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小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革趨勢——第五屆國際數(shù)學(xué)教育會議討論簡介
第五屆國際數(shù)學(xué)教育會議于1984年8月在澳大利亞的阿得雷德市舉行。會上小學(xué)組就小學(xué)數(shù)學(xué)教育方面的問題，分成7個(gè)小組進(jìn)行討論，每個(gè)小組討論一個(gè)專題。下面對討論的情況做一簡單介紹。
一 整數(shù)計(jì)算和估算
有幾個(gè)國家的代表反映，課堂教學(xué)往往集中注意基本的計(jì)算技能，忽視較高水平的計(jì)算方法，其中包括口算和估算。而且教學(xué)往往太形式化，死板，很少注意與舊知識的聯(lián)系和應(yīng)用。由于有了計(jì)算器，有一些數(shù)學(xué)教育家和教育行政人員，很少提計(jì)算的目標(biāo)，而提出更多發(fā)展性的教學(xué)項(xiàng)目。
小組的參加者集中討論了與基本式（指20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法）有關(guān)的教材和學(xué)習(xí)問題。一致同意掌握基本式是非常重要的。還認(rèn)為教師應(yīng)當(dāng)設(shè)法培養(yǎng)學(xué)生的概括能力、掌握數(shù)量關(guān)系和思考方法，以幫助兒童學(xué)會基本式。而關(guān)鍵之一是要注意基本概念、思考方法和計(jì)算的擴(kuò)展之間的聯(lián)系。而這些思考方法對于計(jì)算方法、口算和估算都應(yīng)當(dāng)是有用的。
關(guān)于整數(shù)計(jì)算，一種主張是筆算、電子計(jì)算（計(jì)算器）和口算三者的教學(xué)應(yīng)當(dāng)保持平衡。但是大多數(shù)認(rèn)為，要對估算給予更大的注意。有些人主張取消數(shù)目較大的除法；另外一些代表認(rèn)為，教各種筆算方法有可能導(dǎo)致較為自然地應(yīng)用于口算和估算。
關(guān)于估算，都認(rèn)為兒童應(yīng)當(dāng)有效地掌握它并能應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度，提出合理的答案，心里算出來。需要使兒童掌握廣泛多樣的方法，能根據(jù)具體情況來使用估算。認(rèn)為估算和心算的教學(xué)宜于早一點(diǎn)開始，與各種計(jì)算教學(xué)密切結(jié)合起來。估算的教學(xué)內(nèi)容包括以下幾方面：高位計(jì)算（如465＋275，算400＋200=600，其余的大約是100，所以得700），湊整（四舍五入），把幾個(gè)數(shù)分組使計(jì)算簡便，把一些數(shù)群集起來采用平均數(shù)等。
二 比、小數(shù)和分?jǐn)?shù)
關(guān)于比的知識，有的國家孩子七八歲時(shí)就開始介紹初步的觀念，到十一歲左右進(jìn)一步介紹線性概念。他們認(rèn)為使兒童獲得不同數(shù)量間的比的概念需要較長的時(shí)間。有的代表說明在教科書中怎樣用游戲來介紹比；有的代表則用建筑物的圖畫和讓學(xué)生畫比例尺來介紹比；還有的舉密度、竿影等說明各種各樣的比。大家認(rèn)為，比應(yīng)當(dāng)是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，因?yàn)樗谖锢�、化學(xué)、生物以及數(shù)學(xué)的某些領(lǐng)域，如概率、相似及三角等方面的應(yīng)用是非常重要的。大家有一個(gè)總的批評意見，就是現(xiàn)行大綱太重視數(shù)學(xué)本身，而忽視它同兒童現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系。
改寫成小數(shù)，四分之一的學(xué)生寫成3.10。當(dāng)要求把0.9寫成分?jǐn)?shù)時(shí)，錯(cuò)寫成
認(rèn)為0.5大于0.42。調(diào)查材料說明，很多學(xué)生不會把小數(shù)跟位置值或分?jǐn)?shù)的部分——整體概念聯(lián)系起來。因此教學(xué)中最緊迫的問題是幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義。
關(guān)于分?jǐn)?shù)，有人對先教分?jǐn)?shù)乘法還是先教分?jǐn)?shù)加法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。結(jié)果表明，先教分?jǐn)?shù)加法學(xué)生錯(cuò)誤少，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法要由分?jǐn)?shù)連加導(dǎo)出。有人主張應(yīng)把分?jǐn)?shù)既看作算子（分的動作），又看作數(shù)量（分的結(jié)果）。有人認(rèn)為教有理數(shù)用集合和數(shù)軸來說明比用實(shí)物和平面區(qū)域來說明要困難些，因此建議把用集合和數(shù)軸說明放到后面。等價(jià)分?jǐn)?shù)和等價(jià)小數(shù)也是較難的課題，需要在理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義上增加教學(xué)時(shí)間。會上還有人提出，分?jǐn)?shù)的計(jì)算應(yīng)當(dāng)簡單一些（數(shù)目要小，分母要容易算）。有人提出帶分?jǐn)?shù)的重要性問題，結(jié)論是帶分?jǐn)?shù)的運(yùn)算的重要性已經(jīng)下降了。
總起來說，純數(shù)字的處理和法則的形式化過早進(jìn)入數(shù)學(xué)教育，破壞了兒童從現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)中獲得的初步觀念。因此，不應(yīng)過早地教兒童法則，讓他們用一些無意義的符號進(jìn)行無意義的運(yùn)算。
三 解應(yīng)用題問題
這個(gè)組談到的主要問題有：兒童是怎樣解應(yīng)用題的？是什么原因使解應(yīng)用題發(fā)生困難？關(guān)于解應(yīng)用題的教學(xué)，我們知道了什么，還需要知道什么？在解應(yīng)用題的教學(xué)中存在什么問題？
有人研究，許多兒童能在校外（如市場上）解實(shí)際問題，而且能用不同的方法去解，卻不能在學(xué)校里解相似的應(yīng)用題。因?yàn)樵谑袌錾纤麄兯鶎Ω兜氖歉鞣N量，而在學(xué)校里他們所對付的較多的是符號。還有人研究，兒童在學(xué)校里解應(yīng)用題時(shí)不是徹底思考問題，而是希望“抓”到答案。學(xué)校里的教學(xué)方法似乎壓抑了兒童解應(yīng)用題的能力。因此在討論中大家一致同意：1.教師必須幫助兒童弄清應(yīng)用題中的語言與數(shù)量之間的聯(lián)系；2.應(yīng)當(dāng)減少對算法的重視，而更多地重視運(yùn)算的意義；3.在教學(xué)生解應(yīng)用題時(shí)不應(yīng)當(dāng)用關(guān)鍵詞如“還剩”、“一共”等。但是也指出，解應(yīng)用題時(shí)有一部分是語言活動，也需要幫助學(xué)生解釋應(yīng)用題的語言，使他們了解數(shù)量關(guān)系，而不是找運(yùn)算和關(guān)鍵詞之間的聯(lián)系。
還有人研究解應(yīng)用題的重要組成部分。認(rèn)為在解應(yīng)用題時(shí)必須分析數(shù)量關(guān)系并弄清它們的模式，以便找出解法。研究表明，改變一個(gè)簡單應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)，既能影響題目的難度，又能影響解題的方法。他建議要討論數(shù)量間的關(guān)系，重視運(yùn)算的意義，并提供大量的各種不同的應(yīng)用題。
有人提出下面的一些做法，對兒童解應(yīng)用題是有益的：1.注意動作（如放在一起，比較）；2.注意部分——部分——整體間的關(guān)系；3.用較小的數(shù)目來敘述原題；4.畫圖和操作；5.根據(jù)應(yīng)用題中的數(shù)目來考慮答案的范圍。
而下面的做法對兒童是無益的：1.指導(dǎo)兒童識別所給的數(shù)據(jù)；2.指導(dǎo)兒童識別所問的問題；3.用很少的字重述這道題。
認(rèn)為應(yīng)當(dāng)鼓勵兒童用計(jì)算器計(jì)算，以便能把注意力集中在解答方法上而不是在計(jì)算上。
最后，討論者都同意，需要給兒童豐富多樣的題型。如果教師要順利地幫助兒童成為較好的解題者，就必須把注意力不放在教兒童“訣竅”上，而放在發(fā)展數(shù)學(xué)思維上。
四 小學(xué)幾何
有代表反映，小學(xué)里分配給幾何教學(xué)的時(shí)間太少，幾何好象引起很多問題，遠(yuǎn)不如數(shù)的方面那樣明確。還指出，傳統(tǒng)的幾何概念極大地影響著教學(xué)內(nèi)容。例如，在法國幾何教學(xué)的目的不是發(fā)展空間觀念，而是介紹演繹推理。
在幾個(gè)國家做了一些實(shí)驗(yàn)，研究幾何體的性質(zhì)，在平面上呈現(xiàn)三維物體的方法，幾何圖形的理解和處理，以及文化對形的概念的影響。表明簡單的感知活動并不是對現(xiàn)象復(fù)制，而是兒童創(chuàng)造的結(jié)果。幾何教學(xué)必須由兒童自己去揭示各種空間現(xiàn)象的概念，并去發(fā)現(xiàn)如何做才容易展示這些概念，以增進(jìn)對空間的理解。
有的代表強(qiáng)調(diào)，要使用各種教學(xué)材料來發(fā)展兒童的空間能力。例如，用鏡子來學(xué)習(xí)圖形的反射；用折紙學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)、對稱等概念，面積的守恒以及周長的變化；用各種形狀的盒子來認(rèn)識三維圖形同它們的二維表示之間的關(guān)系。
有的代表提出要幫助教師改進(jìn)幾何教學(xué)，為他們編專門的書籍，使他們了解幾何基礎(chǔ)知識，并提出組織幾何課堂教學(xué)的建議。
最后強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：
1.要提供能夠吸引學(xué)生的教學(xué)材料，應(yīng)把三維的教學(xué)材料放在二維的教學(xué)材料之前。
2.所設(shè)計(jì)的教學(xué)材料要使兒童花些時(shí)間去探索和創(chuàng)建模型，并自己糾正錯(cuò)誤。
3.在探索階段之后，所有的活動都應(yīng)仔細(xì)地組織。
4.教師要做好教學(xué)活動的計(jì)劃，要觀察兒童的操作，聽他們在說什么，并向他們提問，以便幫助他們學(xué)習(xí)。
5.所有這些都牽涉到教師的培訓(xùn)。教師必須具有使用這些教學(xué)材料的體驗(yàn)，以便他們自己弄清楚概念。教師在計(jì)劃和制備教學(xué)材料時(shí)，需要得到校長和其他教師的幫助。
五 代 數(shù)
與會者著重研究的問題有：小學(xué)教學(xué)代數(shù)的意義是什么？代數(shù)教學(xué)的目的怎樣提比較適當(dāng)？代數(shù)教學(xué)研究的關(guān)鍵問題是什么？
大家認(rèn)為代數(shù)至少有三個(gè)部分：1.從現(xiàn)實(shí)到代數(shù)概念；2.開始認(rèn)識代數(shù)式并明了其可能的“現(xiàn)實(shí)”意義；3.從一個(gè)代數(shù)式到另一個(gè)代數(shù)式。并一致認(rèn)為第三部分在小學(xué)階段是不重要的，或是不適當(dāng)?shù)�。認(rèn)為在小學(xué)進(jìn)行代數(shù)思維比較好，因?yàn)樗苌偈钦街v的，也很少是符號的。但是在小學(xué)應(yīng)當(dāng)教給兒童符號，還是應(yīng)當(dāng)鼓勵兒童自己解題，有不同看法。研究報(bào)告說明，對兒童進(jìn)行教學(xué)是成功的，但不能用傳統(tǒng)的中學(xué)代數(shù)的教學(xué)方法。
對兒童進(jìn)行代數(shù)教學(xué)最適宜的活動是尋找，表述，概括范型，用圖畫、圖表和符號形式來表示概括。所有這些都有助于逐漸增加對函數(shù)和變量的認(rèn)識。認(rèn)為給學(xué)生說幾個(gè)數(shù)（如0，1，5，4），然后告訴他們計(jì)算的結(jié)果（如3，5，13，11），再讓他們猜出計(jì)算的規(guī)律（如把一個(gè)數(shù)乘以2再加3），很有好處。
與會者一致認(rèn)為，代數(shù)教學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的教學(xué)方法相同，即給學(xué)生任務(wù)后，讓學(xué)生通過討論建立起這方面的經(jīng)驗(yàn)。代數(shù)教學(xué)應(yīng)當(dāng)有計(jì)劃、有目的地進(jìn)行。同時(shí)也有一些任務(wù)需要進(jìn)一步研究，如：在小學(xué)階段怎樣呈現(xiàn)概念和使概念符號化才便于理解，小學(xué)代數(shù)除了為中學(xué)代數(shù)做準(zhǔn)備外，是否還有更多的目的等。
六 微型計(jì)算機(jī)和計(jì)算器的使用
與會者主要研究以下幾個(gè)問題：
1.如何能用微型計(jì)算機(jī)診斷學(xué)生的錯(cuò)誤？2.如何研制軟件以引起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展概念？3.計(jì)算機(jī)教育的現(xiàn)狀是什么？4.怎么使用計(jì)算器？
有人認(rèn)為，把診斷編入計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)材料中在目前還處在原始階段。他舉出編造診斷程序的步驟如下：1.明確定出診斷的內(nèi)容；2.確定為這項(xiàng)內(nèi)容進(jìn)行的課程練習(xí)；3.列舉出可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤；4.在學(xué)生答案的基礎(chǔ)上研究如何說明錯(cuò)誤；5.記錄一些學(xué)生的演算情況；6.提出補(bǔ)救可能成功的辦法；7.對程序做必要的修改。
有人具體介紹了使用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的內(nèi)容和方法。如用于教學(xué)幾何知識，估計(jì)長度，理解和使用變量，學(xué)習(xí)和使用坐標(biāo)系，解應(yīng)用題等。有人認(rèn)為除了少數(shù)高年級的天才生外，一般不宜教編程序。但是許多參加者認(rèn)為，應(yīng)該教編程序以加強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。
關(guān)于計(jì)算器，一位代表介紹說已在很多國家中使用。1982年在美國，75％的五年級學(xué)生使用計(jì)算器；1984年在英國，87％的五年級學(xué)生使用計(jì)算器。英國的一份報(bào)告中建議，要在各階段都利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)。但是要注意計(jì)算器對數(shù)學(xué)課程的效果，特別是掌握一位數(shù)計(jì)算和估算技能還是很重要的，因?yàn)橛盟鼈兛梢耘袛嘤糜?jì)算器算出的答案是否合理。無論是計(jì)算器還是計(jì)算機(jī)，如何有效地使用還需要進(jìn)一步研究。
七 教學(xué)的手段和方式
會上討論了各種教學(xué)手段（一般環(huán)境，有結(jié)構(gòu)的情境，教科書）的相互關(guān)系，以及教學(xué)方式（教師，語言，學(xué)生的相互作用）。
有些代表強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)以兒童的自然環(huán)境作為出發(fā)點(diǎn)。傳統(tǒng)的教學(xué)都是用木塊來說明各種運(yùn)算。而在生活情境中（如坐公共汽車）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以說明計(jì)算的意義就是把事件的過程記錄下來。但也有些代表主張用木塊來教學(xué)，認(rèn)為它是使學(xué)習(xí)加快的手段，而演劇式的活動相對來說比較慢。還有的代表強(qiáng)調(diào)采用游戲可以使學(xué)生之間相互影響。
有的代表強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)以有結(jié)構(gòu)的情境作為出發(fā)點(diǎn)。幾何模型對于促進(jìn)視覺范型的發(fā)展，以及對過渡到數(shù)的范型和數(shù)量關(guān)系的對應(yīng)具有特殊的用途。例如，以建造模型為基礎(chǔ)的活動往往要求記錄、組織和解釋數(shù)據(jù)。最后學(xué)生要學(xué)會如何制表畫圖。這樣他們必須學(xué)習(xí)把各種結(jié)果聯(lián)系起來加以比較，并做出預(yù)言。幾何模型的活動可以培養(yǎng)解應(yīng)用題的技能。討論表明，有結(jié)構(gòu)的情境的范圍可以從日常生活到較為形式化的數(shù)學(xué)。
有的代表強(qiáng)調(diào)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意使用教科書，認(rèn)為教科書有一個(gè)記錄的系統(tǒng)，從而可以使數(shù)學(xué)變得容易理解。教科書既是給兒童參考資料的來源，又是兒童活動的來源。同時(shí)也強(qiáng)調(diào)教師是媒介體。他們有數(shù)學(xué)知識，而且如果教師不愿意或不能處理變化了的情境，即使有好的教科書也不會產(chǎn)生多大變化。有人提出，如果微型計(jì)算機(jī)接替了練習(xí)的功能，同時(shí)還使用具體的教學(xué)材料以形成初步的概念，那么教科書可能就變成多余的了。但大多數(shù)人相信，還必須有教科書作為鼓舞的源泉，作為一種安全網(wǎng)，并作為學(xué)校數(shù)學(xué)課題的體現(xiàn)者。