高中數(shù)學課堂教學中創(chuàng)新能力培養(yǎng)的實踐與思考

　　隨著數(shù)學教材改革的深入開展，提高學生能力的問題越來越引起人們的重視。為了進一步提 高數(shù)學學習的質(zhì)量，有必要對能力問題開展進一步的研究.心理學研究指出，能力分一般能 力和特殊能力。一般能力是指順利完成各種活動所必備的基本心理能力，特殊能力是指順利 完成某種特殊活動所必備的能力。在數(shù)學教育領(lǐng)域內(nèi)，一般能力包括學習新的數(shù)學知識的能 力，探究數(shù)學問題的能力，應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力，提高這些能力將大大推動學 生素質(zhì)的提高。?  


　　數(shù)學創(chuàng)新能力是數(shù)學的一般能力，包括對數(shù)學問題的質(zhì)疑能力、建立數(shù)學模型的能力（即把 實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力）、對數(shù)學問題猜測的能力等，在數(shù)學教學過程中，教師應(yīng) 特別重視對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，使每一個學生都養(yǎng)成獨立分析問題、探索問題、解決問題 和延伸問題的習慣。讓所有的學生都有能力提出新見解、發(fā)現(xiàn)新思路、解決新問題。數(shù)學創(chuàng) 新能力的培養(yǎng)相比數(shù)學知識的傳授更重要，數(shù)學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有利于學生形成良好的數(shù)學 的思維品質(zhì)以及運用數(shù)學思想方法的能力。  


一、 培養(yǎng)學生善思、善想、善問的數(shù)學品質(zhì)，提高質(zhì)疑能力  


　　就研究性學習而言，需要培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，而發(fā)現(xiàn)問題和提出問題需要 一定的方法，這些方法應(yīng)在課堂教學中逐步培養(yǎng)。高中學生對數(shù)學知識的獲得大多表現(xiàn)在記 憶和解題上，缺乏對知識間的聯(lián)系和分析，被動接受的多，主動反思的少。?  


　　如我在講授《數(shù)學歸納法》一課時，有意設(shè)計了下面三個問題。問題1：今天，據(jù)觀察第一 個到學校的是男同學，第二個到學校的也是男同學，第三個到學校的還是男同學，于是，我 得出：這所學校里的學生都是男同學。（學生：竊竊私語，哄堂大笑——以偏概全）。問題 2：數(shù)列{an}的通項公式為an＝（n2-5n+5）2,計算得a1＝1,a2＝1,a3＝1, 可以猜出數(shù)列{an}的通項公式為：an＝1(此時，絕大部分學生不作聲——默認，有一學生 突然說：當n＝5時，an＝25,a 5≠1,這時一位平時非常謹慎的女生說：“老師今天你第 二次說錯了”)。問題3：三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為2*180°，五邊形的內(nèi) 角和為3*180°，……，顯然有：凸n邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180°。（說到這里，我說： “這次老師沒有講錯吧？”）上述三個問題思維方式都是從特殊到一般，問題1、2得到的結(jié) 論是錯的，那么問題3是否也錯誤？為什么？（學生茫然，不敢質(zhì)疑）。合理地利用材料， 提出好的問題，引出課題，揭示了本 節(jié)知識的必要性。通過讓學生自主參與知識產(chǎn)生、形成的過程，獲得親身體驗，逐步形成一 種在日常學習與生活中愛置疑、樂探究的心理傾向，激發(fā)探索和創(chuàng)新的積極欲望。不僅使學 生理解了歸納法，而且掌握了分析、判斷、研究一般問題的方法。?  


　　高中學生的數(shù)學創(chuàng)新能力主要表現(xiàn)在：①在解題上提出新穎，簡潔，獨特方法。②運用類比 的方法對某些結(jié)論進行推廣和延伸，獲的更一般的結(jié)論。如2000年上海秋季高考第12題：“ 在等差數(shù)列{an}中,若a10＝0，則有等式a1+a2+……an＝a1+a2+……+a19-n(n＜19,n∈N＝成立。類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中,若b9＝1， 則有等式______成立”。用有關(guān)等差數(shù) 列和等比數(shù)列概念和類比的方法，辯明等差數(shù)列和式兩邊元素下標的關(guān)系；運用類比的手段 ，將已知等差數(shù)列的性質(zhì)拓展到等比數(shù)列的性質(zhì)，無疑發(fā)現(xiàn)了解決上述問題的通道，這是一個創(chuàng)新的過程。類比的結(jié)論不一定都正確，對問題的質(zhì)疑比單一的解題，其效果是不一樣的，如在等差數(shù)列{an}中，sm＝a1+a2+……+am,則sm,s2m?-sm,s3m -s2m?成等差數(shù)列，能否類比到等比數(shù)列{bn}中，sm,s2m-sm,s3m-s2m成也等比數(shù)列，許多學生可能會證明它是正確，但這結(jié)論恰恰是錯誤的(當a1＝2，公比q＝-1時，s2＝s4-s2＝s6-s4＝0）。再 如，2000年上海春季 高考題：設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x≤-1時，y＝f(x)的圖象是經(jīng)過點(-2,0)，斜率 為 1的射線。又在y＝f(x)的圖象中有一部分是頂點在（0,2），且過(-1,1)的一段拋物線，試 寫 出f(x)的 表達式,并作出圖象。高考結(jié)束以后就有學生問：拋物線是否僅二次函數(shù)的圖象？ 如果不是，那么它的解不唯一。③通過對問題的變式引出新的問題進行探索。譬如，在求數(shù)列an＝2n-1的前n項和時�？梢砸�出數(shù)列{a3n}和{α3n}的前n項和，讓學生進行充分的討論，前一問題仍是等差數(shù)列的前n項和，但首項、公差都已經(jīng)變化，認知上沒有沖突，學生是可以解決的；后一問題如果學生不深入研究數(shù)列的通項公式，那么他就無法求此數(shù)列的前n項和.探 究等差數(shù)列相關(guān)知識，對學生而言應(yīng)是創(chuàng)新性思維；如果再將產(chǎn)生的結(jié)論向等比數(shù)列聯(lián)想，可使這種創(chuàng)新思維得到延伸，達到不斷激發(fā)學生創(chuàng)新欲望之目的。?  


二、建立新的數(shù)學模型并應(yīng)用于實踐的能力?  


　　數(shù)學問題來源于社會實際，又指導著人們的工作、學習。對不同的問題建立不同的數(shù)學模型 ，有利于學生參與社會實踐、服務(wù)社會。如某商品的單價隨時間而變化，假設(shè)A同學每次買a 元的商品，B同學每次買b件的商品，試比較A、B兩同學同時購買該商品兩次，誰較合算？ 可以讓學生帶著上述問題進商場，同一商品在不同的商場價格可能是不一樣的，組織兩組學 生各自收集一下所需的數(shù)據(jù),找到此商品在這兩家商場內(nèi)的單價分別為m元和n元(把隨時間變 化轉(zhuǎn)化為隨商場而變化)，分別計算出A，B同學兩次購買這商品的平價價格 2a 和 bm + bn  


　　a + a 2b  


　　m n  


　　建立不等式作差，得A平均-B平均＝2mn-m+n＝(m-n)2≤0，就能說明誰更合算，質(zhì)疑是否為整數(shù)，上述解 m+n 2 2(m+n)  


　　答是否最合理。再如上網(wǎng)費與上網(wǎng) 時間的關(guān)系也可以讓學生上電信局去采集相關(guān)的數(shù)據(jù)。通過實踐培養(yǎng)學生收集信息，分析處 理信息和實際問題數(shù)學模型化的能力。?  


（1）上述解決問題過程可概括為：  


（2）解決上述問題的思想方法為：  


?  


　　問題一、二可以分別建立不等式和函數(shù)的數(shù)學模型來解決。又比如2003年上海春季高考第22 題是有關(guān)工資問題，可以建立等差、等比數(shù)列的數(shù)學模型。這些問題都有各自的實際背景， 要解決這些問題，除了要熟悉有關(guān)的實際背景，更關(guān)鍵的是要通過審題、分析建立相應(yīng)的數(shù) 學模型，利用已有的數(shù)學知識、數(shù)學思想方法、計算工具來解決相關(guān)的實際問題，體驗數(shù)學 模型化的價值，同時培養(yǎng)了學生實踐和創(chuàng)新能力。數(shù)學來源社會實踐，又服務(wù)于社會實踐， 創(chuàng)新能力型問題很多，要求有高有低，我們不能要求學生一一掌握，但讓他們知道這些問題 共同的特點，探求問題解決的一般方法。  


　　高中數(shù)學中創(chuàng)新方法可以歸納為以下幾類：從特殊到一般、從一般到特殊、聯(lián)想與類比、建 模、化歸與轉(zhuǎn)化、引申與拓展等。在數(shù)學教學中，教師要特別注意培養(yǎng)學生根據(jù)題中具體條 件，自覺、靈活地運用數(shù)學思想方法，根據(jù)不同的類型探索出一般的規(guī)律；在教學過程中， 通過變換不同思考角度，就可以發(fā)現(xiàn)新方法、新問題，制定新策略、解決新問題。?  


　　本人認為，高中學生數(shù)學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)貫穿于整個數(shù)學課堂教學過程中，要不失時機地讓 學生進行類比、推廣、探究、質(zhì)疑，培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新能力、發(fā)展學生的一般能力，為終 身學習打下扎實的基礎(chǔ)。