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促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的策略
促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的策略
黃國洪
江蘇省江陰市花園實(shí)驗(yàn)小學(xué)
【摘要】理解不僅是手段，理解本身也是目的，但它是一個中間目的，而不是最終目的。我們強(qiáng)調(diào)理解在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中的核心作用，不是把理解當(dāng)作教學(xué)最終要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)去追求，而是把它當(dāng)作一個中心環(huán)節(jié)去給予充分的關(guān)注，畢竟從某種意義上說，沒有理解就不能有真正意義上的學(xué)習(xí)，它是對知識進(jìn)行掌握、應(yīng)用的前提，也是進(jìn)行后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解本質(zhì)剖析自主建構(gòu) 知識網(wǎng)絡(luò)
在數(shù)學(xué)教育界，很多專家和學(xué)者提出：學(xué)生應(yīng)該要理解數(shù)學(xué)。原因何在？因?yàn)閿?shù)學(xué)理解對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有非常重要的意義。理解不僅是手段，理解本身也是目的，但它是一個中間目的，而不是最終目的。顯然，我們要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是希望學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，能從數(shù)學(xué)角度去思考問題、理解問題、解決問題，進(jìn)而鍛煉思維、培養(yǎng)情感，最終成為富有創(chuàng)造力的人。所以，我們強(qiáng)調(diào)理解在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中的核心作用，不是把理解當(dāng)作教學(xué)最終要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)去追求，而是把它當(dāng)作一個中心環(huán)節(jié)去給予充分的關(guān)注，畢竟從某種意義上說，沒有理解就不能有真正意義上的學(xué)習(xí)，它是對知識進(jìn)行掌握、應(yīng)用的前提，也是進(jìn)行后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。
1數(shù)學(xué)理解的涵義
關(guān)于數(shù)學(xué)理解，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特等認(rèn)為：“一個數(shù)學(xué)的概念方法或事實(shí)被理解了，那么它就會成為個人內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個部分……理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的�！蓖豕饷鹘淌趯�(shù)學(xué)認(rèn)知理解界定為“學(xué)生在已有數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立新知識的個人心理表征，不斷完善和發(fā)展頭腦中的知識網(wǎng)絡(luò)，并能將納入知識網(wǎng)絡(luò)中的新知識靈活地加以提取以解決問題的思維過程�！标惌偨淌谡J(rèn)為：“數(shù)學(xué)理解是學(xué)習(xí)者先認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的外部表征，構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后在建立新舊知識聯(lián)系的動態(tài)過程中，打破原有的認(rèn)識平衡，將數(shù)學(xué)對象的心理表象進(jìn)行改造、整理、重組，重新達(dá)到新的平衡，以便抽取數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征及規(guī)律，從而達(dá)到對數(shù)學(xué)對象的理�！薄度罩屏x務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)驗(yàn)稿將理解解釋為能描述對象的特征和由來，能明確地闡述此對象與有關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。
以上關(guān)于數(shù)學(xué)理解含義的闡述，主要是針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解而言的，它們可以統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)認(rèn)知理解，本文所探討的數(shù)學(xué)理解即是指數(shù)學(xué)認(rèn)知理解。本人認(rèn)為數(shù)學(xué)認(rèn)知理解是指學(xué)習(xí)者聯(lián)系自己已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的外部表征，并構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后經(jīng)過思維加工，打破原有的認(rèn)知平衡，將數(shù)學(xué)對象的心理表象重新加以解釋，重新建構(gòu)其意義，從而把新的學(xué)習(xí)內(nèi)容納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征和規(guī)律的一種思維活動。
2促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的策略
數(shù)學(xué)教師要注重學(xué)生的認(rèn)知理解，但“工欲善其事，必先利其器”，為了促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解，就必須采用有效的教學(xué)策略。
2.1注重提供典型的感性材料，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的獲得
在新知教學(xué)中，為使學(xué)生建立起清晰的表象，要借助直觀手段向?qū)W生提供豐富而典型的感性材料。
例如在教學(xué)《認(rèn)識周長》時，老師用多媒體演示螞蟻、瓢蟲、蟋蟀三種小動物在樹葉上的鍛煉情景（螞蟻、瓢蟲沿著樹葉邊線運(yùn)動，蟋蟀沿著樹葉中間的莖運(yùn)動；其中瓢蟲跑完一周，而螞蟻沒有跑完一周）。然后引導(dǎo)學(xué)生“邊欣賞邊觀察這些小動物的運(yùn)動路線有什么不同”，并對小動物運(yùn)動的路線進(jìn)行分類，周長概念的引入便自然和諧。在這樣有典型具體材料做支撐點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們學(xué)習(xí)熱情高漲，勁頭十足，對周長概念的印象非常深刻。
2.2注重聯(lián)系具體的生活原形，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的形成
一位教育學(xué)家說過：“任何數(shù)學(xué)概念都可以在現(xiàn)實(shí)生活找到它的原型，這樣看來，豐富多彩的現(xiàn)實(shí)世界應(yīng)當(dāng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的背景�！闭n堂教學(xué)要從學(xué)生喜聞樂見的生活情境出發(fā)，使抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得具體形象起來，把原來枯燥的數(shù)學(xué)變的生動起來，這樣學(xué)習(xí)學(xué)生就不會感到抽象，而且容易形成生動活潑的學(xué)習(xí)氣氛。
例如，平行線概念的教學(xué)，讓學(xué)生辨認(rèn)一些熟悉的實(shí)例，像操場跑道直道、窗框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣、五線譜譜線等，喚起筆直的直跑道線、窗框的上下兩條邊等學(xué)生熟悉的事物的表象。然后設(shè)問：如果把這兩條跑道線都向兩端無限延長，它們會相交嗎？這兩條窗框的上下兩條邊、兩根譜線呢？通過比較可以發(fā)現(xiàn)，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內(nèi)；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點(diǎn)等，最后抽象出本質(zhì)屬性，得到平行線的定義。這樣引入，使學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)成為學(xué)習(xí)新知的基礎(chǔ)，并借助于想象活動，較好地解決學(xué)生因抽象思維能力較低而造成的學(xué)習(xí)障礙。
2.3注重數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的剖析，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的真正理解
數(shù)學(xué)知識在其形成過程中，往往附帶著許多無關(guān)特征。因此教學(xué)中應(yīng)抓住重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生剖析關(guān)鍵詞語的真實(shí)含義，從而把握知識的實(shí)質(zhì)，盡量減少不利因素的干擾。例如教學(xué)《認(rèn)識周長》時，學(xué)生只有對周長概念中的“邊線”、”一周”、”長度”等關(guān)鍵詞語的真實(shí)含義弄清了，才會對周長這個概念有深刻的理解。
如何在教學(xué)中剖析數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)呢？一是狠抓關(guān)鍵詞。小學(xué)數(shù)學(xué)中很多數(shù)學(xué)概念往往是由若干個詞或詞組組成的定義。這些數(shù)學(xué)語言表述精確，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對這一類事物的本質(zhì)屬性作了明確的闡述。在教學(xué)時就要緊緊“抓”住這些本質(zhì)的東西不放，讓學(xué)生建立起正確的概念。如平行線的定義是“同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”，在學(xué)習(xí)這一概念時，就應(yīng)抓住“同一平面內(nèi)”、“不相交”和“兩條直線”這幾個關(guān)鍵詞不放，引導(dǎo)學(xué)生想一想，如果概念中的關(guān)鍵詞去掉一個后，會發(fā)生什么變化。如平行線的定義中去掉“在同一平面內(nèi)”，學(xué)生便發(fā)現(xiàn)會產(chǎn)生圖1的情形；去掉“不相交”就會產(chǎn)生圖2的情形；去掉“兩條直線”中的“直”字，就會產(chǎn)生圖3的情形，
顯然，這些都不是平行線。從而讓學(xué)生明確成為平行線的三個基本要點(diǎn)，加深對平行線意義的理解。二是巧用變式。就是不斷地變換所提供的事例或材料的呈現(xiàn)形式，改變非本質(zhì)屬性，使學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，使概念的本質(zhì)屬性更加突出，達(dá)到化難為易的效果，由此幫助學(xué)生準(zhǔn)確形成概念。如在三角形的高概念教學(xué)中，通過不同形態(tài)（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）、不同位置的三角形的底和高進(jìn)行比較，就可以幫助學(xué)生分清哪些屬于三角形高的本質(zhì)屬性，從而準(zhǔn)確地理解三角形高的概念。三是加強(qiáng)對比辨析。加強(qiáng)對比辨析、舉反例等進(jìn)行概念教學(xué)是行之有效的方法。例如在教學(xué)“二分之一”這個概念時，出示大小不同的一個圓形和一個長方形，要求學(xué)生分別用涂色部分表示它的二分之一。教師接著提問：“涂色部分的大小、形狀都不一樣，為什么都用“二分之一”這個數(shù)表示？”學(xué)生通過比較辨析的方法深化了這個概念。學(xué)生說：“陰影部分都表示這個圖形的一半，所以用二分之一表示�！� 又如教學(xué)射線、直線這兩個概念后，老師提問：“小胡同學(xué)認(rèn)為，在一條直線上任意點(diǎn)一個點(diǎn)，就得到了兩條射線，因此，直線比射線長�！蹦阃馑挠^點(diǎn)嗎？通過辨析，同學(xué)們清晰地認(rèn)識到直線和射線都是無限長的，他們之間是不能比長短的。設(shè)計(jì)對比辨析，泛化現(xiàn)象就不會發(fā)生，同時概念也得到進(jìn)一步深化。
新課程的數(shù)學(xué)教材，在注重數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時，對一些概念的定義、法則等適當(dāng)?shù)刈髁说幚�。但這并不是不重視概念的教學(xué)了，而是為了使學(xué)生更好地領(lǐng)悟概念，真正理解概念，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)。從這個意義上說，適當(dāng)?shù)摹暗笔菫榱苏嬲摹皬?qiáng)化”。
2.4注重經(jīng)歷新知的形成過程，促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)知識
學(xué)習(xí)是學(xué)生主動建構(gòu)知識的過程，學(xué)生不是簡單被動地接受信息，而是對外部信息進(jìn)行主動選擇、加工和處理，從而獲得知識的意義。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)就是給學(xué)生足夠的、充分的時間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)新知的形成過程。同時學(xué)習(xí)的過程是自我生成的過程，這種生成是他人無法取代的，是由內(nèi)向外的生長，而不是由外向內(nèi)的灌輸，教師的任務(wù)主要是在師生、生生的互動中幫助學(xué)生自己建構(gòu)知識，而不是把前人的知識宣講給學(xué)生。有一種說法：一個好的教師應(yīng)該是一個建材超市的經(jīng)理，為學(xué)生提供各種建筑材料，然后讓學(xué)生自己動手去建造自己的房屋。而不是一個房地產(chǎn)的經(jīng)紀(jì)人，把蓋好的房子賣（教）給學(xué)生。因此在教學(xué)中要著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作實(shí)踐、猜測、判斷、歸納、類比、交流等數(shù)學(xué)活動，充分體現(xiàn)出概念本質(zhì)特征的形成過程，體驗(yàn)概念“再創(chuàng)造”的過程。
如循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識，首先，通過大自然中日出日落、春夏秋冬四季輪換等現(xiàn)象感悟“依次不斷”、“重復(fù)出現(xiàn)”等“循環(huán)”的特征，然后讓學(xué)生進(jìn)行10÷3和58.6÷11的計(jì)算。當(dāng)學(xué)生怎樣計(jì)算都除不完而產(chǎn)生疑問時，再引導(dǎo)學(xué)生觀察每次除得的商和余數(shù)，并讓學(xué)生思考：當(dāng)余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時，商會怎樣變化呢？隨后，通過交流研討，從而自主建構(gòu)循環(huán)小數(shù)的意義。
2.5注重知識的靈活運(yùn)用，促進(jìn)對數(shù)學(xué)知識深層次的理解
數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立后，要抓住時機(jī)，及時地多角度多層次地進(jìn)行練習(xí)。練習(xí)的針對性要強(qiáng)，覆蓋面要廣，要涉及到概念所有的外延。
如在認(rèn)識平行線概念后，可讓學(xué)生舉例說說生活中哪些物體表面有平行線，這類練習(xí)既加深了學(xué)生對平行線的認(rèn)識，又能令所學(xué)知識運(yùn)用到生活實(shí)際中，拓寬學(xué)生的視野，加強(qiáng)學(xué)生對所學(xué)知識的實(shí)際運(yùn)用能力；還可以安排判斷練習(xí)，下面圖形中，哪些是平行線？哪些不是平行線？為什么？學(xué)生不難找出哪個是哪個不是，但關(guān)鍵是要學(xué)生說清楚“為什么”，這是學(xué)生對平行線概念的再認(rèn)識，能加深理解和鞏固記憶；再可安排找平行線活動，出示長方體模型，讓學(xué)生找一找哪些是平行線？當(dāng)學(xué)生指出長方體相對兩個面的對角線是平行線時，引導(dǎo)學(xué)生討論，同不同意這觀點(diǎn)，學(xué)生爭辯的焦點(diǎn)是這兩條直線在不在同一平面內(nèi)，這時，教師借助多媒體演示，使大家清楚地看到這兩條直線在新創(chuàng)設(shè)的同一個斜面內(nèi)，完全符合平行線的定義，在問題到圓滿解決的同時，學(xué)生對平行線的定義就有了進(jìn)一步的認(rèn)識。
“理解是一種運(yùn)用所學(xué)知識靈活地思考與行動的能力……也是一種與機(jī)械背誦與固守答案相反地實(shí)踐能力。”（Wiske 1977）為此，教學(xué)中除了要重視加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的一般應(yīng)用外，尤其要加強(qiáng)知識在新環(huán)境中的運(yùn)用，如學(xué)習(xí)了長、正方形的周長后，可以讓學(xué)生計(jì)算若干個小正方形拼成的長方形的周長，以提高使學(xué)生初步學(xué)會運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決一些簡單的實(shí)際問題能力，進(jìn)而能夠在實(shí)踐中主動體驗(yàn)教學(xué)的價值與魅力。
2.6促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化，建立良好的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀一再強(qiáng)調(diào)：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味著學(xué)習(xí)者所獲得的知識是結(jié)構(gòu)化的、整合的，而不是零碎的、只言片語的。教學(xué)到了一定階段，要讓學(xué)生找出知識間的縱向與橫向聯(lián)系，組成知識系統(tǒng)，穿線結(jié)網(wǎng)，轉(zhuǎn)化成學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這種系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅有利于知識的鞏固、深化，也有利于知識的檢索、提取和運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生知識的遷移，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
例如， 在學(xué)生掌握了三角形、梯形等面積公式的推導(dǎo)以后，教師提出既然梯形的面積公式可以從多種圖形的面積公式推導(dǎo)而來，那么梯形面積公式與這些圖形面積公式之間有什么聯(lián)系呢？教師運(yùn)用電子白板演示：1.將梯形上底一個端點(diǎn)向右一側(cè)平著拉伸，使之成為一個平行四邊形，這時上底與下底相等，（上底+下底）×高÷2=底×2÷高×2=底×高，即得到了平行四邊形面積計(jì)算公式了；2.將梯形下底兩個端點(diǎn)向中間縮，使之成為一個長方形，這時梯形的上、下底就變成了長方形的長，高變成了寬，（上底+下底）×高÷2=（長+長）×寬÷2=長×寬，即得到了長方形的面積計(jì)算公式；3.將梯形上底逐漸縮短，最后縮成一個點(diǎn)，即上底為0，這時梯形面積就轉(zhuǎn)化成了三角形的面積公式。使學(xué)生很直觀地了解這些計(jì)算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生從整體把握知識結(jié)構(gòu)，從而加深對數(shù)學(xué)的理解。
總之，數(shù)學(xué)認(rèn)知理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，教師要善于創(chuàng)設(shè)寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境，提供豐富的學(xué)習(xí)材料，激發(fā)學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的“再創(chuàng)造”過程，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)自己的知識體系，并靈活應(yīng)用知識，形成對數(shù)學(xué)知識的深刻理解，不斷提高數(shù)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
【參考文獻(xiàn)】
�。�1］《學(xué)會數(shù)學(xué)地思維》 江蘇教育出版社 2001.8
�。�2］《數(shù)學(xué)方法論入門》 浙江教育出版社 2006年版
�。�3］《為深層次理解而教》《江蘇教育》2008.12
�。�4］《數(shù)學(xué)理解之面面觀》華東師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所博士生 呂林海/網(wǎng)絡(luò)
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