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負(fù)數(shù)的本質(zhì)與有理數(shù)乘法法則——從數(shù)學(xué)的角度解析“負(fù)負(fù)得正”
負(fù)數(shù)的本質(zhì)與有理數(shù)乘法法則——從數(shù)學(xué)的角度解析“負(fù)負(fù)得正”曾小平 石冶郝
(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京100048)
一、有理數(shù)乘法法則需要數(shù)學(xué)證明
有理數(shù)乘法法則是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，“負(fù)負(fù)得正”是其中的難點(diǎn)，研究表明，雖然學(xué)生都能準(zhǔn)確記憶有理數(shù)乘法法則，并能依據(jù)法則進(jìn)行計算，然而絕大多數(shù)學(xué)生都不能舉出實(shí)例來驗(yàn)證法則，更沒有學(xué)生能夠解釋法則背后的數(shù)學(xué)道理，這也就是說，學(xué)生僅僅掌握了有理數(shù)乘法的算法，且只能遵循算法進(jìn)行機(jī)械計算，并沒有真正理解其中的算理，
導(dǎo)致這種現(xiàn)狀的原因可能是多方面的，然而本文只探索有理數(shù)乘法的算理是什么，即法則怎么來的，筆者帶著這一問題查閱了現(xiàn)行各版本的初中數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)各版本教材只給出了有理數(shù)的乘法法則，而沒有給出其中的理由．但教材為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘法法則，創(chuàng)設(shè)了一個生活化的數(shù)學(xué)情境，作為腳手架來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)法則，
比如，人教版教材創(chuàng)設(shè)的是“蝸牛爬行”的情境，一只蝸牛沿著直線Z爬行，它現(xiàn)在的位置恰好在f上的點(diǎn)O．讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)推斷：如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向右／左爬行，3分鐘后／前它在什么位置，在此情境中，“被乘數(shù)”、“乘數(shù)”和“積”涉及3個物理量（速度、時間和位移），每個量有3個基準(zhǔn)（基準(zhǔn)點(diǎn)O、約定正方向和負(fù)方向），三者關(guān)系比較復(fù)雜，弄得學(xué)生昏頭轉(zhuǎn)向，蘇教版、浙教版教材也是采用類似的情境來引入有理數(shù)乘法的．由于這類情境中的關(guān)系極為復(fù)雜，學(xué)生并不感興趣，更不可能從中歸納概括出有理數(shù)乘法法則．
再如，北師大版教材采用了歸納模型，即讓學(xué)生在計算（-3）×3=-9、（-3）×2=-6、（-3）×1=-3、（-3）x0=0的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生猜想（-3）×（-1）=?、（-3）×（-2）=?、（-3）×（-3）=?等算式的結(jié)果，進(jìn)而歸納出有理數(shù)乘法法則．而華東師大版教材采用的是相反數(shù)模型，即從算式3x2=6和（-3）x2=-6出發(fā)，得到結(jié)論“兩個數(shù)相乘，把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得的積是原來積的相反數(shù)”，并用此結(jié)論計算3×（-2）=?和(-3)×（-2）=?，進(jìn)而概括出有理數(shù)乘法法則．然而，學(xué)生很難接受這兩種模型，因?yàn)椤皟蓚�因數(shù)變小了，而乘積卻變大了”，這與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)相矛盾。
其實(shí)，有理數(shù)乘法法則并非人為規(guī)定，也不是根據(jù)生活實(shí)例和計算結(jié)果歸納出來的，而是由正負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)和運(yùn)算的定義決定的．也就是說，有理數(shù)乘法法則是依賴于數(shù)學(xué)的特征和數(shù)學(xué)和諧運(yùn)轉(zhuǎn)的需要，它的正確性可以用數(shù)學(xué)邏輯來證明．遺憾的是，現(xiàn)有證明都用到抽象代數(shù)中集、群、環(huán)的相關(guān)理論，非專業(yè)人士很難理解，不可能用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)。
然而，只要我們從負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)人手，根據(jù)整數(shù)四則運(yùn)算的常用結(jié)論，可以證明有理數(shù)乘法法則．該證明難度不大，比較輕松地突破了“負(fù)負(fù)得正”，初中學(xué)生容易理解．同時，從數(shù)學(xué)出發(fā)用推理的方式證明有理數(shù)乘法法則，可以彌補(bǔ)上述教材所采用的歸納方法的邏輯缺陷。
二、負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)與有理數(shù)乘法法則
在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，加法可以暢通無阻地進(jìn)行，即任何兩個非負(fù)數(shù)相加，其結(jié)果是非負(fù)數(shù)，可是，在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，減法卻不能暢通無阻地進(jìn)行，當(dāng)減數(shù)大于被減數(shù)時差不是非負(fù)數(shù)．然而，減法和加法互為逆運(yùn)算，應(yīng)當(dāng)具備同樣的性質(zhì)，其地位才是對等的，因此，要適當(dāng)延伸非負(fù)數(shù)，即增加一些新的數(shù)，得到一個更廣闊的范圍，在這個范圍內(nèi)，減法可以暢通無阻地進(jìn)行，而原來能在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的四則運(yùn)算仍然保持原來的結(jié)果和運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律）。
1．負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)
負(fù)數(shù)最早出現(xiàn)在中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”中，在用加減消元法解多元一次方程組時，為了表示小數(shù)減大數(shù)的運(yùn)算結(jié)果，便引入了負(fù)數(shù)．后來，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中對負(fù)數(shù)的出現(xiàn)作了解釋，“兩算得失相反．要令正負(fù)以名之”，著名數(shù)學(xué)家柯朗在《什么是數(shù)學(xué)》中進(jìn)一步解釋道：“引進(jìn)了符號-1，-2，-3，…以及對b<a的情況，定義b-a=-(a-b)．這保證了減法能在正整數(shù)和負(fù)整數(shù)范圍內(nèi)無限制的進(jìn)行�！�
由此可見，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，是源于減法的需要，負(fù)數(shù)的本質(zhì)是小數(shù)減去大數(shù)所得的差，即負(fù)數(shù)c=-(a-b)=b-a（此時b<a）．舉個例子來說，在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，我們沒辦法計算5-8，但可以盡量將它化簡，即根據(jù)差不變的性質(zhì)，得到5-8=0-3．把0-3看做一個新的數(shù)，簡單記作-3.而原來在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)可以進(jìn)行的減法還按原來的方法進(jìn)行，比如8-5=3-0=0+3=3.更一般的，數(shù)學(xué)上規(guī)定形如3(=0+3)、5(=0+5)這樣的數(shù)叫做正數(shù)，形如-3(=0—3)、-5(=0-5)這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，把正數(shù)、零和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。
2．有理數(shù)乘法法則的推導(dǎo)
在有理數(shù)范圍內(nèi)，借助負(fù)數(shù)的本質(zhì)，可將有理數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)乘法來討論，而且該過程并不復(fù)雜（但要事先規(guī)定：零乘任何數(shù)都等于零）．為了論述方便，我們用a，6表示任意兩個正有理數(shù)，而用-a，-b表示任意兩個負(fù)有理數(shù)，對任意兩個非零有理數(shù)相乘的四種情況分別介紹如下：
(1)正數(shù)×正數(shù)，仍然按照非負(fù)數(shù)的方式進(jìn)行，即axb=ab：
(2)正數(shù)×負(fù)數(shù)，a×(-b=ax(O-b)=a×O-a×b=0-ab=-(ab-O)=-ab（其中第二個等號成立的依據(jù)是乘法分配律，第四個等號成立的依據(jù)是負(fù)數(shù)的定義）；
(3)負(fù)數(shù)×正數(shù)，(-a)xb=(O-a)xb=Oxb-axb=0-ab=-(ab-O)=-ab；
(4)負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)，（-a）×(-b)=(0-a×(-b)=0×(-b)-a×（-b）=O-a（-b）=-a（一6）=-（-ab）=-（O-ab）=ab-O=ab(其中，第五個等號成立的依據(jù)(2)中的結(jié)果，第六個和第七個等號成立的依據(jù)是負(fù)數(shù)的定義）．
可見，“負(fù)負(fù)得正”并非想象的那么復(fù)雜，也并非不可證明．還可以驗(yàn)證，在有理數(shù)范圍內(nèi)，乘法交換律、結(jié)合律和分配律成立．此外，我們可以用類似方法證明有理數(shù)的加減法法則和除法法則，難度也不大，感興趣的讀者可自行證明．
三、有理數(shù)乘法法則的教學(xué)
筆者設(shè)想：只要學(xué)生能夠理解負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)和運(yùn)用負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)意義，并善于將與負(fù)數(shù)有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為與正數(shù)有關(guān)的問題，那么學(xué)生就可能以推理的方式推導(dǎo)出有理數(shù)乘法法則，從數(shù)學(xué)邏輯上理解“負(fù)負(fù)得正”的含義．為了驗(yàn)證這一設(shè)想，筆者隨機(jī)選擇了初一年級一個班的學(xué)生，按照設(shè)想方式進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，一個月后檢查發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生大都能正確推導(dǎo)出有理數(shù)的乘法法則．現(xiàn)將教學(xué)過程簡要介紹如下，僅供老師們教學(xué)時作參考．
1．復(fù)習(xí)舊知．引入課題
師：請問負(fù)數(shù)的本質(zhì)是什么？
生：負(fù)數(shù)是小數(shù)減大數(shù)的差，也就是說，當(dāng)b<a時，定義-(a-b)=b-a，比如，-3=0-3=2—5=…
師：進(jìn)入初中后，我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減運(yùn)算．請你想想，有理數(shù)的加減運(yùn)算和小學(xué)中非負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算有何異同？
生：相同點(diǎn)是，非負(fù)數(shù)里加減的結(jié)果仍然等于現(xiàn)在有理數(shù)里加減的結(jié)果，加法交換律和結(jié)合律都成立；不同點(diǎn)是，有理數(shù)里參與運(yùn)算的數(shù)可正可負(fù)也可為零。
生：從非負(fù)數(shù)到有理數(shù)，數(shù)的范圍擴(kuò)大了，參與運(yùn)算的數(shù)更多了，但運(yùn)算結(jié)果和運(yùn)算律并沒有改變，
師：我們今天學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法，你覺得有理數(shù)的乘法應(yīng)當(dāng)滿足哪些特征呢？
生：最好也滿足交換律、結(jié)合律和分配律．
生：非負(fù)數(shù)中乘法的結(jié)果要等于有理數(shù)中乘法的結(jié)果．因?yàn)榉秦?fù)數(shù)是有理數(shù)的一部分，兩個乘法的結(jié)果應(yīng)當(dāng)一樣，否則，出現(xiàn)多個結(jié)果，就不知道誰對誰錯，數(shù)學(xué)計算的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是確定的！
師：乘法從小學(xué)的非負(fù)數(shù)范圍拓展到我們現(xiàn)在的有理數(shù)范圍，(教學(xué)論文 www.panasonaic.com)確實(shí)要考慮兩點(diǎn)，即同原來的運(yùn)算結(jié)果相等和滿足原來的運(yùn)算律，大家想一想，有理數(shù)的乘法到底有哪些情形呢？請舉例說明。
生：按正數(shù)、負(fù)數(shù)和零來劃分，有理數(shù)的乘法有九種情形：零乘零，O×0；零乘正數(shù)，O×3；零乘負(fù)數(shù)，Ox（-3）；正數(shù)乘零，4x0；負(fù)數(shù)乘零，（-3）×0；正數(shù)乘正數(shù)，(+4)×(+3)；負(fù)數(shù)乘正數(shù)，(-4)×(+3)；正數(shù)乘負(fù)數(shù)，(+4)×（-3）；負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，(-4)×（-3）．
2．巧妙轉(zhuǎn)化，解決問題
師：根據(jù)目前的知識，你能算出哪些結(jié)果？
生：因?yàn)榱惚硎緵]有，零與任何數(shù)相乘都應(yīng)該等于零，這樣就有：O×0=0，0×3=0，0×（-3）=0，4×0=0，（-3）×0=0.
生：正數(shù)乘正數(shù)，這和小學(xué)一樣，所以(+4)x(+3)=12。
師：一般的，兩個正數(shù)相乘(+a)×(+b)=ab．其余三個怎么辦呢？怎么轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)過的問題來解決呢？
生：我解決負(fù)數(shù)乘正數(shù)的問題，根據(jù)負(fù)數(shù)的定義(-4)=0-4，那么（-4）x(+3)=(0-4)x3=Ox3-4x3=0-12=-12．
師：對于任意負(fù)數(shù)乘正數(shù)問題，比如（-a）×(+b)，你能解決嗎？
生：能，（具體過程略）
生：我解決正數(shù)乘負(fù)數(shù)的問題。（過程略）
師：對于任意負(fù)數(shù)乘正數(shù)問題，比如（+a）×(-b)，你能解決嗎？
生：能。（過程略）
生：我解決負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)問題，(-4)×（一3）=(0-4)×（-3）=0×(-3)一4×（-3）=-（-12）=-(0-12)，根據(jù)負(fù)數(shù)的定義，等于12-0=12。
師：對于任意負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)問題，比如（-a）×（-b），你能解決嗎？
生：能。（過程略）
師：可見，兩個負(fù)數(shù)相乘，結(jié)果是正數(shù)，這就是所謂的“負(fù)負(fù)得正”。
3．總結(jié)歸納，形成法則
師：下面，我們把兩個非零有理數(shù)相乘的結(jié)論總結(jié)一下。
生：同號的兩個數(shù)相乘，結(jié)果等于它們的絕對值相乘；異號的兩個數(shù)相乘，結(jié)果等于它們絕對值乘積的相反數(shù)。
生：兩個數(shù)相乘，同號為正，異號為負(fù)，并把絕對值相乘。
評析：通過負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，巧妙的將有理數(shù)的乘法問題轉(zhuǎn)化成非負(fù)數(shù)的問題來解決．溝通了前后知識的聯(lián)系；同時，從特定算式到一般情況的推理，讓學(xué)生明白了，判斷數(shù)學(xué)結(jié)論正確性的依據(jù)是推理論證，而不僅僅是觀察歸納。
四、關(guān)注數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解
重視數(shù)學(xué)的生活化，將數(shù)學(xué)同實(shí)際生活聯(lián)系起來進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的有趣有用，是值得提倡的．然而，過度追求數(shù)學(xué)的生活化，可能會造成數(shù)學(xué)與生活生搬硬套的聯(lián)系，導(dǎo)致牽強(qiáng)附會的理解．況且數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用僅僅是數(shù)學(xué)極小的一個部分，數(shù)學(xué)更多的思想精華體現(xiàn)在數(shù)學(xué)進(jìn)行抽象、概括、推理的過程中．如果僅僅以直觀的實(shí)例和虛構(gòu)的模型來代替數(shù)學(xué)推理與論證，其結(jié)果只能是犧牲數(shù)學(xué)的科學(xué)性，讓學(xué)生不能真正理解數(shù)學(xué)核心內(nèi)容和主要意義。
因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，即學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的思考與推理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提出問題、分析問題、解決問題的方法，為此，教師要精通數(shù)學(xué)學(xué)科的知識內(nèi)容、把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)與特征、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的精髓、理解數(shù)學(xué)教學(xué)的價值，將它們滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)，要展示數(shù)學(xué)核心概念的發(fā)生發(fā)展過程和基本結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、證明和運(yùn)用過程，展示數(shù)學(xué)提出和解決問題的思維過程，這樣，學(xué)生才能以“再創(chuàng)造”的方式獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法和分析與解決問題的策略，進(jìn)而發(fā)展思維、提高能力。
參考文獻(xiàn)：
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