求出對應(yīng)時刻的速度。
例 摩天大樓中一部直通高層的客運電梯，行程超過百米，電梯的簡化模型如圖1所示�？紤]安全、舒適、省時等因素，電梯的加速度a是隨時間t變化的。已知電梯在t=0時由靜止開始上升，a-t圖像如圖2所示。電梯總質(zhì)量m=2.0×103kg。忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s2。
�。�1）類比是一種常用的研究方法。對于直線運動，教科書中講解了由v-t圖像求位移的方法。請你借鑒此方法，對比加速度和速度的定義，根據(jù)圖2所示a-t圖像，求電梯在第s內(nèi)的速度改變量Δv1和2s末的速率v2。
�。�2）求電梯以最大速率上升時，拉力做功的功率P；再求在0~11s時間內(nèi)，拉力和重力對電梯所做的總功W。
解析：（1）類比可得，所求速度變化量等于第1s內(nèi)a-t圖線下的面積Δv1=0.50m/s
同理可得Δv2=v2-v0=1.5m/s
v0=0,第2s末的速率v2=1.5m/s
（3） 由a-t圖像可知，11s~30s內(nèi)速率最大，其值等于0~11s內(nèi)a-t圖線下的面積，有vm=10m/s
此時電梯做勻速運動，拉力F等于重力mg，所求功率
P=Fvm=mg·vm=2.0×103×10×10W=2.0×105W
由動能定理可得拉力和重力對電梯所做的總功
W=Ek2-Ek1=1/2mvm2-0=1/2×2.0×103×102J=1.0×105J
二、利用E-x圖象求非勻場電場兩點間的電勢差
在給定了電場的E-x圖象后，可以由圖線確定場強的變化情況，電勢的變化情況，圖中E-x圖線與x軸所圍圖形“面積”表示電勢差。在與粒子運動相結(jié)合的題目中，可進一步確定粒子的電性、動能變化、電勢能變化等情況。
例 空間有一沿x軸對稱分布的電場，其電場強度E隨x變化的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A.O點的電勢最低
B.x1和x2兩點的電勢相等
C.x1和-x2兩點的電勢相等
D.x2的電勢最高
解析：選C 在坐標原點O右側(cè)，沿x軸正方向，電場強度先變大后變小，電勢一直降低，故O點電勢不是最低，A錯誤；x1和x3兩點間E—x圍成的面積大于0,所以x1和x3兩點的電勢不相等，B錯誤；電場關(guān)于坐標原點O對稱分布，E—x圍成的面積代數(shù)和等于0,則x2和-x2兩點的電勢相等，C正確。
三、利用v-t圖象分析追趕相遇問題
兩物體圖線所圍的面積是兩物體這段時間內(nèi)通過的位移差值。分析追及問題通常采用如下方法。通過對物體運動過程的分析，畫出物體的運動示意圖，列出兩物體位移方程，找出兩物體位移間的關(guān)系。追及問題的主要條件是兩個物體在追上時位置坐標相同，速度小的物體加速追趕速度大的物體，在兩物體速度相等時兩者間有最大距離；速度大的物體減速追趕速度小的物體，在兩物體速度相等時兩者間有最小距離；這種情況下如果后一物體要避免與前一物體相碰則要求在速度相等時后一物體沒碰上前一物體。
例 摩托車以速度v1沿平直公路行駛，駕駛員突然發(fā)現(xiàn)正前方離摩托車s處有一輛汽車正以v2的速度開始減速，且v2<v1,汽車的加速度大小為a2。為了避免發(fā)生碰撞，摩托車也同時減速，求其加速度a1至少需要多大？
解：在摩托車與汽車的速度達到相等前，兩者的距離越來越小，如果能保證在兩者速度相等時不發(fā)生碰撞，則兩車就不會碰撞。
設(shè)經(jīng)過時間t1兩車速度相等，v1-a1t=v2-a2t,得，
,其v-t運動圖象如圖所示。由圖象得到，兩個圖象所夾的面積（圖中陰影）即為。
Δs<s就可滿足避免相撞。
本結(jié)果需要討論，設(shè)摩托車從開始減速到摩托車與汽車速度相同所需時間為t，汽車從開始減速到停止所需時間為
（1） 摩托車與汽車不相碰時，汽車還未停止的條件是：
四、 利用v-t圖象比較運動物體運動時間或求解運動時間
例 物體以速度v0豎直上拋，落回拋出點時速度大小為vt。如果空氣阻力的大小物物體速度的大小成正比，試求物體的運動時間。
解：取物體為研究對象。物體上升階段受到重力mg和空氣阻力f，方向都豎直向下，且f不斷減小，所以物體做加速度減小的減速運動；下降階段受到豎直向下的重力mg和豎直向上的空氣阻力f′，且f′不斷增大，所以物體做加速度減小的加速運動。顯然無法用動力學(xué)觀點求解。如果用動量定理求解，問題的突破點就在于如何求出上升與下降全過程中空氣阻力的合沖量。
作出物體上升、下降的v-t圖象，如圖（a）所示。由于上升和下降的位移大小相等，兩個陰影的面積相等，又因為空氣阻力f的大小和速度v的大小成正比，所以f-t圖象與v-t圖象相似，如圖（b）所示。顯然兩個陰影面積也相等，物體上升階段和下降階段空氣阻力的沖量大小相等，方向相反，全過程中空氣阻力的合沖量為零。
規(guī)定豎直向下為正方向，由動量定理得mgt=mvt-（-mv0）。
由此得，物體上升、下降的總時間為t=
。
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