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小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“牛吃草”問題的解法
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“牛吃草”問題的解法作者/王慧敏
“ 牛吃草” 問題 也叫做“ 牛頓問題”，是英國偉大的數(shù)學(xué)家牛頓在其著作《普通算術(shù)》一書中設(shè)計(jì)的很有名的應(yīng)用問題。涉及三個(gè)量：牛的頭數(shù)、草的數(shù)量、時(shí)間量，解題方法可以多種多樣的。它是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中難度大、包含內(nèi)容最豐富的題目，是小學(xué)應(yīng)用題的頂峰。熟練掌握解題方法，將會(huì)對(duì)開創(chuàng)思維大有裨益。
牛吃草問題的難點(diǎn)在于草每天都在生長，草的數(shù)量在不斷變化。因此，解答這類題的關(guān)鍵是從變化中找到不變的量，即原有的草量和每天新長出的草量。
解題時(shí)通常把1個(gè)個(gè)體在1個(gè)時(shí)間單位內(nèi)完成的工作量假設(shè)為1份，從而逐步弄清：1.原有的初始工作量是多少。
2.每個(gè)時(shí)間單位均勻增加的份額是多少。
3.把參加完成工作者分成兩部分，一部分解決原始工作量，另一部分解決均勻增長的工作量。
4.原始工作量完成之時(shí)，均勻增長也同時(shí)停止。
在解決小學(xué)這類問題時(shí)常用到四個(gè)基本公式，分別是：
⑴草的生長速度＝（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；
�、圃胁萘浚脚ｎ^數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；
�、浅缘奶鞌�(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；
�、扰ｎ^數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。
這四個(gè)公式是解決牛吃草問題的基礎(chǔ)。一般設(shè)每頭牛每天吃草量不變，設(shè)為"1"，解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答所求的問題。
例1：一片草地，每天都勻速長出青草。如果可供2 4頭牛吃6天，2 0頭牛吃1 0天，那么，可供19頭牛吃多少天？
摘錄條件：
24頭 6天 原有草+6天生長草
20頭 10天 原有草+10天生長草
19頭 ？天 原有草+？天生長草
解答：這類問題關(guān)鍵是抓住牧場青草總量的變化。設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”，由條件可知，前后兩次青草的問題相差為20×10-24×6=56。為什么會(huì)多出這56呢？這是第二次比第一次多的，即（10-6）＝4天生長出來的，所以每天生長的青草為56÷4=14現(xiàn)從另一個(gè)角度去理解，這個(gè)牧場每天生長的青草正好可以滿足14頭牛吃。由此，我們可以把每次來吃草的牛分為兩組，一組是抽出的14頭牛來吃當(dāng)天長出的青草，另一組來吃原來牧場上的青草，那么在這批牛開始吃草之前，牧場上有多少青草呢？
�。�24-14）×6=60
那么：第一次吃草量24×6=144，第二次吃草量20×10=200
每天生長草量56÷4=14
原有草量（24-14）×6=60或144-14×6=60
19頭牛分兩組，14頭去吃生長的草，其余5頭去吃原有的草，那么60÷5=12（天）
答：可供19頭牛吃12天。
例2：一水庫原有存水量一定，河水每天入庫。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干，若要6天抽干，要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？
摘錄條件：
5臺(tái) 20天 原有水+20天入庫量
6臺(tái) 15天 原有水+15天入庫量
��？臺(tái) 6天 原有水+6天入庫量
解答：設(shè)1臺(tái)1天抽水量為“1”，第一次總量為5×20=100，第二次總量為6×15=90
每天入庫量（100-90）÷（20-15）=2
20天入庫2×20=40，原有水100-40=60
60+2×6=72 72÷6=12（臺(tái)）
答：若要6天抽干需12臺(tái)同樣的抽水機(jī)。
例3：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，設(shè)每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候的隊(duì)伍消失，若同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘；同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘，為了使15分鐘內(nèi)檢票隊(duì)伍消失，需至少開多少個(gè)檢票口？
分析與解答：此題也可以看作是“牛吃草”問題，設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票人數(shù)為1份。
⑴每分鐘新來的旅客為：
�。�4×30－5×20）÷（30－20）＝2（份）
�、圃新每蜑椋�
4×30－2×30＝60（份）或 5×20－2×20＝60（份）
⑶15分鐘內(nèi)檢票完所需開的檢票口個(gè)數(shù)：（60＋15×2）÷15＝6（個(gè)）
答：需至少開6個(gè)檢票口。
例4：自動(dòng)扶梯意用均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，女孩每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，結(jié)果男孩用5分鐘，女孩用6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共多少級(jí)臺(tái)階？
分析與解答：此題“總的草量”變成了“扶梯的臺(tái)階數(shù)”，“牛吃草”變成了“人走臺(tái)階”，也可以看成是牛吃草的問題，解答的關(guān)鍵依然是從自動(dòng)扶梯的運(yùn)動(dòng)變化中找到兩個(gè)不變的量，即自動(dòng)扶梯的速度和自動(dòng)扶梯的總級(jí)數(shù)。
自動(dòng)扶梯的速度為：（25×5－20×6）÷（6－5）＝5（級(jí)／分鐘）
自動(dòng)扶梯的總級(jí)數(shù)為：（25＋5）×5＝150（級(jí)）
或（20＋5）×6＝150（級(jí)）
答：該扶梯共有150級(jí)。
（作者單位：835300新疆伊犁察布查爾縣綽霍爾鄉(xiāng)中心校）
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