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物理極值問(wèn)題的求解方法1
物理極值問(wèn)題的求解方法1
隨著教改的不斷深入，物理教學(xué)更加結(jié)合實(shí)際，物理習(xí)題的題型不斷拓寬。在中學(xué)物理競(jìng)賽及高考試卷中都出現(xiàn)了一些具有一定難度的求極值問(wèn)題。求極值的一般方法是用導(dǎo)數(shù)求解。但中學(xué)生還沒(méi)有學(xué)過(guò)關(guān)于異數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)。本專(zhuān)題將分若干小專(zhuān)題，分別介紹符合中學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的解決極值問(wèn)題的方法。
一、幾何法求極值
在初中幾何中我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短�！贝私Y(jié)論對(duì)于求極小值問(wèn)題，是一條捷徑。
例1.如圖1-1所示，船A從港口P出發(fā)去攔截正以速度υ0沿直線航行的船B 。P與B所在航線的垂直距離為a，A起航時(shí)與B船相距為b，b>a 。如果略去A船起動(dòng)時(shí)的加速過(guò)程，認(rèn)為它一起航就勻速運(yùn)動(dòng)。則A船能攔截到B船的最小速率為多少？
分析與解：分析本題是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體求它們之間的相對(duì)位置的問(wèn)題。若以地球?yàn)閰⒄障担瑑蓚�(gè)物體都運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)方向不一致，它們之間的相對(duì)位置隨時(shí)間變化的關(guān)系比較復(fù)雜，一時(shí)不容易做出正確的判斷與解答。但如果把參照系建立在某一運(yùn)動(dòng)的物體上，（如B上）由于以誰(shuí)為參照系，就認(rèn)為誰(shuí)不動(dòng)，此題就簡(jiǎn)化為一個(gè)物體，（如A）在此運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題了。當(dāng)然解一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題比解兩個(gè)物體都運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題自然容易多了。
以B為參照系，B不動(dòng)，在此參照系中A將具有向左的分速度υ0，如圖1-2所示。在此參照系中A只要沿著PB方向就能攔截到B 。應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過(guò)O點(diǎn)作PB的垂線，交PB于E點(diǎn)，OE即為A船對(duì)地的速度的最小值υA，在△AOE中
∵υA=υ0Sinθ 而
∴，由于靈活運(yùn)用了幾何知識(shí)，使較為復(fù)雜的問(wèn)題，變?yōu)楹?jiǎn)單的幾何問(wèn)題了。
例2.如圖1-3所示，重為G的物體與水平地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，欲以一個(gè)拉力F使物體沿地面勻速前進(jìn)。問(wèn)F與水平地面的夾角θ為何值時(shí)最省力？這個(gè)最小拉力是多大？
分析與解：畫(huà)出物體的受力分析圖，如圖1-4所示。物體受到四個(gè)力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面對(duì)物體的滑動(dòng)摩擦力f，其中f=Nμ。這四個(gè)力為共點(diǎn)力，合力為零。可將N與f合成為一個(gè)力N′，N與f的作用將被N′等效，N′與N、f的關(guān)系滿(mǎn)足平行四邊形法則。再畫(huà)出物體受N′、G、F的力的矢量三角形，如圖1-5所示。N′的方向如圖，應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過(guò)B點(diǎn)作N′的垂線交N′于C點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)度即表示最小作用力Fmin，由于Fmin與水平面夾角為θ,
∴∠CAB=∠θ Fmin=Gsinθ
由圖1-6可知，
即 θ=arctanμ
幾何法一般用于求極小值問(wèn)題，其特點(diǎn)是簡(jiǎn)單、直觀，把物體運(yùn)動(dòng)的較為復(fù)雜的極值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題去解，便于學(xué)生掌握。
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