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淺談在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
淺談在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
池屏雁
（福建省寧德市高級(jí)中學(xué)）
摘 要：合情推理已走進(jìn)了高中數(shù)學(xué)新課程，作為一個(gè)專題內(nèi)容“推理與證明”納入高中數(shù)學(xué)新課程教材中。合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性日益凸顯，談了如何在數(shù)學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。
關(guān)鍵詞：合情推理；數(shù)學(xué)過(guò)程；數(shù)學(xué)教學(xué)
一、什么是合情推理
合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果）以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程。這種推理的途徑是從觀察、實(shí)驗(yàn)入手，憑數(shù)學(xué)直覺(jué)，通過(guò)類比而產(chǎn)生聯(lián)想、歸納而提出猜想。高中階段合情推理常用的思維方法為：歸納推理、類比推理。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“讓學(xué)生結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義、步驟和方法，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用�！�
二、什么是數(shù)學(xué)過(guò)程
數(shù)學(xué)過(guò)程是指“數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程，數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)思想方法的探索及概括總結(jié)過(guò)程以及用數(shù)學(xué)的過(guò)程”。
三、在數(shù)學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)合情推理能力
�。ㄒ唬┰跀�(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程妙趣橫生，充滿了合情推理的精彩案例。數(shù)學(xué)教學(xué)中可以將數(shù)學(xué)家們的發(fā)現(xiàn)過(guò)程經(jīng)過(guò)精心加工，讓學(xué)生重走數(shù)學(xué)家的“發(fā)現(xiàn)之路”，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生扮演“數(shù)學(xué)家”，在一個(gè)簡(jiǎn)化的理想模式下直面數(shù)學(xué)家的困惑，親歷數(shù)學(xué)家當(dāng)年的探索與發(fā)現(xiàn)過(guò)程，給學(xué)生創(chuàng)造“發(fā)現(xiàn)”概念、公式、定理、法則的機(jī)會(huì)，學(xué)生通過(guò)不斷的思維沖突、歸納、類比、細(xì)心觀察、提出猜想，逐步掌握合情推理的方法。
例如，在《頻率與概率》的概念教學(xué)中，可以這樣設(shè)計(jì)：
1.全體學(xué)生4人一組，每組投一枚硬幣80次，一人負(fù)責(zé)記錄。
�。�1）統(tǒng)計(jì)正面朝上的頻率，問(wèn)各小組結(jié)果是否相同，均為0.5嗎？
（2）對(duì)全班結(jié)果進(jìn)行累計(jì)，正面朝上的頻率有何規(guī)律，如何描述？
讓學(xué)生重回概念原始發(fā)現(xiàn)、提出過(guò)程，在做試驗(yàn)中親歷發(fā)現(xiàn)過(guò)程，親自感受概率概念的提出。
2.用程序?qū)崿F(xiàn)擲硬幣模擬實(shí)驗(yàn)。
3.回顧當(dāng)年數(shù)學(xué)家的試驗(yàn)。
層層推進(jìn)，學(xué)生很快就能猜想正面朝上的頻率接近某個(gè)值，進(jìn)而得到概率的概念以及概率和頻率的關(guān)系。整個(gè)過(guò)程學(xué)生利用合情推理，動(dòng)手試驗(yàn)，大膽猜想，歸納總結(jié)，揭示概念的產(chǎn)生過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生的合情推理能力。
�。ǘ┰跀�(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
認(rèn)真對(duì)待定理、公式等結(jié)論的形成過(guò)程，在探索定理、公式等結(jié)論的形成過(guò)程中學(xué)生通過(guò)自己的努力，觀察、試驗(yàn)、歸納、類比、猜測(cè)和反思，培養(yǎng)了他們的合情推理能力。
如，在《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》一課中，橢圓用離心率來(lái)刻畫(huà)其扁平程度，橢圓的離心率e→0，橢圓越接近圓；e→1，橢圓越扁。這個(gè)結(jié)論使很多學(xué)生難以透徹理解，筆者在處理時(shí)極力展現(xiàn)該結(jié)論的形成過(guò)程。
1.問(wèn)題：用多媒體展示各種不同橢圓后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓有圓有扁。引導(dǎo)他們思考：橢圓的扁平程度怎么表示，用什么樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示，用什么量來(lái)表示？
學(xué)生大膽猜想，其中有些提到用a、b、c這3個(gè)量來(lái)刻畫(huà)，其直覺(jué)已經(jīng)逼近結(jié)論。
2.動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。
準(zhǔn)備好細(xì)繩，兩人一組把繩子的兩端點(diǎn)固定在兩釘子（焦點(diǎn)）處，用鉛筆尖繃緊繩子畫(huà)一個(gè)橢圓，然后變換繩子的長(zhǎng)度，畫(huà)橢圓，觀察橢圓“扁平”的程度，描述其變化規(guī)律；再讓繩子的長(zhǎng)度固定不變，將兩釘子距離（焦距）變化，繼續(xù)畫(huà)橢圓，觀察橢圓的“扁平”的程度，描述其變化規(guī)律。
3.變化規(guī)律。
學(xué)生熱烈討論，發(fā)現(xiàn)c/a→0時(shí)，橢圓變得越“圓”，當(dāng)c/a→1時(shí)，橢圓變得越“扁”。
學(xué)生找到規(guī)律的同時(shí)，有學(xué)生運(yùn)用類比思想猜想：a、b或者b、c兩個(gè)量可以不可以也能來(lái)刻畫(huà)橢圓的扁平程度呢？如果可以，選哪兩個(gè)量來(lái)刻畫(huà)呢？讓他們帶著猜想設(shè)計(jì)驗(yàn)證方法。教師見(jiàn)機(jī)引導(dǎo)，得出結(jié)論。
4.展示“橢圓的離心率”Flash動(dòng)畫(huà)。
5.給出橢圓離心率定義。
用離心率來(lái)刻畫(huà)橢圓的扁平程度
規(guī)律：e→0，橢圓越圓；e→1，橢圓越扁。
此時(shí)上面關(guān)于離心率結(jié)論的形成已經(jīng)水到渠成，期間學(xué)生經(jīng)歷了憑數(shù)學(xué)直覺(jué)大膽猜想、動(dòng)手試驗(yàn)、親自體驗(yàn)的數(shù)學(xué)過(guò)程，得到初步結(jié)論，進(jìn)而類比猜想，產(chǎn)生新困惑，繼續(xù)驗(yàn)證，得出最終結(jié)論，在此過(guò)程中，他們的合情推理能力得到培養(yǎng)。
�。ㄈ┰跀�(shù)學(xué)思想方法的探索及概括總結(jié)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)學(xué)的精髓，它鋪設(shè)了知識(shí)到能力的大道，在數(shù)學(xué)思想方法的探索及概括總結(jié)過(guò)程中，學(xué)生的合情推理能力得到潛移默化的提升。
比如，在使用數(shù)形結(jié)合的探索過(guò)程中，以現(xiàn)有的知識(shí)為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)直覺(jué)，從整體上把握數(shù)學(xué)對(duì)象并對(duì)其結(jié)構(gòu)快速識(shí)別，做出判斷，大膽猜測(cè)，合理假設(shè)，并給出試探性的結(jié)論。它具有頓悟、飛躍的特征。
例1.n個(gè)半圓的圓心共線，圓心在直線l上，這n個(gè)半圓每?jī)蓚�(gè)都相交，且都在直線l的同側(cè)，問(wèn)這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓��？
分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f（n）段圓弧，畫(huà)出圖形，觀察（此時(shí)應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法），采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證。
由此猜想滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有f（n）=n2。
（四）在“用數(shù)學(xué)”的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
1.在日常解題訓(xùn)練中運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，合情推理。
“用數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)價(jià)值的真正所在，數(shù)學(xué)的生命力也源自于此，“用數(shù)學(xué)”推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。在日常解題訓(xùn)練中，注重解題思路產(chǎn)生過(guò)程那一剎那的靈感，在探究問(wèn)題的結(jié)論和尋找解決問(wèn)題的途徑中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。
2.關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。
數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，密不可分，數(shù)學(xué)巧妙地融入在生活中，基于應(yīng)用和問(wèn)題的數(shù)學(xué)過(guò)程教學(xué)，教師必須關(guān)注生活中熱點(diǎn)問(wèn)題，挖掘生活素材，設(shè)法引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，讓學(xué)生思想的火花四濺，猜想連連，熱烈討論，在問(wèn)題的解決過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。
參考文獻(xiàn)：
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作者簡(jiǎn)介：池屏雁，出生于1977年，女，福建閩清人，中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師，研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)。
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