小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的新發(fā)展——第六屆國際數(shù)學(xué)教育會議討論簡介

第六屆國際數(shù)學(xué)教育會議于1988年7月27日至8月3日在匈牙利首都布達佩斯舉行。會上除了安排一個組專門討論小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的問題以外，有些專題組的討論，以及小字報、專題報告會等也涉及到小學(xué)數(shù)學(xué)教育方面的問題。根據(jù)所了解的材料，對會議中所反映的小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的新發(fā)展，概要地介紹如下。

一 強調(diào)學(xué)習(xí)過程

　　一些代表認為，對應(yīng)于教的過程，有必要提出學(xué)的過程。數(shù)學(xué)教育中重要的一點是如何彌合教與學(xué)之間的裂縫，如何使教數(shù)學(xué)與學(xué)數(shù)學(xué)盡可能互相伴隨著。提出這個問題的原因，主要是從促進學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的進步，或者說逐漸的數(shù)學(xué)化來考慮的。認為數(shù)學(xué)化的進程的組成部分有：做模型、公式化、符號表示等。要通過教數(shù)概念、數(shù)的運算方法等來研究和分析教數(shù)學(xué)的特點，同時也不斷地進行逐漸的數(shù)學(xué)化過程。有一位代表以教乘法的初步認

　　識為例，說明引導(dǎo)學(xué)生由具體逐步抽象的過程。還有一位代表用除法（如）作例，說明從具體的實際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生先想出非正規(guī)的分的方法，求出得數(shù)以后，逐步研究出一般的除的方法，在這之后再類推到被除數(shù)是較大數(shù)的除法。但是也有的代表認為，也不宜把這個過程拉得很長，還要研究如何用較少的時間使學(xué)生學(xué)會一般的除的方法。

二 新技術(shù)對小學(xué)數(shù)學(xué)教育的影響

　　與會代表大都認為新技術(shù)對于中小學(xué)數(shù)學(xué)教育具有很大的促進作用。使用新技術(shù)，特別是微型電子計算機，有助于理解數(shù)學(xué)概念；有助于掌握一些基本技能，特別是解決實際問題和幾何作圖的技能；有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生從過繁的機械運算中解放出來；還有助于改進數(shù)學(xué)教育的評價方法。

　　與會者著重討論了新技術(shù)對小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的影響。有人認為，隨著新技術(shù)的出現(xiàn)和使用，現(xiàn)行的教學(xué)內(nèi)容將有很多被刪掉，而加入一些新內(nèi)容，并強調(diào)要使學(xué)生學(xué)會一些數(shù)學(xué)方法，如收集、翻譯數(shù)據(jù)，有條理地排列，概括，歸納和演繹，做模型，類推，化簡等。但也有人提出質(zhì)疑：在數(shù)學(xué)知識和技能都很差的基礎(chǔ)上，能學(xué)好數(shù)學(xué)方法嗎？有人認為，口算、筆算、估算、工具算等各種計算方法，只要在生活中和進一步學(xué)習(xí)中有用處，仍然應(yīng)該學(xué)會，但要重理解、思考和評價，根據(jù)不同情況來選用。不少學(xué)者認為，計算器雖然有很大用處，但筆算仍是重要的，因此傾向于小學(xué)高年級再學(xué)習(xí)使用計算器。而且不能只把計算器作為一種計算工具，還要用它作為教具幫助理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)展學(xué)生思維。因此使用計算器會引起內(nèi)容和方法兩方面的改革。

　　有的學(xué)者談到新技術(shù)對教師的任務(wù)及其教學(xué)方法的影響問題。認為使用計算機以后，增加了學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的成份，教師的作用會起一定的變化。教師的任務(wù)不是傳輸知識，而是組織學(xué)生積極活動，引導(dǎo)學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)知識，讓兒童自己構(gòu)建知識，培養(yǎng)合理的思維。由于新內(nèi)容、新技術(shù)和新教法都影響著數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，因此改進數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵因素就是繼續(xù)提高教師的專業(yè)水平。

　　會議也提出了使用新技術(shù)對教科書的影響問題。有人認為，由于計算機能為理解數(shù)學(xué)概念、訓(xùn)練技能以及解問題提供材料，因此將會改變數(shù)學(xué)教科書的結(jié)構(gòu)。蘇聯(lián)一位學(xué)者強調(diào)，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教科書應(yīng)該有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性潛能。

　　會議上有的代表介紹了在家庭作業(yè)及課外輔導(dǎo)方面引入新技術(shù)的情況。例如，有人調(diào)查英國一些學(xué)校的學(xué)生家庭中擁有微型計算機的已超過60％，很多學(xué)生利用微機編程序來完成一些家庭作業(yè)。美國一家電視廠，把小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容制成錄相帶，配合學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)，每天在電視臺播放半小時，不僅學(xué)生收看，而且家長和教師也收看，取得很好的效果。也有的國家有人把小學(xué)高年級的內(nèi)容，如質(zhì)數(shù)和合數(shù)，整除性的檢驗，多邊形和多面體等，編成電視劇系列。其目的是通過數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與愉快的體驗的聯(lián)系，來激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

三 錯誤在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的作用

　　近年來，數(shù)學(xué)教育工作者對錯誤在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要作用越來越重視。1987年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)國際組織在加拿大開會時曾進行過專門討論。這次會議上小學(xué)組就此問題也進行了研究。大都認為，學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯誤和誤解，有助于教師確定學(xué)生在學(xué)習(xí)方面存在的問題的類型。教師只有弄清這一點，才能很好地做出自己的教學(xué)計劃，去幫助學(xué)生消除錯誤。錯誤和誤解都是基于不適當(dāng)?shù)睦斫狻５�是教師通過與學(xué)生討論錯誤，使他們看到錯誤之所在以及錯誤的原因，可以有效地消除錯誤，而且能使學(xué)生加強對數(shù)學(xué)的一般理解。還有人提出，不應(yīng)把錯誤僅僅看作是教師用以診斷學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難和尋找消滅錯誤的策略的工具，還應(yīng)把它看作是激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識的動機和手段。要使學(xué)生認識到出現(xiàn)錯誤并不是壞事，它為進一步進行教學(xué)活動（包括解問題、提問題、批判的思考等）提供了機會。要著重引導(dǎo)學(xué)生分析討論為什么是錯誤，而不只是如何把它改正過來。如果善于把錯誤作為質(zhì)詢和探究的出發(fā)點，就會使學(xué)生得到更大的益處。

四 關(guān)于解問題的教學(xué)的研究

　　近些年來，解問題的教學(xué)一直是各國數(shù)學(xué)教育工作者著重研究的一個問題。這次會議著重研究以下兩個問題：1.如何幫助學(xué)生理解問題的情境；2.如何教學(xué)生學(xué)會使用解題的一般策略。

　　有的代表指出，傳統(tǒng)的教學(xué)解問題的方法，往往是由教師給出一個范例，讓學(xué)生模仿。教師不僅沒有給學(xué)生準(zhǔn)備真實的問題情境，也沒有教給學(xué)生一般的解題策略。這樣既不能提高學(xué)生解問題的能力，也不能提高他們解問題的積極性。

　　為了幫助學(xué)生很好地理解問題的情境，有的代表提出，要引導(dǎo)學(xué)生弄清題里有關(guān)的事實數(shù)據(jù)，確定解題的目標(biāo)以及這些事實數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。會上有的代表介紹了他們對影響解題策略的因素所進行的研究。有人認為，問題的易難與其具體、抽象的程度以及有無事實或有無假設(shè)有密切關(guān)系。一般地說，具體的比抽象的要容易些，有事實的比假設(shè)的要容易些。還有人研究認為，一個數(shù)學(xué)問題，既有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，又有邏輯—語言結(jié)構(gòu)，這兩者都影響著學(xué)生的解題策略。此外，學(xué)生的解題策略還受著學(xué)生生活經(jīng)驗的影響。

　　關(guān)于如何教學(xué)生學(xué)會解數(shù)學(xué)問題的一般策略，有人認為，學(xué)生解題時包含著復(fù)雜的心智活動，如聯(lián)系、分析、分類、想象、選擇、作計劃、預(yù)測、推論、心算、檢驗、評價等。要根據(jù)學(xué)生解題時心智活動的特點給以指導(dǎo)。有的代表強調(diào)，通過自我提問，提高學(xué)生的認知理解水平，培養(yǎng)學(xué)生自己監(jiān)督、調(diào)節(jié)他們認知活動的能力（即所謂超認知能力），是提高學(xué)生解題能力的重要途徑。一位代表在小學(xué)四年級進行試驗，開始由教師示范，聯(lián)系數(shù)學(xué)問題的情境和具體任務(wù)，自問自答。如：“首先我需要做什么？——我必須弄清這道題要我做什么。實際上發(fā)生了什么事？那么我知道什么可能對解題有幫助？我以前是否見過這樣的問題？題里的條件是太多了還是太少了？我能把它找出來嗎？我能想出一個類似的或者比較簡單的情境嗎？合理的答案可能是什么？……”學(xué)生熟悉這種自問自答的方法以后，開始練習(xí)自己設(shè)問，自己回答并加以評價。一年以后，大多數(shù)學(xué)生能自己構(gòu)建解題思路，顯示出這種方法對提高學(xué)生解題能力以及改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的態(tài)度具有很大的影響。

五 關(guān)于一般教學(xué)方法的研究

　　會議對于一般教學(xué)方法沒有進行專門討論，但是談到其他問題時，涉及到一些教學(xué)的原則問題，值得注意。例如，談到教師的培訓(xùn)問題時，提出知識不要由教師來傳輸，而要由兒童來構(gòu)建；強調(diào)教師要能促進學(xué)生提問以及對數(shù)學(xué)的應(yīng)用的探究。有的代表在談到如何評價教師的教學(xué)方法時，著重在課堂上是否做到：學(xué)生的學(xué)多于教師的教，個別教學(xué)與集體教學(xué)平衡，學(xué)生的相互作用，發(fā)展學(xué)生的合理思維技能與一般的解題技術(shù)。

　　有些代表介紹了對新教學(xué)方法的試驗研究。例如，有的代表采用探究法進行教學(xué)，鼓勵學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理。在探究問題時，學(xué)生要收集數(shù)據(jù)，進行推斷。如練習(xí)普通分數(shù)化小數(shù)時，讓學(xué)生探究什么樣的分數(shù)可以化成有限小數(shù)。他認為，認識的好奇心是引起動機的重要因素。動機越強，學(xué)習(xí)的堅定性越大。他還認為，學(xué)具在探索問題時起著重要的作用，可以促使學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理。特別是對差生，可以產(chǎn)生較大的效果。有的代表試驗用所謂“有引導(dǎo)和對話的自學(xué)法”。指出這種教學(xué)方法實際上是講解、做中學(xué)、發(fā)現(xiàn)和程序教學(xué)這四種方法與古希臘的對話（討論）法的結(jié)合。強調(diào)讓學(xué)生自己去學(xué)習(xí)經(jīng)過特殊設(shè)計的教科書，通過細致計劃好的對話使學(xué)生對所學(xué)的新課題得到充分的理解。這些活動都是在教師的監(jiān)督和引導(dǎo)下進行。經(jīng)過試驗，學(xué)生獲得的知識和解題能力都比用傳統(tǒng)的講解法好。但是也指出最困難的問題是編寫和印刷教科書。還有的代表強調(diào)采用使學(xué)生獨立工作的方法。認為保證學(xué)生有獨立工作的條件很重要。教師的指導(dǎo)和鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)有一定的比例，盡力給學(xué)生以充分的時間去思考、實驗和討論。但是對學(xué)生的獨立作業(yè)的安排要有專門的準(zhǔn)備。

六 對高能學(xué)生的數(shù)學(xué)教育

　　這次會議很重視高能學(xué)生的數(shù)學(xué)教育問題。有些代表指出，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)只注意中等水平的學(xué)生。這是自然的，因為這些學(xué)生構(gòu)成了大多數(shù)。但是另一方面，人們也已認識到，高能學(xué)生對于發(fā)展一個國家的技術(shù)和文化所具有的重大作用。每個國家都盡可能使高能學(xué)生學(xué)得多一些、深一些、快一些，以便為他們的未來的活動做更好的準(zhǔn)備。但是，各國采取的措施不盡相同。有些代表在會上介紹了本國的經(jīng)驗。例如，匈牙利在一些學(xué)校中設(shè)有特殊班，招收數(shù)學(xué)成績好的學(xué)生，每周上數(shù)學(xué)課近10小時。有的學(xué)校創(chuàng)辦“數(shù)學(xué)下午”，為一些高能學(xué)生擴展一些新知識。保加利亞除設(shè)有加強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊學(xué)校（從一年級開始）外，在普通中小學(xué)還分成三個水平：1.必修的普通數(shù)學(xué)，一般每周4～5課時，教以系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識和技能，以解決日常生活和實踐中的問題；2.自由選修數(shù)學(xué)，從六年級起開設(shè)，每周2課時，目的在使能力較高并對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生獲得較高的理論水平，并了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用；3.選修數(shù)學(xué)，從四年級起開設(shè)每周2課時，目的是在必修的普通數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上擴展數(shù)學(xué)知識，或者從數(shù)學(xué)專門領(lǐng)域獲得一些數(shù)學(xué)知識和能力，以發(fā)展學(xué)生的個人創(chuàng)造性。在美國和澳大利亞的一些學(xué)校中，建立數(shù)學(xué)俱樂部，或開設(shè)暑期學(xué)校。在聯(lián)邦德國則設(shè)“MATHEMA”課外學(xué)習(xí)項目，以提高高能學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。