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談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題的能力
一 培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題能力的重要性
關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題能力，《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》中沒有明確提出，但是在教學(xué)目的中講到了使學(xué)生“能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題”，這實(shí)質(zhì)上包含了培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題的能力，當(dāng)然在小學(xué)還是初步的�？梢哉f，培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題的能力是使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題的基本內(nèi)容和重要途徑。因?yàn)閼?yīng)用題反映了周圍環(huán)境中常見的數(shù)量關(guān)系和各種各樣的實(shí)際問題，需要用到不同的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決。通過解答應(yīng)用題，促使學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)同實(shí)際生活和一些簡單的科學(xué)技術(shù)知識(shí)聯(lián)系起來，從而使學(xué)生既了解數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，又初步培養(yǎng)了運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。另外數(shù)學(xué)作為一門工具學(xué)科，也應(yīng)該把它用于解決實(shí)際問題作為教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。這一點(diǎn)越來越多地被各國數(shù)學(xué)教育工作者所認(rèn)識(shí)。例如，美國在80年代初就提出“解問題是80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的重點(diǎn)；”在為90年代擬訂的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，再一次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一是使學(xué)生成為“具有解數(shù)學(xué)問題能力的人”，“有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解問題的人”。當(dāng)然，培養(yǎng)學(xué)生解應(yīng)用題能力的重要意義遠(yuǎn)不止于此，還可以發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)（如思維的靈活性、創(chuàng)造性）和道德品質(zhì)等。而這些都是作為現(xiàn)代社會(huì)中具有較高的文化素養(yǎng)的公民所必須具備的能力和品質(zhì)。
長期以來，我國的小學(xué)數(shù)學(xué)，無論從教材或從教學(xué)來說，對應(yīng)用題教學(xué)是重視的，但是也存在不少問題，主要是偏重內(nèi)容的教學(xué)，輕視能力的培養(yǎng)，加之教材的選擇和編排不盡合理，教學(xué)的方法不盡適當(dāng)，以致花的力量很大，收的效果較小。因此，如何提高學(xué)生解應(yīng)用題能力，又使學(xué)生負(fù)擔(dān)較輕，是一個(gè)值得認(rèn)真研究探討的問題。
二 解答應(yīng)用題教學(xué)的改革趨勢
近年來，國內(nèi)外一些數(shù)學(xué)教育工作者和有經(jīng)驗(yàn)的教師對解答應(yīng)用題的教學(xué)，特別是如何培養(yǎng)能力進(jìn)行了一些改革的嘗試，取得了一些有益的經(jīng)驗(yàn)。主要有以下幾個(gè)發(fā)展趨勢。
�。ㄒ唬⿷�(yīng)用題的內(nèi)容趨于擴(kuò)大
首先是加強(qiáng)聯(lián)系實(shí)際的問題。不僅限于課本中編好的現(xiàn)成應(yīng)用題，而是從實(shí)際生活中收集材料和數(shù)據(jù)，進(jìn)行一些計(jì)算。例如，美國在進(jìn)行加減計(jì)算時(shí)，讓學(xué)生分類收集一些數(shù)字材料，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和計(jì)算。英國在教學(xué)時(shí)給學(xué)生一張火車時(shí)刻表，不僅讓學(xué)生能看懂某次車始發(fā)和到達(dá)的時(shí)刻，而且進(jìn)行各種計(jì)算。通過一些實(shí)際作業(yè)使學(xué)生知道數(shù)學(xué)的概念和思想就存在于人們的活動(dòng)當(dāng)中，并且能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題。我國有些教師也很注意實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題。例如，一位教師出了這樣一個(gè)題目：“某車間用一塊長90分米、寬60分米的鐵皮剪成半徑是10分米的圓形鐵片，該怎樣下料才能使鐵皮的利用率最高？”結(jié)果多數(shù)學(xué)生列成下式：90×60÷（3.14×102）≈17個(gè)；部分學(xué)生通過畫圖（左下圖）得到答案是12個(gè)；還有一部分學(xué)生通過操作（如右下圖）
得到答案是13個(gè)。通過討論，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到最后一種下料方法利用率高，而第一種計(jì)算方法是脫離了這塊鐵皮的實(shí)際的。通過這樣的問題使學(xué)生初步體會(huì)到在解決實(shí)際問題時(shí)絕不能生搬硬套所學(xué)的計(jì)算知識(shí)，還要注意對實(shí)際問題進(jìn)行具體分析。
其次，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)所解的問題不限于實(shí)際生活中遇到的，還包括一些有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究能力的問題。例如，在下面的○里填上合適的數(shù)，使每相鄰兩個(gè)○里的數(shù)的和等于它們中間□里的數(shù)。讓學(xué)生不僅寫出不同的答案，而且找出填寫的規(guī)律，并回答出能不能使開頭和末尾的○里的數(shù)相同。由于解題的范圍較廣，很多國家不用“應(yīng)用題”這個(gè)名稱，直接叫做“問題”，日本原來叫做“應(yīng)用題”，現(xiàn)改稱“文章題”，以體現(xiàn)其范圍的擴(kuò)展。
（二）應(yīng)用題的難度趨于降低
這個(gè)問題在多數(shù)國家已經(jīng)得到解決。如日、美、英等國，解問題的面較廣，較聯(lián)系實(shí)際，但是難度較小。如日本課本中的文章題大多是兩步計(jì)算的。有少數(shù)國家，如俄羅斯，原來應(yīng)用題的難度較大，步數(shù)較多，后來難度已有所降低或適當(dāng)后移。特別是在把小學(xué)三年制改為四年制以后，隨著算術(shù)內(nèi)容教學(xué)時(shí)間的延長，相應(yīng)地應(yīng)用題的教學(xué)時(shí)間也拉長了，應(yīng)用題的難度也進(jìn)一步降低。香港地區(qū)編訂的《數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)目標(biāo)》中規(guī)定整數(shù)四則應(yīng)用題，“每題運(yùn)算次數(shù)不超過兩次”，分?jǐn)?shù)、小數(shù)限解簡易應(yīng)用題。許多國家或地區(qū)采取這些措施，使應(yīng)用題教學(xué)更適合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，無疑會(huì)有利于減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，更好地激發(fā)學(xué)生對解應(yīng)用題的興趣和積極性。我國在解應(yīng)用題方面一直存在著偏難偏多的問題，特別是升學(xué)考試為了便于擇優(yōu)錄取，往往出現(xiàn)超過大綱、課本范圍的題目，給教學(xué)帶來很大的壓力和負(fù)擔(dān)。近年來實(shí)施義務(wù)教育以后，強(qiáng)調(diào)全面提高民族素質(zhì)，應(yīng)用題教學(xué)開始注意適當(dāng)降低難度，是一個(gè)可喜的現(xiàn)象。
�。ㄈ┲匾暸囵B(yǎng)學(xué)生掌握解題的一般策略
這是培養(yǎng)學(xué)生解應(yīng)用題能力的重要條件之一。它與應(yīng)用題的教學(xué)目的和作用是緊密聯(lián)系著的。長期以來，無論在國內(nèi)或國外，都或多或少地把在小學(xué)數(shù)學(xué)課中要教會(huì)學(xué)生解答某些類型的應(yīng)用題作為教學(xué)的最終目的。從這一看法出發(fā)，把教給學(xué)生應(yīng)用題類型，記結(jié)語或公式作為基礎(chǔ)知識(shí)。結(jié)果形成學(xué)生套公式的習(xí)慣，沒有真正培養(yǎng)起解題能力。近些年來，越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者認(rèn)識(shí)到，應(yīng)用題教學(xué)的最終目的，應(yīng)是通過一些有代表性的問題的解答，使學(xué)生掌握解問題的一般策略或方法，從而達(dá)到真正培養(yǎng)學(xué)生解決簡單的實(shí)際問題的能力。例如，日本伊藤武說過，過去解應(yīng)用題，安于形式地機(jī)械地進(jìn)行，把應(yīng)用題分成若干類型，每一個(gè)類型都有一種確定的解法，結(jié)果容易使學(xué)生對確定的一些問題會(huì)解，而沒學(xué)過的應(yīng)用題就不會(huì)解了。前蘇聯(lián)弗利德曼著《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)原理》中說：“形成和發(fā)展學(xué)生解任何數(shù)學(xué)題（包括實(shí)用題）的一般技能，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本職能之一”。1988年第六屆國際數(shù)學(xué)教育會(huì)議也強(qiáng)調(diào)教學(xué)生學(xué)會(huì)使用解題的一般策略。有的代表指出，傳統(tǒng)的教學(xué)解問題的方法往往是由教師給出一個(gè)范例，讓學(xué)生模仿；教師不僅沒有給學(xué)生準(zhǔn)備真實(shí)的問題情境，也沒有教給學(xué)生一般的解題策略，這樣既不能提高學(xué)生解問題的能力，也不能提高他們解問題的積極性。有代表提出解數(shù)學(xué)問題的一般策略有：聯(lián)系、分析、分類、想象、選擇、作計(jì)劃、預(yù)測、推論、檢驗(yàn)、評價(jià)等。美國新擬訂的《中小學(xué)數(shù)學(xué)課程和評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》中，每個(gè)學(xué)段的第一條標(biāo)準(zhǔn)就是學(xué)習(xí)和應(yīng)用解問題的策略，只是要求的水平不同，體現(xiàn)逐步提高。目前美國的小學(xué)數(shù)學(xué)課本大都編入解題的一般策略，作為正式的教學(xué)內(nèi)容。例如，一本五年級課本中出現(xiàn)以下一些內(nèi)容：用圖解，檢驗(yàn)，有多余條件或缺少條件的，編題，多步題的解題步驟，估算得數(shù)，用表解。
近年來，我國一些數(shù)學(xué)教研人員和教師也開始注意研究如何教給學(xué)生一般的解題思路和方法，特別重視分析題里的數(shù)量關(guān)系。有的實(shí)驗(yàn)教材中也加強(qiáng)理解題意，摘錄應(yīng)用題條件，補(bǔ)充應(yīng)用題的條件，檢驗(yàn)應(yīng)用題的解答等的訓(xùn)練。這對于提高學(xué)生解答應(yīng)用題能力有很大的幫助。
�。ㄋ模┘訌�(qiáng)方程解法使之與算術(shù)解法相輔相成
從60～70年代的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動(dòng)開始，許多國家的小學(xué)數(shù)學(xué)增加了簡易方程和列方程解應(yīng)用題。但是列方程解應(yīng)用題教學(xué)的起始期以及深度、廣度，差異很大。例如，前蘇聯(lián)教學(xué)方程解法從小學(xué)二年級就開始了，而且有兩步的應(yīng)用題要求用方程解。這就涉及算術(shù)解法與方程解法之間的關(guān)系問題。近年來逐漸趨于一致。一方面，較多的國家或地區(qū)，如日本、俄羅斯、香港等，小學(xué)教學(xué)列方程解應(yīng)用題限兩、三步計(jì)算的，另一方面是在用算術(shù)方法解應(yīng)用題有了一定基礎(chǔ)再逐步出現(xiàn)列方程解應(yīng)用題，這樣可以使兩種解法起到相輔相成的作用。
在我國，自80年代初小學(xué)開始增加列方程解應(yīng)用題，一直有不同的看法。十多年的實(shí)踐表明，增加簡易方程和列方程解應(yīng)用題，的確有助于發(fā)展學(xué)生的抽象思維，減少解應(yīng)用題的難度，培養(yǎng)學(xué)生靈活解題的能力，并有利于中小學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。但是在實(shí)際教學(xué)時(shí)還存在著不同的處理方法。特別是涉及分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題的教學(xué)，很多教師把用方程解作為向算術(shù)解法的過渡，最后還是強(qiáng)調(diào)算術(shù)解法，忽視方程解法。這樣仍不能達(dá)到降低難度減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的目的。近年來有些改革實(shí)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)算術(shù)解法與方程解法并重，相輔相成，取得較好的效果。例如，據(jù)《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》1989年第3期載上海虹口區(qū)教育學(xué)院等按上述方法試驗(yàn)情況，第一次測試，試驗(yàn)班與控制班差異不明顯，第二年秋追蹤到中學(xué)進(jìn)行測試，結(jié)果試驗(yàn)班成績明顯優(yōu)于控制班，只學(xué)算術(shù)解法的學(xué)生到了中學(xué)產(chǎn)生了負(fù)遷移。另據(jù)《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》1992年第2期載無錫市教委教研室等使用課程教材研究所編的實(shí)驗(yàn)教材，也取得類似的結(jié)果。兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班采取加強(qiáng)算術(shù)解法與方程解法的聯(lián)系，并且兩者并重，而兩個(gè)對照班仍教給解題模式。結(jié)果單元教學(xué)完了，測試實(shí)驗(yàn)班和對照班成績沒有顯著差異，但是寒假后再測試差異明顯，實(shí)驗(yàn)班和對照班的成績分別為87.3分和78.7分。但是根據(jù)北京一所小學(xué)的實(shí)驗(yàn)，單元教學(xué)完了在測試3步題和靈活解應(yīng)用題時(shí)，實(shí)驗(yàn)班和普通班的成績就出現(xiàn)明顯差異。
三 義務(wù)教育《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》對提高解應(yīng)用題能力采取的措施
《九年義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》為了適應(yīng)義務(wù)教育的性質(zhì)和需要，切實(shí)提高小學(xué)生解答應(yīng)用題的能力，根據(jù)國內(nèi)外應(yīng)用題教學(xué)改革的趨勢，結(jié)合我國的實(shí)際情況，采取以下一些具體的改革措施。
（一）降低應(yīng)用題的難度
《大綱（試用）》明確規(guī)定：整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題最多不超過三步；分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題以一、兩步計(jì)算的為主，最多不超過三步（只限比較容易的）。刪去了原大綱中的稍復(fù)雜的應(yīng)用題以及綜合性的不太繁難的應(yīng)用題。由于全國各地的條件不平衡，作為義務(wù)教育，提出的統(tǒng)一要求不能太高，這樣修改就使全國大多數(shù)學(xué)校大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過努力都能達(dá)到規(guī)定的要求，而且有利于學(xué)生的全面發(fā)展，為升入初中打下更好的基礎(chǔ)。考慮到各地的條件不平衡，《大綱（試用）》中也注意有些彈性，規(guī)定四步應(yīng)用題（比較容易的）作為選學(xué)內(nèi)容，以便使少數(shù)條件較好的學(xué)校能充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，更好地提高解題能力。
（二）加強(qiáng)聯(lián)系實(shí)際
這比原大綱有明顯加強(qiáng)。一方面增加了聯(lián)系實(shí)際的內(nèi)容，如百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用中明確提出利息的計(jì)算，把求平均數(shù)問題與統(tǒng)計(jì)緊密結(jié)合起來等。另一方面在說明中強(qiáng)調(diào)“要引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，從當(dāng)?shù)貙?shí)際出發(fā)，進(jìn)行調(diào)查，收集數(shù)據(jù)，在教師的幫助和指導(dǎo)下，編成數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行計(jì)算、解答，或作一些簡單的統(tǒng)計(jì)，逐步培養(yǎng)學(xué)生這方面的興趣、意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力”。這對于培養(yǎng)學(xué)生具有自覺地把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的意識(shí)和態(tài)度，使數(shù)學(xué)真正成為學(xué)生手中的有用的工具，起著重要的作用。
�。ㄈ┳⒁怏w現(xiàn)教給學(xué)生解題的一般策略
在《大綱（試用）》的說明中提出：“要引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，掌握解題思路�！边@實(shí)際體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生掌握解題的一般策略。為了使之更加落實(shí)，在各年級的教學(xué)要求中還明確提出分階段要求。例如，在五年制一年級要求學(xué)生知道題目中的條件和問題，二年級要求初步學(xué)會(huì)口述應(yīng)用題的條件和問題，三年級把常見的數(shù)量關(guān)系作為知識(shí)點(diǎn)列入大綱，要求初步學(xué)會(huì)口述解題思路，進(jìn)一步培養(yǎng)檢查和驗(yàn)算的習(xí)慣，四年級要求掌握解應(yīng)用題的一般步驟，五年級要求會(huì)有條理地說明解題思路。這樣安排要求，有利于循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生掌握解題的一般策略，逐步提高學(xué)生解應(yīng)用題的能力。與此同時(shí)，《大綱（試用）》中還注意適當(dāng)讓學(xué)生掌握解題的特殊策略或方法。例如，說明和教學(xué)要求中都提到會(huì)按照題目的具體情況選用簡便的解答方法。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和靈活性。
�。ㄋ模┻m當(dāng)加強(qiáng)方程解應(yīng)用題及其與算術(shù)解法的聯(lián)系
首先，在教學(xué)簡易方程時(shí)增加了ax±bx=c這一類型，相應(yīng)地?cái)U(kuò)展了用方程解應(yīng)用題的范圍。這不僅可以用來解答較多的整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題，而且可以用來解答一些分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（需用逆思考的）。這樣還降低了所解的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的難度。例如，“飼養(yǎng)小組養(yǎng)白兔和黑兔共18只，
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學(xué)生接受，而且符合代數(shù)列方程解應(yīng)用題的一般思路，從而為初中的學(xué)習(xí)做更好的準(zhǔn)備。其次，《大綱（試用）》中強(qiáng)調(diào)五年級進(jìn)一步提高用算術(shù)方法和用方程解應(yīng)用題的能力，體現(xiàn)了加強(qiáng)兩者間的聯(lián)系以及靈活合理地運(yùn)用兩
知道方程解法和算術(shù)解法是密切聯(lián)系著的，不是各自孤立的。也只有這樣教學(xué)才能提高學(xué)生用兩種方法解應(yīng)用題的能力，從而進(jìn)步發(fā)展學(xué)生在解題中的思維的靈活性和創(chuàng)造性。
四 對培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題能力的幾點(diǎn)教學(xué)建議
下面根據(jù)近年來國內(nèi)外改革的經(jīng)驗(yàn)以及個(gè)人參加實(shí)驗(yàn)工作中的體會(huì)，對培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題能力提幾點(diǎn)教學(xué)建議。
�。ㄒ唬┳ズ煤唵螒�(yīng)用題的教學(xué)
大家都知道，解簡單應(yīng)用題是解復(fù)合應(yīng)用題的基礎(chǔ)，無論整數(shù)應(yīng)用題或分?jǐn)?shù)應(yīng)用題都是一樣，它們有共同的教學(xué)規(guī)律。打好整數(shù)、分?jǐn)?shù)簡單應(yīng)用題的基礎(chǔ)就為解復(fù)合應(yīng)用題做好了準(zhǔn)備。
怎么叫做打好解答簡單應(yīng)用題的基礎(chǔ)？個(gè)人體會(huì)主要是使學(xué)生初步理解和掌握四則運(yùn)算的意義，會(huì)分析簡單應(yīng)用題里的數(shù)量關(guān)系，然后能根據(jù)題里的數(shù)量關(guān)系正確選擇運(yùn)算方法，并養(yǎng)成檢驗(yàn)的良好習(xí)慣。下面做一些具體的分析。
1.初步理解和掌握四則運(yùn)算的意義。這是學(xué)習(xí)解答一切應(yīng)用題的重要基礎(chǔ)。正像有的教師所講的，雖然應(yīng)用題的內(nèi)容是千變?nèi)f化的，但都是四則運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用。往往有些學(xué)生不理解四則運(yùn)算的意義，解答簡單應(yīng)用題時(shí)亂猜算法，或者根據(jù)題里的某個(gè)詞語選定運(yùn)算方法，這樣是不能真正培養(yǎng)起解答應(yīng)用題的能力的。關(guān)于四則運(yùn)算的意義，要根據(jù)兒童不同年齡的認(rèn)知特點(diǎn)分成不同的層次來教學(xué)。低年級要通過操作直觀使學(xué)生理解每種運(yùn)算的含義。例如減法，只要通過擺物品和圖畫等使學(xué)生懂得是從一個(gè)數(shù)里去掉一部分求剩下的部分是多少；高年級再進(jìn)一步抽象，使學(xué)生懂得減法是已知兩數(shù)和與其中一個(gè)加數(shù)求另一個(gè)加數(shù)是多少。高年級教學(xué)分?jǐn)?shù)除法也是從乘法的逆運(yùn)算的角度來理解的，這樣就便于在解應(yīng)用題時(shí)實(shí)際應(yīng)用。
2.使學(xué)生學(xué)會(huì)分析數(shù)量關(guān)系。這是解答應(yīng)用題的一項(xiàng)基本功。即使是簡單應(yīng)用題也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，絕不能因?yàn)閼?yīng)用題簡單而忽視對數(shù)量關(guān)系的分析。分析清楚題里已知條件和問題之間存在著什么樣的數(shù)量關(guān)系，才好確定解決問題的方法。有些簡單應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系是明顯的，學(xué)生容易弄清的。例如，“有5只黑兔，又跑來3只白兔，一共有幾只兔？”學(xué)生很容易弄清，把原有的5只和跑來的3只合并起來，就可以知道一共有幾只兔。但是有些簡單應(yīng)用題，學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系就困難一些。例如，“有5只黑兔，白兔比黑兔多3只，白兔有多少只？”有些學(xué)生往往不清楚題里的數(shù)量關(guān)系，簡單地看到“多3只”就判斷用加法，結(jié)果與遇到求白兔比黑兔多幾只的題發(fā)生混淆。因此，教學(xué)時(shí)最好通過操作、直觀使學(xué)生弄清題里的數(shù)量關(guān)系。如下圖，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題里的條件分析出：白兔的只數(shù)多，可以分成兩部分，一部分是和黑兔同樣多的5只，另一部分是比黑兔多的3只，要求白兔的只數(shù)就要把這兩部分合并起來，從而要用加法計(jì)算。由于通過操作和直觀，在學(xué)生的頭腦中對所學(xué)的應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系形成了表象，經(jīng)過多次練習(xí)，就能初步形成概括性的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。這樣教學(xué)，學(xué)生對每種應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系都有一定的分析思路，就不容易發(fā)生混淆，也就不需要再教什么計(jì)算公式。
還可以舉一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。例如，“果園里有梨樹480棵，占
還有一個(gè)判斷哪個(gè)量是單位1的問題。通過線段圖，學(xué)生容易理解，梨樹的
要把總棵數(shù)看作單位1。進(jìn)一步再分析，題里沒有告訴總棵數(shù)是多少，知道
用題的數(shù)量關(guān)系，并且可以防止學(xué)生根據(jù)一些關(guān)鍵詞來機(jī)械地判斷單位1和套用數(shù)量關(guān)系式。
3.緊密聯(lián)系運(yùn)算的意義來選擇運(yùn)算方法。在分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上緊密聯(lián)系運(yùn)算的意義（或含義），把對運(yùn)算的意義（或含義）的理解與應(yīng)用直接聯(lián)系起來，很容易確定運(yùn)算方法。例如，當(dāng)學(xué)生分析出要把兩個(gè)數(shù)合并（結(jié)合應(yīng)用題內(nèi)容具體分析，如上面求白兔的只數(shù)的應(yīng)用題），就聯(lián)想到用加法；當(dāng)分析出要從一個(gè)數(shù)里去掉一部分，就聯(lián)想到用減法；當(dāng)分析出要求幾個(gè)幾是多少，就聯(lián)想到用乘法；當(dāng)分析出要把一個(gè)數(shù)平均分成幾份求一份是多少或者求一個(gè)數(shù)里有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)，就聯(lián)想到用除法。對于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也是一樣，當(dāng)分析出要求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，聯(lián)想到一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義，可以確定用乘法；反過來當(dāng)分析出一個(gè)數(shù)（未知數(shù)）的幾分之幾等于多少（已知），要求未知的數(shù)（如上面求果樹的總棵數(shù)的應(yīng)用題），聯(lián)想到可直接列方程解，或聯(lián)想到分?jǐn)?shù)除法的意義，可確定用除法。由于運(yùn)算的意義（或含義）與分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系建立起直接聯(lián)系，學(xué)生在解答應(yīng)用題的過程中一方面加深對運(yùn)算意義（或含義）的理解，一方面學(xué)會(huì)應(yīng)用運(yùn)算的意義（或含義）來解題，從而提高學(xué)生自覺地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)正確地解決實(shí)際問題的能力。
4.培養(yǎng)檢驗(yàn)的良好習(xí)慣。解答簡單應(yīng)用題同進(jìn)行四則計(jì)算一樣，也要注意培養(yǎng)檢驗(yàn)的習(xí)慣，這樣一方面可以提高解題的正確率，另一方面可以為培養(yǎng)檢驗(yàn)復(fù)合應(yīng)用題的能力打下初步基礎(chǔ)。檢驗(yàn)應(yīng)用題要比檢驗(yàn)四則計(jì)算復(fù)雜一些，首先要重新讀題，分析已知條件和所求的問題之間的關(guān)系是否正確，然后再看列式、計(jì)算、答案是否正確。較高年級還可以通過改編應(yīng)用題并解答來進(jìn)行檢驗(yàn)。通過檢驗(yàn)還可培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，對解答結(jié)果的負(fù)責(zé)態(tài)度和自信心。
實(shí)踐表明，很多城鄉(xiāng)的教師按照上述原則和方法教學(xué)，收到良好的效果，學(xué)生容易接受，解題的正確率高，靈活應(yīng)用知識(shí)的能力較強(qiáng)。但是也有一些教師采用另一種教學(xué)方法，即教給學(xué)生區(qū)分應(yīng)用題類型，運(yùn)用解題公式，結(jié)果給學(xué)生增加了學(xué)習(xí)難度，出現(xiàn)死記硬套的現(xiàn)象。目前對這個(gè)問題還有爭論，下面談?wù)剛�(gè)人的一點(diǎn)看法：
�。�1）從數(shù)學(xué)本身看，把簡單應(yīng)用題劃分的類型以及概括的解題公式是否科學(xué)，還值得研究。簡單應(yīng)用題的內(nèi)容范圍很廣，從科學(xué)的角度說，研究它的分類是完全可以的，實(shí)際上美、日等國也有些數(shù)學(xué)教育工作者對簡單應(yīng)用題進(jìn)行分類。但是如何分類差異較大，目前國內(nèi)流行的分類也不完全一致，因此這還是一個(gè)有待深入研究的問題。例如現(xiàn)代數(shù)學(xué)用笛卡爾積定義乘法，有些實(shí)際問題就不好區(qū)分被乘數(shù)和乘數(shù)。而這類問題就沒有包括在目前流行的分類之中。把求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少作為一個(gè)類型題也欠妥當(dāng)，因?yàn)橐粋�(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義就是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，這樣的應(yīng)用題不過是分?jǐn)?shù)乘法的意義的直接應(yīng)用，根本沒有什么分類型的問題。至于有些解題公式是否正確地全面地反映實(shí)際也值得研究。例如，所謂“標(biāo)準(zhǔn)量×分率=部分量”，容易使學(xué)生誤解“部分量”都是小于“標(biāo)準(zhǔn)量”的，從而導(dǎo)致判斷哪個(gè)量是“標(biāo)準(zhǔn)量”的錯(cuò)誤。而且遇到這樣的問題只要應(yīng)用一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義就能解決，因此這種公式是多余的。
（2）從唯物辯證觀點(diǎn)來看，應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系是有內(nèi)在聯(lián)系的，分類型、套公式，往往把本來有聯(lián)系的問題人為地割裂開來，不利于學(xué)生掌握。例如，有這樣兩道應(yīng)用題：“食堂每天吃20千克面粉，3天吃多少千克面粉？”“食堂每天吃20千克面粉，吃的大米是面粉的3倍，每天吃大米多少千克？”如果分析兩題的數(shù)量關(guān)系，都是求3個(gè)20千克是多少，因此要用乘法算。如果要把它們劃分為兩種不同類型的題，就割斷了它們在數(shù)量關(guān)系上的內(nèi)在聯(lián)系，從而不利于學(xué)生以簡馭繁地掌握應(yīng)用題的分析和解答方法。
�。�3）從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)來看，也值得研究。低年級學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)是以具體形象思維為主，教學(xué)解應(yīng)用題同教學(xué)其它數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，也應(yīng)結(jié)合操作、直觀，使學(xué)生掌握應(yīng)用題的分析和解答方法，而不宜教給抽象類型、公式，否則學(xué)生不理解，就容易死記硬套。在教學(xué)實(shí)踐中常�？吹剑瑢W(xué)生會(huì)解答一道應(yīng)用題，卻說不出是“部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”，還是“總數(shù)-部分?jǐn)?shù)=部分?jǐn)?shù)”。遇到兩步應(yīng)用題就更加困難。例如，“同學(xué)們做了30件玩具，自己留下6件，剩下的平均送給幼兒園的3個(gè)班，每班分得幾件？”第一步是“總數(shù)-部分?jǐn)?shù)=部分?jǐn)?shù)”，有些好學(xué)生還能說出，而第二步就很難說出“求出的部分?jǐn)?shù)變成了總數(shù)”。這些違反兒童認(rèn)知規(guī)律的做法給學(xué)生增加了不必要的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。
（4）從現(xiàn)代數(shù)學(xué)論的原則看，要教學(xué)生理解基本概念、基本原理，才能實(shí)現(xiàn)最大遷移；強(qiáng)調(diào)思維過程，要從以記憶為主的教學(xué)方法轉(zhuǎn)到以思維為主的教學(xué)方法；注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生探究能力。而以教分類型、記公式為主的教學(xué)方法正好與上述的原則相違背，妨礙學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念、基本原理的理解和掌握，束縛學(xué)生的思維。
當(dāng)然，提出簡單應(yīng)用題教學(xué)不宜分類型記公式的問題，并不意味著在任何情況下都不能教給學(xué)生公式。對某些內(nèi)容在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候教給學(xué)生必要的公式，如面積、體積計(jì)算公式等，還是可以的，但教學(xué)時(shí)也要注意使學(xué)生理解公式的來源，防止機(jī)械的記憶。
總之，簡單應(yīng)用題教學(xué)生分類型記公式，涉及培養(yǎng)什么人的問題以及如何提高民族素質(zhì)的問題，從理論和實(shí)踐上進(jìn)行一些深入的探討，是十分必要的。
關(guān)于抓好簡單應(yīng)用題教學(xué)還有其它一些問題，將在下面論述。
（二）加強(qiáng)應(yīng)用題之間的聯(lián)系
從實(shí)質(zhì)上說，這是應(yīng)用題的組織結(jié)構(gòu)問題。應(yīng)用題的組織是否合理，結(jié)構(gòu)是否恰當(dāng)，對于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力具有十分重要的意義。過去的數(shù)學(xué)課本，由于對這個(gè)問題處理得不夠好，給應(yīng)用題教學(xué)造成一定的困難，直接妨礙學(xué)生解題能力的提高。經(jīng)過近年來的實(shí)驗(yàn)研究，比較深刻地認(rèn)識(shí)到，應(yīng)用題的內(nèi)容和解法雖然千變?nèi)f化，但其內(nèi)在聯(lián)系十分緊密。只要根據(jù)應(yīng)用題的內(nèi)在聯(lián)系，合理地組織教學(xué)，可以使學(xué)生較好地理解應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)，較快地掌握應(yīng)用題的分析和解答方法。
1.簡單應(yīng)用題的內(nèi)在聯(lián)系。即使簡單應(yīng)用題之間，也有著緊密的聯(lián)系。下面以兩組加減法簡單應(yīng)用題為例加以分析。
�、�有5只黑兔，8 �、诤谕煤桶淄靡还灿� ③黑兔和白兔一共有
只白兔，一共有 13只，有5只黑兔， 13只，有8只白兔，
多少只兔？ 有多少只白兔？ 有多少只黑兔？
�、苡�5只黑兔，白兔 ⑤有5只黑兔，8 �、抻�8只白兔，黑兔
比黑兔多3只，有 只白兔，白兔比 比白兔少3只，有
多少只白兔？ 黑兔多幾只？ 多少只黑兔？
從上面6道題中，很容易看出①②③為一組，①是原型題，②③是①的逆思考；④⑤⑥為一組，⑤是原型題，④⑥是⑤的逆思考。同時(shí)第一組題與第二組題也有聯(lián)系。例如，①④的條件和問題雖不相同，但分析數(shù)量關(guān)系時(shí)卻要把兩個(gè)已知數(shù)合并，從而要用加法解答。①⑤的條件都相同，但問題不同，數(shù)量關(guān)系不同，解答方法也不同。編寫教材和教學(xué)時(shí)，不宜把重點(diǎn)放在分類型上，而要逐步地揭示它們的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，使學(xué)生更好地掌握題里的數(shù)量關(guān)系和解答方法。
分?jǐn)?shù)應(yīng)用題之間、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與整數(shù)應(yīng)用題之間也有其內(nèi)在聯(lián)系。例如，教學(xué)分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題之后，可與整數(shù)應(yīng)用題進(jìn)行聯(lián)系。
通過聯(lián)系對比，可以看出①②③是一組整數(shù)應(yīng)用題，①是原型題；④⑤⑥是一組分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，⑤是原型題。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分別與整數(shù)應(yīng)用題相對應(yīng)，數(shù)量關(guān)系相反，但解答方法是一致的，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法的意義擴(kuò)展了。教學(xué)時(shí)如能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律，就會(huì)加深對兩組應(yīng)用題的理解。
2.復(fù)合應(yīng)用題與簡單應(yīng)用題之間的聯(lián)系。一般地說，復(fù)合應(yīng)用題都是由幾個(gè)簡單應(yīng)用題組合而成的，或者說是在簡單應(yīng)用題的基礎(chǔ)上擴(kuò)展起來的。因此它們之間有著密切的聯(lián)系。但從簡單應(yīng)用題擴(kuò)展到復(fù)合應(yīng)用題又是個(gè)質(zhì)的飛躍。以兩步應(yīng)用題為例，它們同簡單應(yīng)用題比較，不僅是已知條件增多，而且數(shù)量關(guān)系也復(fù)雜了。一般地說，簡單應(yīng)用題的問題是和兩個(gè)已知條件直接聯(lián)系和相對應(yīng)著的，從兩個(gè)已知條件可以判斷所求的問題就是題里的問題；反過來，問題所需要的條件就是題里所給的條件。而在兩步應(yīng)用題中，問題是和題里所有的已知條件聯(lián)系著的，是對所有的條件提出來的。這樣就形成了問題和所需要的直接條件之間的“分離”現(xiàn)象，也可以說一個(gè)直接條件被隱藏起來，而需要根據(jù)問題和已知條件的關(guān)系把這個(gè)所需的條件找出來。從解答的角度說就是要提出一個(gè)中間問題。而要解答這個(gè)中間問題還要正確地選擇已知條件。因此這比解答簡單應(yīng)用題需要較為復(fù)雜的分析和綜合，需要進(jìn)行間接的推理（即從兩個(gè)判斷推出一個(gè)新的判斷）。
例如，兩步應(yīng)用題，“小明畫5張畫，小華比小明多畫3張，他們一共畫多少張？”要求兩人一共畫多少張，必須先知道小明和小華各畫多少張，而題里沒有直接告訴小華畫多少張，所以要先求小華畫多少張。這樣的分析、推理顯然比簡單應(yīng)用題復(fù)雜。
至于三步或更多步數(shù)的應(yīng)用題，已知條件就更多，數(shù)量關(guān)系更復(fù)雜，分析推理的步驟也就更多。但分析推理的方法與兩步應(yīng)用題的基本相同。下面著重談教學(xué)兩步應(yīng)用題如何加強(qiáng)與簡單應(yīng)用題的聯(lián)系。主要有以下兩點(diǎn)：
�。�1）解答一些連續(xù)兩問的應(yīng)用題。為了給學(xué)習(xí)兩步應(yīng)用題做好準(zhǔn)備，除了打好簡單應(yīng)用題的基礎(chǔ)（包括提問題、填條件）外，適當(dāng)出現(xiàn)一些連續(xù)兩問的應(yīng)用題很有好處。這種應(yīng)用題在向兩步應(yīng)用題過渡方面起著橋梁的作用。在這樣的應(yīng)用題中，關(guān)鍵在第二問，有時(shí)缺少一個(gè)已知條件，需要到前面的簡單應(yīng)用題里去找，往往正好是前面一題的計(jì)算結(jié)果；有時(shí)第二問中一個(gè)已知條件也沒有，都要到前面一題里去找。例如，“學(xué)校里有8棵楊樹，柳樹比楊樹多3棵，有多少棵柳樹？兩種樹一共有多少棵？”第二問所需的兩個(gè)已知條件，一個(gè)是前面一題的一個(gè)已知條件，另一個(gè)是前面一題的計(jì)算結(jié)果。由于適當(dāng)進(jìn)行這樣的練習(xí)，就為兩步應(yīng)用題的分析和解答做了一定準(zhǔn)備。
（2）教學(xué)兩步應(yīng)用題時(shí)由簡單應(yīng)用題引入，然后把它擴(kuò)展成兩步應(yīng)用題。例如，“①學(xué)校買來20張顏色紙，用去14張，還剩多少張？②學(xué)校買來12張紅色紙和8張黃色紙，用去14張，還剩多少張？”通過比較，使學(xué)生看出兩步應(yīng)用題與簡單應(yīng)用題的聯(lián)系和區(qū)別，從而初步體會(huì)到兩步應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)，明確解答兩步應(yīng)用題必須分兩步計(jì)算，先提出一個(gè)問題，進(jìn)行計(jì)算，再解答原題里的問題。這樣學(xué)生不僅容易掌握，還有利于激發(fā)學(xué)生的思考，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。以后還要經(jīng)常做一些對比練習(xí)。
3.復(fù)合應(yīng)用題之間的聯(lián)系。這一點(diǎn)更為重要。通過復(fù)合應(yīng)用題間的聯(lián)系對比，可以加深學(xué)生對新學(xué)的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、分析推理方法等的理解，從而較快地掌握復(fù)合應(yīng)用題的解答方法，產(chǎn)生遷移的效果。復(fù)合應(yīng)用題間的聯(lián)系是多種多樣的，需要進(jìn)行認(rèn)真的分析，選取適當(dāng)?shù)穆?lián)系的途徑，才能收到良好的效果。下面舉出加強(qiáng)聯(lián)系的幾個(gè)方面的例子。
�。�1）縱向聯(lián)系的：有些應(yīng)用題是由已學(xué)的步數(shù)較少的應(yīng)用題擴(kuò)展而成的。教學(xué)時(shí)由已學(xué)的應(yīng)用題引入，通過聯(lián)系比較，很容易看出新的應(yīng)用題的條件或問題有哪些變化，如何在已學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析推理，獲得新的應(yīng)用題的解答方法。例如，“①汽車從甲地開往乙地，3小時(shí)行135千米。照這樣計(jì)算，一共行了5小時(shí)，甲乙兩地相距多少千米？②汽車從甲地開往乙地，3小時(shí)行135千米，照這樣計(jì)算，還要行2小時(shí)才能到達(dá)乙地，甲乙兩地相距多少千米？”
（2）橫向聯(lián)系的：有些應(yīng)用題基本數(shù)量
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關(guān)系相同，只是已知條件有些變化，學(xué)生容易在已學(xué)的基礎(chǔ)上類推出來，不需要作為新內(nèi)容來講，這樣既調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，又可減少教學(xué)時(shí)間，收到舉一反三的效果。例如，“①學(xué)校先買10瓶墨水，又買來8瓶。用去14瓶，還剩多少瓶？②學(xué)校買來3盒墨水，每盒6瓶。用去14瓶，還剩多少瓶？”
�。�3）聯(lián)系對比的：有些應(yīng)用題的條件問題相似，解法容易混淆，可以通過聯(lián)系對比使學(xué)生區(qū)分它們的異同，從而提高解題的正確率。例如，“①
�。ㄈ┲匾暯虒W(xué)解題的一般策略
這是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的關(guān)鍵性問題。正如前邊所講的，會(huì)解答所學(xué)的應(yīng)用題并不是最終的教學(xué)目的，而是通過所學(xué)的有代表性的應(yīng)用題達(dá)到使學(xué)生掌握解題的一般策略。這在現(xiàn)今的信息社會(huì)尤為重要，要使學(xué)生成為能夠處理信息的人，通過解答應(yīng)用題培養(yǎng)學(xué)生解題的一般策略是一個(gè)重要途徑。關(guān)于解題的一般策略，主要有以下幾個(gè)方面：
1.條件和問題的收集。
為了解一道題首先要弄清楚題里給了哪些已知條件，要求解決什么問題。識(shí)別或收集條件和問題的過程也就是收集信息的過程，也是理解信息的過程。在低年級往往要求學(xué)生口述已知條件和問題，到高年級也可以教給學(xué)生用圖（如線段圖）或表解來表示已知條件和問題。學(xué)生清楚地表述和表示一道題的已知條件和問題是解題的重要前提。一般地說，題里的問題和所需的已知條件都已直接給出。但是為了更好地培養(yǎng)學(xué)生正確收集必要的信息的能力，在適當(dāng)年級也可適當(dāng)出現(xiàn)信息不完全的題目。例如有的題目可以缺少問題或一兩個(gè)已知條件，讓學(xué)生從實(shí)際中收集，加以補(bǔ)充；也可以適當(dāng)出現(xiàn)一些有多余信息的題目，使學(xué)生能在較多的已知條件中，正確選擇有用的和必需的來進(jìn)行計(jì)算。實(shí)驗(yàn)表明，有能力的學(xué)生看到題很快指出不需要的數(shù)據(jù)，而能力較差的學(xué)生則需要教師的幫助，有的甚至在教師的幫助下也很難找到多余的數(shù)據(jù)。經(jīng)常練習(xí)對于培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力很有好處。
2.分析數(shù)量關(guān)系。
這是對所收集的信息進(jìn)行加工的開始，也是解題的一個(gè)重要步驟。無論解簡單應(yīng)用題或復(fù)合應(yīng)用題，都要認(rèn)真分析題里的已知條件和已知條件之間，已知條件和問題之間的數(shù)量關(guān)系，才好確定解答的方法。分析數(shù)量關(guān)系一般有兩種方法：一種是從條件入手，通稱綜合法；另一種是從問話入手，通稱分析法。綜合法比較容易掌握，但其缺點(diǎn)是學(xué)生往往看到前面相鄰的兩個(gè)已知條件就進(jìn)行計(jì)算，而忽略后面的已知條件，未從整體考慮。提出的中間問題不一定是解這道題所需要的。從問話入手稍難一些，但能使學(xué)生從整體出發(fā)，根據(jù)所解的問題提出所需的條件，從而較正確地確定中間問題。實(shí)驗(yàn)表明，開始教學(xué)解兩步應(yīng)用題，宜于從條件入手，即使采取了這種分析的方法，也還會(huì)有部分中、差生難以提出中間問題，需要經(jīng)過一段訓(xùn)練逐步掌握。但是逐步要轉(zhuǎn)到訓(xùn)練學(xué)生從問話入手，這對提高學(xué)生解多步應(yīng)用題的分析能力很有幫助。至于學(xué)生自己解題時(shí)用哪種方法分析，不必加以限制�？紤]到進(jìn)行分析需要一定的訓(xùn)練時(shí)間，課堂上解應(yīng)用題時(shí)要給學(xué)生口頭分析的機(jī)會(huì)，除了教師指定某個(gè)學(xué)生分析外，要讓同桌的學(xué)生互相練習(xí)分析。不宜過早地讓學(xué)生書面分析，這樣費(fèi)時(shí)間，會(huì)減少解答應(yīng)用題的數(shù)量。學(xué)生有了口頭分析的基礎(chǔ)，可在課外安排少量的書面分析作業(yè)。此外，訂正時(shí)也要重視讓學(xué)生進(jìn)行口頭分析。
3.擬訂解答計(jì)劃。
這是對信息進(jìn)行加工的繼續(xù)。就解決一般的問題來說，它是必不可少的步驟。但在小學(xué)數(shù)學(xué)中，解答簡單應(yīng)用題時(shí)則沒有必要，只在解答復(fù)合應(yīng)用題時(shí)才有必要，而且有時(shí)邊分析邊擬訂解答計(jì)劃邊解答，往往與上一步的分析數(shù)量關(guān)系或下一步的解答合并起來。從掌握解題的一般策略來說，還是單把它劃為一個(gè)階段為好。擬訂解答計(jì)劃是在理解題意、分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上確定解答需要分成幾步，每步要解答什么問題。這是分析、推理的直接成果。正確地?cái)M訂解答計(jì)劃，表明學(xué)生對所解的題目有了整體上的理解，同時(shí)又對解決問題的具體步驟做出了合乎邏輯的規(guī)劃。能否在解答之前正確地?cái)M訂解答計(jì)劃也是考察學(xué)生能力的重要的標(biāo)志之一。實(shí)驗(yàn)表明，好的學(xué)生一般能在解答之前訂好解答計(jì)劃，而較差的學(xué)生往往能正確解答，卻不一定能正確地提出每一步所要解決問題。因此，教學(xué)時(shí)在這方面適當(dāng)加以訓(xùn)練，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維有一定的好處。
4.解答。
這是對信息進(jìn)行加工的最后階段。如果說前面各階段主要是思維的過程，那么這個(gè)階段要產(chǎn)生思維的結(jié)果。當(dāng)然這個(gè)階段也是有思維過程的。例如解答每一步要選擇哪兩個(gè)已知數(shù)，進(jìn)行哪種運(yùn)算，如何使計(jì)算正確等，都要深思熟慮，這樣才能達(dá)到最終的正確結(jié)果。教學(xué)的任務(wù)就是要引導(dǎo)學(xué)生既重視思維的過程，也重視思維的結(jié)果，達(dá)到正確解答應(yīng)用題的目的。這里需要提出的是，往往學(xué)生把算法選對了，但把得數(shù)算錯(cuò)了；或者豎式里的得數(shù)算對了，最后抄錯(cuò)了數(shù)。因此這個(gè)階段特別要注意培養(yǎng)細(xì)心認(rèn)真的良好習(xí)慣。
5.檢驗(yàn)與評價(jià)。
對應(yīng)用題的解答的檢驗(yàn)與評價(jià)實(shí)質(zhì)上是對信息的檢驗(yàn)與評價(jià)。這一步教學(xué)不僅對提高應(yīng)用題解答的正確率有幫助，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的檢驗(yàn)習(xí)慣，對信息的正確評價(jià)的能力。有經(jīng)驗(yàn)的教師對這方面的教學(xué)比較重視，收到較好的效果。但是也常常遇到教師雖然重視了，但有少數(shù)學(xué)生仍沒有養(yǎng)成良好的檢驗(yàn)習(xí)慣，甚至有少數(shù)好的學(xué)生做得很快，但是檢查不出錯(cuò)誤。因此在培養(yǎng)檢驗(yàn)習(xí)慣的同時(shí)，還要適當(dāng)教以檢驗(yàn)的方法。檢驗(yàn)方法有多種，通常低年級只要教學(xué)生從審題到解答逐一檢查。中、高年級有些題可以逐步教給學(xué)生用不同解法來檢驗(yàn)。例如，原來應(yīng)用題是用連減計(jì)算的，檢驗(yàn)時(shí)可以把兩個(gè)減數(shù)相加，再從被減數(shù)里減，去，看兩次算得的結(jié)果是否相同。以后還可以適當(dāng)教學(xué)生把求得的結(jié)果作為已知條件，把另一個(gè)已知的量作為未知的，然后倒推求出結(jié)果看是否與已知的相符。這只作為一種檢驗(yàn)方法教給學(xué)生在解答中練習(xí)應(yīng)用，不宜作為考試要求。通過檢驗(yàn)要培養(yǎng)學(xué)生對自己的解答具有負(fù)責(zé)態(tài)度和自信心。檢驗(yàn)之后還要能對自己的解答進(jìn)行評價(jià)。為了培養(yǎng)學(xué)生評價(jià)能力，可以開展相互評價(jià)，或教師給學(xué)生一些案例讓學(xué)生練習(xí)評價(jià)。有條件的話，還可以教給學(xué)生估算得數(shù)。
解題的一般策略除上述幾方面外，還有預(yù)測、解釋等。這里從略�？傊�，今后應(yīng)用題教學(xué)要真正做到培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，不是在加深應(yīng)用題的難度上下功夫，而是要通過有代表性的又為學(xué)生容易接受的題目，著重培養(yǎng)學(xué)生解題的一般策略，使學(xué)生能夠產(chǎn)生遷移，這樣即使遇到一些未解過的題目，學(xué)生經(jīng)過自己的分析、推理也能找出解答的方法。
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練習(xí)在培養(yǎng)解答應(yīng)用題能力中起著重要的作用。但是練習(xí)要合理地組織，才能收到良好的效果。其中特別是適當(dāng)安排一些變式練習(xí)，對于克服簡單的機(jī)械重復(fù)，提高解題效率，培養(yǎng)靈活的解題能力，具有十分重要的意義。實(shí)驗(yàn)表明，通過變式練習(xí)，很多學(xué)生能夠排除應(yīng)用題中非本質(zhì)特征的干擾，正確地分析題里的數(shù)量關(guān)系和選擇運(yùn)算方法，求得正確的答案。應(yīng)用題的變式練習(xí)從低年級起就要做一些安排。主要有以下幾個(gè)方面：
1.改變敘述的順序。例如，乘法應(yīng)用題，第一個(gè)已知條件不僅有需做被乘數(shù)的，還要有需做乘數(shù)的。復(fù)合應(yīng)用題，有些相鄰的兩個(gè)已知條件可以進(jìn)行計(jì)算的，也要有些不可以進(jìn)行計(jì)算的，使學(xué)生能在真正理解題里的數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上正確地選配已知數(shù)進(jìn)行計(jì)算。
2.改變敘述的方式。例如，加法應(yīng)用題，不宜每題的問題都出現(xiàn)“一共”，已知條件中也可以出“飛走”“跑掉”等詞語，以防學(xué)生簡單地根據(jù)個(gè)別詞語錯(cuò)誤地判斷運(yùn)算方法。在高年級教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題更要注意適當(dāng)變化敘述方
這樣可以防止學(xué)生死記“相當(dāng)于”后面就是“單位1”，而加強(qiáng)分析數(shù)量關(guān)系。
3.有多余的條件。在解題的一般策略中已經(jīng)談過。也可以把它看作是一種變式練習(xí)。由于有多余的條件，對原來所解的正常的題目來說，在內(nèi)容和形式上都有了一些非本質(zhì)的變化，這就促使學(xué)生更認(rèn)真地分析數(shù)量關(guān)系，正確地選擇已知數(shù)和運(yùn)算方法，而不受這些非本質(zhì)特點(diǎn)的干擾，從而有利于發(fā)展學(xué)生的思維。例如，教學(xué)兩步應(yīng)用題后出現(xiàn)這樣的應(yīng)用題：“同學(xué)們做了8朵紅花，7朵黃花。送給幼兒園3個(gè)班，一共送了10朵，還剩多少朵？”實(shí)驗(yàn)表明，如果去掉“3個(gè)班”，絕大多數(shù)學(xué)生都能做對；加上“3個(gè)班”后，出現(xiàn)了各種各樣的錯(cuò)誤，其中按三步計(jì)算的達(dá)30％。
4.改變個(gè)別已知條件或問題，使其具有不同的或特殊的解法。例如，教學(xué)正比例之后出現(xiàn)這樣的應(yīng)用題，“果園里有梨樹100棵，桃樹與梨樹的棵數(shù)比是4∶5，有桃樹多少棵？”學(xué)生很容易用比例解答出來。如果把第二
棵數(shù)的比才能用比例解答。又例如，“玩具廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)玩具42件，8天完成。實(shí)際只用6天。實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)多少件？”學(xué)生一般都能列成算式：42×8÷6—42。如果把“6天”改為“7天”，雖然仍可照上面方法列式解答，但是還有特殊解法，有的學(xué)生會(huì)列成簡便算式：42÷7。因此它有利于發(fā)展學(xué)生的直覺思維。
解答應(yīng)用題的變式練習(xí)是多種多樣的，這里只選常見的有代表性的幾個(gè)方面舉例說明。由此也能看出它們在提高學(xué)生靈活的解題能力，發(fā)展學(xué)生思維方面的作用。
�。ㄎ澹┻m當(dāng)增加探究性的題目
如前所述，國外應(yīng)用題教學(xué)改革的一個(gè)趨勢是擴(kuò)展應(yīng)用題的范圍，其中增加探究性的題目又是重點(diǎn)。我國應(yīng)用題教學(xué)要進(jìn)行改革，也應(yīng)突破傳統(tǒng)的應(yīng)用題的范圍，適當(dāng)增加探究性的題目，以利于提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)造性。初步考慮，可以注意以下幾個(gè)方面：
1.適當(dāng)出一些開放性的題目。
所謂開放性的題目就是題目的答案可以有多個(gè)。長期以來我們教學(xué)應(yīng)用題的答案都是唯一的，這樣把學(xué)生的思維束縛得很死，不利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，如前面第二部分所舉在○里填數(shù)的題目就是一個(gè)開放性的題目。第一個(gè)○里可以填不同的數(shù)，但是也有一定的范圍限制。即最小是3，最大是13。又例如，周長是12厘米的長方形，長和寬都是整數(shù)，它的長、寬可能各是多少厘米？
2.適當(dāng)出一些探索規(guī)律性的題目。
通過探索規(guī)律可以培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，發(fā)展思維的創(chuàng)造性。出題目時(shí)要注意具有多層次，以便于區(qū)分學(xué)生的不同思維水平。例如，下面的題有3個(gè)層次，第1小題是通過直觀進(jìn)行計(jì)算，第2小題離開直觀進(jìn)行計(jì)算，第3小題脫離具體計(jì)算概括公式。
（l）照下圖的樣子用小棒連著擺正方形。
□□ 擺2個(gè)用（ ）根
□□□ 擺3個(gè)用（ ）根
□□□□ 擺4個(gè)用（ ）根
�。�2）連著擺6個(gè)正方形，要用（ ）根小棒。寫出算式。
（3）如果不數(shù)小棒，你能找出一般的計(jì)算公式嗎？
實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生的答案呈現(xiàn)不同的思維水平。例如，有的學(xué)生第2小題就做錯(cuò)了，有的學(xué)生第2題雖然做對，但不會(huì)在此基礎(chǔ)上概括出一般計(jì)算公式。
3.適當(dāng)出一些非常規(guī)的題目。
上面舉的一些例子有開放性、探索規(guī)律等特點(diǎn)，但是還與常規(guī)計(jì)算有較密切的聯(lián)系。這里則指的是不一定用到常規(guī)計(jì)算的題目。例如，“有甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)生賽跑，結(jié)果可能排出不同的名次。算一算一共可以排成多少種不同的名次�！边@道題就不能利用常規(guī)計(jì)算而要借助圖表找出正確答案。
以上探究性題目可都不作為教學(xué)要求，也不作為考試內(nèi)容。
小學(xué)數(shù)學(xué)是隨著社會(huì)、科學(xué)技術(shù)、生產(chǎn)和生活的發(fā)展需要不斷變化的，其中的應(yīng)用題教學(xué)必然也要隨著發(fā)生變革。目前，無論從教材或教學(xué)來看，對應(yīng)用題進(jìn)行了一些改革，但是還很不夠，需要進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)、探索，使其更加完善，以適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要，為培養(yǎng)人才打下更好基礎(chǔ)做出貢獻(xiàn)。
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