培養(yǎng)算法意識遵守解題規(guī)則

　　培養(yǎng)算法意識遵守解題規(guī)則

　　陳禎仔

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　　每一個數(shù)學問題的解決都對應著一個算法，研究問題的解決方法就是研究算法。時常學生會問老師您的解答是怎樣想到的？我怎么就想不到呢？其實在大多數(shù)情況下，學生解題時不知道自己是否要遵循什么規(guī)則與方法，誤打誤撞就把數(shù)學問題解決了。數(shù)學解題，是一種有目的、有計劃的心智活動，要求解題者遵守一定的解題規(guī)則。學生解題規(guī)則的自覺遵守是解題教學的核心目標，因此解題教學時應當培養(yǎng)學生的算法意識，促進學生解題規(guī)則的不自覺遵守轉化為有意識、有目的、有策略的運用。下面以一節(jié)公開課的片段為例，談談筆者對培養(yǎng)學生算法意識的幾點體會。

　　一、案例實錄

　　人教A版必修四平面向量復習課。

　　例題1:已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點，則教師解法1:以A為原點，以AB方向為x軸的正方向，以AD方向為y軸的正方向，則A（0,0），B（2,0），D（0,2），E（1,2），

　　教師：當向量用坐標表示以后，向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運算就變成了代數(shù)運算。本題適合建立平面直角坐標系，簡潔高效，這是大多數(shù)學生首選的解法，也有學生不建立平面直角坐標系，用基底……

　　教師話音未落，部分學生不耐煩地小聲說："這么簡單的問題還想一題多解？"

　　教師默然，以學定教嘛，就讓學生思考下面問題：

　　例題2:在平行四邊形ABCD中，AD=1,∠BAD=60°，E為CD的中點，若，則AB的長為學生思考，教師巡視，發(fā)現(xiàn)用基底表示向量的學生解題思路明確，解題過程在有序進行。選擇建立平面直角坐標系的學生，部分由于建立坐標系時原點選擇不妥，點的坐標不好表示，以為方法不對，正在困惑著。

　　教師：向量問題如果平面直角坐標系不好建立時，應當選擇一組基底，把所要求的向量用基底表示出來，應用向量數(shù)量積的運算規(guī)則運算，就可以求出AB的長。當然建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担�設，完全可以求出A,B,C,D的坐標。

　　學生1:以A為原點，以AB方向為x軸的正方向，過A且垂直于AB的方向為y軸正方向建立平面直角坐標系，則A（0,0），B（a,0），

　　教師：解決向量問題的主要思路是建立直角坐標系或用基底表示向量，當平面直角坐標系不好建立時，用基底來表示向量是常規(guī)解法。事實上，一組基底也是一個坐標系，只不過是斜坐標系。

　　二、反思與對策

　　復習課上教師常對學生會做但解法冗長、會做但做不全的問題引導學生分析、歸納、優(yōu)化解法，總結解題規(guī)則。但學生經常把答案正確的數(shù)學問題、會做但做不全的數(shù)學問題、會做但得不出結論的問題都當成自己掌握了問題解法，不希望教師在課堂上幫助他們優(yōu)化解題思路，歸納解題規(guī)則。課堂上，只喜歡教師分析講解思路不清晰的數(shù)學問題，喜歡聽講解題方法，不喜歡聽講為什么這么解，不喜歡遵守解題規(guī)則。學生做練習只是完成教師布置的任務，解題生搬硬套，遇到不順手的問題不從解題方法、解題規(guī)則上尋找思路，而是百度搜索，拍提神器，參考書抄寫，并不在乎練習完成的質量。課余時間無所事事，不想看書，更談不上對所學知識、思想方法、解題規(guī)則進行歸納、總結、概括，內化吸收。

　　學生是鮮活的，不斷變化的，每一個學生都是一個獨立的個體，一個獨特的思維空間。面對錯綜復雜的學生思維差異，使學生明確算法是解決某一個或一類數(shù)學問題的一種程序化方法。比如，幫助學生總結向量問題的算法主要是建立坐標系或選擇一組基底，那么遇到向量問題，學生思路清晰，就可以避免解題誤打誤撞。事實上，學生解題或多或少都在不自覺地應用著算法思想，只是缺乏從算法的角度去觀察問題和思考問題。課堂教學應該促使學生講規(guī)則地學，遵守規(guī)則解題，培養(yǎng)學生的算法意識，促進學生思維能力的發(fā)展。

　　1.利用問題驅動幫助學生總結解題規(guī)則，培養(yǎng)算法意識

　　本節(jié)課教師課堂教學預設是先講例題1的解法1和解法2（即用基底表示向量），然后引導學生歸納總結解決向量問題的兩種解法，接著用例題2當堂鞏固訓練。但課堂上學生認為會做的題目不需要老師花時間講解，課堂生成了新問題，教師的課堂預設無法實施。學生會做的題目要不要講，關鍵在于講什么。學生解決簡單問題的重點在于加深對概念的理解，總結解題規(guī)則清晰算法。例題1屬于簡單問題，教學重點在于幫助學生理清解題規(guī)則，明確算法。教師可從問題本質入手，利用問題驅動，以設問的方式引導學生積極思維，化被動聽為主動思考，幫助學生理清解題規(guī)則，培養(yǎng)算法意識。

　　上課伊始，教師直接展示兩種解法，學生閱讀并思考以下幾個問題：

　　（1）解法1的解題依據(jù)是什么？

　　（2）解法2中，向量用哪一組基底表示比較好？

　�。�3）建立平面直角坐標系的條件是什么？

　�。�4）你還有其他的解題方法嗎？

　　小組交流討論后，引導學生歸納總結向量數(shù)量積兩種計算方法的條件：如果模長和夾角已知或容易求，就選擇公式求解；若向量坐標已知或平面直角坐標系容易建立，就選擇公式=x1x2+y1y2求解；既有模長和夾角，又有向量坐標，就要聯(lián)合兩個公式求解。向量既有代數(shù)性質又有幾何意義，恰好體現(xiàn)在向量數(shù)量積的兩個計算公式上，向量的數(shù)量積是利用向量解決數(shù)學問題的主要工具。在問題的引領下，學生的思維能力被激活，知道了求向量數(shù)量積可以根據(jù)已知條件選擇不同的算法。此時教師拋出問題2,學生解題時底氣充足，解題規(guī)則清楚，算法明確，能取得事半功倍的效果。

　　2.一題多解幫助學生整理解題規(guī)則，突出算法思想

　　學生生活背景和思考角度不同，對數(shù)學問題的想法也五花八門，所使用的解題方法必然是多樣的。一題多解是指從多種知識、不同角度，運用不同的思維方式來解答同一個問題的思考方法。一題多解，充分揭示數(shù)學問題的豐富內涵，展示數(shù)學問題算法的多樣性，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣；一題多解，突出算法思想，能開拓學生解題思路，引導學生更深入地探究問題。如，在復習選修4-5不等式選講時，可用例3歸納不等式證明常用的方法。

　　3.多題一解幫助學生辨析解題規(guī)則，展示算法魅力

　　培養(yǎng)數(shù)學能力的主要途徑是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，對學生進行過多的解題訓練，反而會制約學生思維能力的發(fā)展，使學生對學習數(shù)學失去興趣。實踐證明，引導學生對典型例題解法的總結、回味與提煉，能使學生變重解題的數(shù)量為重解題的質量。引導學生進行解題后的反思，力求做到解決一道題，悟出一些方法、道理和算法。在數(shù)學教學中，通過適當?shù)亩囝}一解訓練，引導學生對某一類型問題固化某一種解法或算法。比如，圓錐曲線與直線的位置關系，最值、零點與單調性問題等都有相類似的解法和算法，充分展示算法的魅力。

　　4.一題多變幫助學生認準解題規(guī)則，感受算法思想

　　一題多變是指對原來問題的條件或結論的知識載體進行引申，把相關知識進行遷移、運用，變出的問題結構與原題基本相同的一種變題方法。在數(shù)學教學中，改變例題中部分條件或者結論，形成新問題，幫助學生認準解題規(guī)則，有利于發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維能力，感受算法思想。例如，在復習恒成立問題時，可由以下例題教學變式訓練。

　　例題4:當x>1時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為。

　　變式一：當x>3時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范為。

　　變式二：已知函數(shù)f（x）=x2-（1+a）x+1+a,若f（x）>0在區(qū)間R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為。

　　變式三：已知函數(shù)f（x）=x2-（1+a）x+1+a,若f（x）>0在區(qū)間（1,+∞）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為。

　　變式四：已知函數(shù)f（x）=x2-（1+a）x+1+a,若f（x）>0在區(qū)間（1,+∞）上有解，則實數(shù)a的取值范圍為。

　　總之，自覺應用算法思想，遵守解題規(guī)則，能最大程度地避免解題時誤打誤撞，節(jié)省解題時間，提高解題效率。解題教學的目標就是要指導學生反思解題過程，優(yōu)化解題思路，提煉解題規(guī)律，最終習得解題規(guī)則和算法思想。