數(shù)學學習過程與數(shù)學教學策略

數(shù)學學習過程與數(shù)學教學策略

(課程教材研究所副編審)顏其鵬

　在中學數(shù)學教學實踐中，存在的一個問題是：數(shù)學教學只重視教而相對地忽視學，只重視教學方法、教學手段等的改革，而相對地忽視對學生學習規(guī)律、學習方法等的探索。這樣，造成了目前數(shù)學教學雖費時較多，但教學效果并不太佳。總結(jié)上述教訓，筆者認為，提高數(shù)學教學質(zhì)量的關鍵在于根據(jù)學生學習數(shù)學的心理機制和教學內(nèi)容進行數(shù)學教學。為此，本文在對學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)、數(shù)學學習過程進行較為系統(tǒng)的分析和探討的基礎上，提出了一些相應的數(shù)學教學策略。?

　一、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)?

　所謂數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，筆者認為，它是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)與學生個體心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物，是學生頭腦中的數(shù)學知識、技能按照自己的感知、記憶、表象、想像、思維等認知操作，組成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)，是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)“內(nèi)化而來”的。

　數(shù)學知識經(jīng)驗系統(tǒng)是學生頭腦中已有的數(shù)學知識、經(jīng)驗及其組織，它包括數(shù)學基礎知識和數(shù)學技能兩個要素。?

　數(shù)學基礎知識是學生頭腦中已有的數(shù)學事實、結(jié)論性知識及其組織特征。它是學生經(jīng)過數(shù)學學習后所形成的經(jīng)驗系統(tǒng)，包括數(shù)學概念，數(shù)學語言，數(shù)學公式、符號，數(shù)學命題，數(shù)學方法以及它們的組織網(wǎng)絡。?

　 數(shù)學技能是相應于數(shù)學基礎知識發(fā)生、發(fā)展和應用過程中而產(chǎn)生的，順利完成數(shù)學活動任務的復雜的動作系統(tǒng)。它包括數(shù)學操作技能、心智技能等。?

　事實上，學生的數(shù)學知識經(jīng)驗越豐富，知識的組織越合理，就越容易內(nèi)化外界輸入的信息，并吸收它為自己的數(shù)學認識結(jié)構(gòu)中的一部分。比如，學生對于二元一次方程組、一元二次方程的解法掌握得比較牢固，對解方程或方程組的“消元、降次”思想理解得比較好，那么就很容易掌握二元二次方程組、簡單的高次方程的解法。

　 (二)數(shù)學認知操作系統(tǒng)是指學生在已有的數(shù)學知識經(jīng)驗系統(tǒng)的基礎上，運用感知、想像、數(shù)學思維等對數(shù)學信息(新知識)進行操作，處理的較穩(wěn)定的個性認知特征，它可進一步概括為數(shù)學能力，其核心是數(shù)學思維能力，而表現(xiàn)和衡量的標準則是數(shù)學認知品質(zhì)(如認知的目的性、敏捷性、全面性、準確性、深刻性等)。?

　認知操作系統(tǒng)是由一定年齡階段學生的認知發(fā)展(即智力發(fā)展)水平和特征所決定的，它反映了學生的認知(智力)發(fā)展狀況，具有相對穩(wěn)定性，但又表現(xiàn)出較大的個體差異，因此，它是教師進行因材施教的根據(jù)。?

　 (三)數(shù)學元認知系統(tǒng)就是個體對自己數(shù)學認知活動的監(jiān)控、調(diào)節(jié)系統(tǒng)，是學生進行數(shù)學認知活動的中樞指揮系統(tǒng)。表現(xiàn)在學生主體根據(jù)數(shù)學活動的要求，選擇適宜的認知操作方法進行認知活動，并監(jiān)控認知活動進行的過程；同時，還不斷地分析反饋信息，及時調(diào)節(jié)自己的認知過程和策略。?

　數(shù)學元認知的實質(zhì)就是學生的數(shù)學觀念或數(shù)學素養(yǎng)，是學生用數(shù)學思維方式去考慮問 題、處理問題的自覺意識和習慣。?

　從上面對數(shù)學認知結(jié)構(gòu)要素的分析可以看出，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)具有下列的功能：1.選擇。當數(shù)學信息(新知識)刺激時，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)必須對已有的數(shù)學知識經(jīng)驗進行過濾，分化，以找出與新知識有所聯(lián)系的已有的知識經(jīng)驗；2.同化，即用已有數(shù)學知識經(jīng)驗去說明、解釋并容納數(shù)學新知識；3.順應。由于主體數(shù)學認知結(jié)構(gòu)具有自我意識和自我調(diào)節(jié)能力，當原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)不能容納數(shù)學新知識時，則主體對原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)進行改造，以便同化新知識；4.預見。個體通過數(shù)學認知結(jié)構(gòu)能從整體上把握數(shù)學事實或結(jié)論，從而產(chǎn)生數(shù)學直覺，顯然，直覺帶有一定的預見性質(zhì)；5.遷移與運用，即數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的知識經(jīng)驗、認知操作系統(tǒng)或元認知系統(tǒng)都可以影響后繼數(shù)學學習、其他學科學習和解決實際問題。?

　正因為數(shù)學認知結(jié)構(gòu)具有上述功能，可以說數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是數(shù)學認知活動賴以進行的心理結(jié)構(gòu)，同時，形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)又是數(shù)學認知活動的總目標。?

　二、數(shù)學學習過程的模式?

　對于數(shù)學學習過程，我們認為是在特定的學習情境中，在數(shù)學教師的主導下，學生主體對數(shù)學知識的認知活動過程，在這個過程中，學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)在學習數(shù)學的情感系統(tǒng)的參與和影響下，不斷地對數(shù)學新知識進行認知操作，結(jié)果導致學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和學習數(shù)學的情感系統(tǒng)不斷地變化和發(fā)展，從而達到數(shù)學學習目標的要求。

　 (一)數(shù)學學習的新內(nèi)容是數(shù)學學習的客體，它是數(shù)學教材所敘述的數(shù)學事實(如數(shù)學語言、符號、公理、原始概念等)，數(shù)學概念、數(shù)學原理(如數(shù)學定理、命題、定律、公式等)、數(shù)學技能(包括操作技能、心智技能)等知識組成的，是在一定時間限度內(nèi)學生所要掌握的知識。因此，它可指一節(jié)課的內(nèi)容、一節(jié)或一章的內(nèi)容，也可指一門數(shù)學分支等。?

　數(shù)學情境是指學生學習數(shù)學新知識的外部環(huán)境，包括教師創(chuàng)設的數(shù)學教學情境，課堂學習氣氛等，它伴隨著教師教學活動的深入而直接地、持續(xù)地與整個數(shù)學學習活動發(fā)生相互作用，甚至決定數(shù)學學習效果。?

　 (二)數(shù)學學習的準備可以分為認知準備和情感準備兩個方面。認知準備指學生原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，是學生進行數(shù)學學習的必要條件(先決認知條件)，情感準備是學生能否專心于數(shù)學學習過程中的心理條件，它一般由先前數(shù)學學習效果、先前其他學習、對數(shù)學學習價值的認識和數(shù)學學習動機、學習態(tài)度、情緒、意志等情感因素所決定的。?

　 (三)學生有了適當?shù)膶W習準備后，當數(shù)學信息(數(shù)學新知識)刺激大腦時，大腦就通過學習情景與數(shù)學信息發(fā)生相互作用，從而進入了學習的內(nèi)化階段。?

　內(nèi)化階段包括定向、聯(lián)想、同化或順應等幾個心理過程。?

　 1.在學習的定向階段，首先，學生從對學習情境所提供的背景關系的俯瞰全貌式的概覽開始，不斷的探究、領悟新知識的價值和特點，從而使原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)與新知識發(fā)生認知沖突，這種沖突使得他們在心理上產(chǎn)生學習新知識的認知需要和學習動機，從而促使他們調(diào)用原認知結(jié)構(gòu)去處理新知識，進行認知活動。其次，學生通過感官的作用，辨別數(shù)學新知識的特征(如數(shù)學符號、術語、公式、圖象等)，并把它和已有的數(shù)學知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，從而分化出數(shù)學新知識的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征。最后，通過對本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征的區(qū)分，概括出新知識的有意義的東西，獲得了數(shù)學新知識的表象和結(jié)構(gòu)，即潛在意義。

　 2.知覺到新知識的潛在意義后，要達到對新知識的理解，還需要新舊知識相互作用，這一思維過程從聯(lián)想開始。?

　聯(lián)想即把原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中與數(shù)學新知識有聯(lián)系的知識經(jīng)驗(如概念、命題、術語、思想方法等)分化出來，以提供內(nèi)化新知識的銜接點和組織者。它包括選取原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中與新知識有關的知識經(jīng)驗，區(qū)分新舊知識的異同，分化與新知識有本質(zhì)聯(lián)系的知識經(jīng)驗等幾個環(huán)節(jié)。對于復雜的數(shù)學學習(如問題解決)，聯(lián)想是創(chuàng)造性思維的第一步，即它能綜合已有的知識，在對問題情景的整體把握基礎上，構(gòu)造出新問題的基本結(jié)構(gòu)和模型，從而對問題的解決提出假設。?

　例如，中學生在學習矩形概念時，他們從日常生活和小學學過的長方形概念中取得了潛在意義；然后，通過聯(lián)想，從原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中分化出內(nèi)化新知識的銜接點——平行四邊形概念和性質(zhì)。?

　聯(lián)想的結(jié)果，使新舊知識建立了實質(zhì)的、非人為的聯(lián)系。接著，學生可以運用已分化出的知識經(jīng)驗來內(nèi)化新知識，并且以同化和順應兩種形式來進行。?

　 3.同化是利用原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的數(shù)學知識經(jīng)驗去說明、解釋并容納數(shù)學新知識。例如，學生學習矩形的概念就是利用平行四邊形概念進行同化的過程。?

　順應是指當原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)不能有效地容納數(shù)學新知識時，主體將對原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)進行改造，以適應新知識的學習。順應的過程是：對新知識進行歸納、概括，對原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)進行改造和整理，從而使新舊知識建立密切聯(lián)系，新知識被納入到學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中，原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)得到改造并擴大。例如，初一學生學習代數(shù)初步知識，就是通過順應來進行的。盡管他們在小學學過算術，但算術與代數(shù)的不一致性，使他們只能改造頭腦中已有的算術知識結(jié)構(gòu)，通過字母代表數(shù)的學習，才逐漸掌握代數(shù)知識。?

　如果說同化的作用是改造新數(shù)學知識使之與數(shù)學認知結(jié)構(gòu)相吻合的話，那么順應則是改造原認知結(jié)構(gòu)以適應學習新知識的需要，因而同化只能從量上豐富原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，順應則能從質(zhì)上改變數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，不過，同化和順應往往存在于同一個認知活動中，在同化中有順應，而在順應中，盡可能先同化。例如，數(shù)系的一系列擴張，就是舊數(shù)系順應新數(shù)系，而新數(shù)系則盡可能保持舊數(shù)系的原有法則，這是一個實質(zhì)上順應，形式上同化的過程。?

　值得指出的是，不管同化或順應，總要對原有數(shù)學知識經(jīng)驗和新知識作出重新評價。即使新知識可作為原數(shù)學知識經(jīng)驗的補充和完善，原數(shù)學知識經(jīng)驗的某些部分也應重新分類、重新形成概念，并且這一過程還特別需要元認知系統(tǒng)的監(jiān)控、調(diào)節(jié)。?

　經(jīng)過同化和順應后，新數(shù)學知識納入了學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中，原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化。但是新舊知識的相互作用并未停止，新知識的保持和遺忘就是同一相互作用的繼續(xù)。因此，只有采用一定的強化措施，才能鞏固所獲得的新知識。?

　 (四)強化階段是數(shù)學新知識的進一步理解和鞏固階段，它是通過練習、形成性評價、小結(jié)(概括)、靈活運用等方式而實現(xiàn)的。

　 1.練習過程是學生把數(shù)學新知識初步運用于具體情境中的過程。通過練習，可以使自己對新知識的理解程度有明確的認識，從而起反饋作用；可以使自己對新知識的理解更完整化、具體化，從而進一步保持和長時間鞏固新知識，并形成技能；同時，還有助于提高學生的學習興趣，維持良好的學習動機。有時，練習還可以使學生產(chǎn)生整體感受，從而為領悟數(shù)學整體的突出性質(zhì)——數(shù)學思想打下基礎。?

　課堂例題、課堂練習、課外作業(yè)等都可看作是練習。?

　 2.應當說，形成性評價是以檢驗學生對學習內(nèi)容的領會程度為標準的，因而它應貫穿于數(shù)學新知識意義的獲得和保持過程的始終。它又包括教師課內(nèi)診斷和學生自我評價兩個方面。教師對學生的課內(nèi)診斷一般通過觀察、提問和形成性測試等手段進行。學生的自我評價一般是從教師的評價、原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中元認知的監(jiān)控和調(diào)節(jié)作用以及練習中得出的，它也包括認知和情感兩方面內(nèi)容。?

　通過形成性評價后，學生對于自己掌握新知識的情況有所了解，從而調(diào)節(jié)自己進一步努力的方向；同時，教師可對癥下藥，采取補救措施。?

　 3.小結(jié)是指在獲得新知識的意義并通過練習(通過變式和具體運用，抓住本質(zhì)特征)后，用最簡單、最經(jīng)濟、概括性最強的術語對新知識加以組織，使數(shù)學新知識變?yōu)榫哂懈爬ㄐ�，能融合于已有知識經(jīng)驗中的基本概念、基本命題、公式甚至思想等，從而使新知識更加鞏固。通過小結(jié)，新知識由于其概括性而具有更大的遷移價值，即還能影響后繼學習和運用它們解決問題。?

　 4.新知識的靈活運用過程是指創(chuàng)造性地利用新知識

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去解決數(shù)學問題及其他問題的過程。實際上，解決問題是在對問題情景和題目條件的整體把握的情況下，利用原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)從整體的角度把握問題的實質(zhì)，再結(jié)合數(shù)學知識經(jīng)驗調(diào)動各種數(shù)學思維成分(如邏輯思維、直覺思維、發(fā)散思維和輻合思維等)的參與，從而提出嘗試性模型(假設)，并檢驗假設以達到目的。?

　靈活運用是檢查學生數(shù)學學習效果的綜合性指標，也是數(shù)學學習的最高目標。?

　 (五)數(shù)學學習效果包括認知成果和情感變化兩個方面。

　經(jīng)過學習的內(nèi)化和強化階段后，在認知方面的成果是：新知識被納入到學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中，形成了新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，并且新知識被概括化、整體化，具有遷移作用，另外，形成了較強的技能，發(fā)展了能力。對于具體的學習，情感變化不會太大，但對于一單元，一門分支的數(shù)學學習，學生對于數(shù)學價值的認識、學習動機、學習積極性等均會有一些變化，具體討論略。?

　 (六)以等腰三角形概念的學習為例，說明概念學習的過程。?

　 1.學習的內(nèi)容：等腰三角形的概念，學習的準備：原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中三角形的概念、 三角形全等的性質(zhì)和判定。?

　 2.內(nèi)化階段：首先(由教師根據(jù)圖形)給出“有兩條邊相等的三角形是等腰三角形”這一定義和本質(zhì)屬性，并給出相應的腰、頂角、底角的定義，這樣學生可以分化為等腰三角形概念的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征；其次，學生將新概念(等腰三角形)與原認知結(jié)構(gòu)中的知識經(jīng)驗(三角形、全等三角形)聯(lián)系起來，把新概念納入原有概念(三角形)中，并認識到新概念是原有三角形概念的限制；最后，運用變式和肯定、否定例證進一步突出概念(等腰三角形)的本質(zhì)屬性，并對概念的各種屬性進行分類，如辨別下面圖式，可得出等腰三角形能分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形，同時還可得出等腰三角形兩底角相等等。

　　 3.強化階段：通過練習和小結(jié)，學生既能利用定義去判定等腰三角形，還能利用等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)去解題；同時，等腰三角形的概念還可納入三角形的概念系統(tǒng)中。

　三、從數(shù)學學習過程看數(shù)學教學策略?

　所謂數(shù)學教學策略是指數(shù)學教師對數(shù)學課堂教學所作的系統(tǒng)決策和設計。它包括設置數(shù)學學習情景的策略，呈現(xiàn)數(shù)學教學內(nèi)容的策略，選擇數(shù)學教學方法與教學輔助手段的策略，教學效果的檢查和評價的策略等。?

　從對數(shù)學學習過程的分析可知，數(shù)學教師的作用在于促使學生數(shù)學學習過程中的幾個階段順利地進行，以達到良好的數(shù)學學習效果為目標。相應地，數(shù)學教學策略就應當圍繞著促使學生形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和學習數(shù)學的情感系統(tǒng)來制定。下面我們根據(jù)學生數(shù)學學習過程的模式來討論數(shù)學教學策略。?

　 (一)選擇和分析數(shù)學教學內(nèi)容(備課)的策略。

　數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是內(nèi)化的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，而數(shù)學知識結(jié)構(gòu)又是通過數(shù)學教材反映出來的 ，故選擇和分析數(shù)學教學內(nèi)容，必須立足于教材，但又不能照本宣科，還要對教材進行居高臨下的剖析和重新組織，使它成為促進學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的相對完善的知識結(jié)構(gòu)。具體地：?

　 1.分析和領會單元數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，并按事實(術語、符號等)、技能、概念、原理等幾方面對教學內(nèi)容進行分類，以弄清教材中的知識分布情況；在此基礎上，以整體觀點為指導，瞻前顧后，隨時把本單元的知識與其他內(nèi)容聯(lián)系起來考慮，以此克服知識的離散性，使學生學習時容易形成經(jīng)緯交織，融會貫通的知識網(wǎng)絡，同時有助于內(nèi)化和保持新知識。

　 2.在分類的基礎上，分析本單元教學的重點和難點。所謂重點，就是知識的中心點，即單元或?qū)W科領域中核心的基本的知識點，它在抽象性、包攝性、概括性程度上高于其他知識，理解了中心點的知識，其他知識的掌握就順理成章了。然后考慮以突破重點、難點為核心，并參照教學大綱和教學方案分配的教學時數(shù)，安排課時和教學順序。?

　 3.根據(jù)各類知識學習的特點和學生的認知特點確定教學方法以及相應的教學輔助手段和各種教學材料。?

　事實上，教學方法的選擇和組合，同教學內(nèi)容的特點、學生的認知發(fā)展水平及差異是緊密聯(lián)系在一起的。雖然現(xiàn)在數(shù)學教育書刊上所提的數(shù)學教學方法很多，但適合所有類型知識學習的方法是沒有的，不同知識的學習只能采用不同的教學方法，這就是所謂“教無定法”的實質(zhì)。?

　 4.備課時，還應考慮如何設置學習情景，如何進行形成性測試，如何進行小結(jié)，以及例、習題(包括練習題)的配備等。?

　 (二)實施教學的策略。?

　數(shù)學教學過程是教師的教和學生的學的雙邊統(tǒng)一的活動過程，是教師通過數(shù)學教學活動促使學生順利地進行數(shù)學學習活動的過程，是學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展的過程。相應于學習過程，實施教學的策略有：?

　 1.設置學習情境，激發(fā)學習興趣——具體討論略。?

　 2.課前評價和彌補的策略。?

　從對數(shù)學學習過程的分析中我們看到，學生的原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中已有的數(shù)學知識經(jīng)驗對數(shù)學新知識學習的影響極大，關系到是否能內(nèi)化新知識。為此，在講解新課前，必須進行診斷性評價，以查明學生的認知準備狀況。?

　診斷性評價一般是通過復習提問、診斷性測試和觀察等方式進行的。?

　如果學生具有了內(nèi)化新知識的知識經(jīng)驗，則教師可通過練習、小結(jié)等來鞏固已有的知識經(jīng)驗 (常與診斷性測試同時進行)。?

　如果學生不具有同化新知識的知識經(jīng)驗，則應采取補救措施——提供先行組織者。先行組織者是先于學習任務本身而呈現(xiàn)給學生的引導性知識，它常比學習任務有更高的抽象、概括和綜合水平，或能清晰地使學習任務與原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的知識經(jīng)驗之間相聯(lián)系。因此，先行組織者的最大作用是能提高數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中適當?shù)闹�識經(jīng)驗的可利用性，即在新舊知識之間架起一座橋梁。?

　在教學中，教師可運用類屬的先行組織者和比較的先行組織者等兩種形式。?

　類屬的先行組織者是介紹給學生一種他們不熟悉的、比新知識有更大包容性、概括性的材料，學生可利用這個材料作為框架來內(nèi)化較具體的新知識，這種例子在數(shù)學教材中常可見到。如要學習平行四邊形，先介紹四邊形這一概括性較強的材料，再用它來內(nèi)化平行四邊形的有關概念及性質(zhì)。?

　比較的先行組織者是把學生比較熟悉的材料介紹給他們，以幫助學生把新概念和原理與以前學過的概念和原理結(jié)合在一起。如若把正弦函數(shù)和余弦函數(shù)定義為單位圓上的函數(shù)，這時把代數(shù)函數(shù)作為一個比較的先行組織者，就可運用代數(shù)函數(shù)概念把熟悉的代數(shù)概念和原理與不熟悉的三角函數(shù)概念和原理結(jié)合起來。?

　 3.數(shù)學新知識呈現(xiàn)的策略?

　 (1)在新知識呈現(xiàn)之前，教師可對單元知識結(jié)構(gòu)作概括性介紹，即用具體、形象的語言，用 最基本的常識性概念來勾勒單元整體的輪廓(包括新知識的大致特點，學習的目標和要求等)，從而使學生發(fā)現(xiàn)單元整體的特點，對新知識獲得總的印象，并明確學習的目的和價值，產(chǎn)生學習的動機。同時，還有利于學生對新知識的潛在意義的認識，促使內(nèi)化過程中定向和聯(lián)想階段的順利進行。?

　 (2)教師呈現(xiàn)或講述新知識應遵循下列幾條準則：?

　 ①應盡可能保證學習材料本身的意義性，即使學習內(nèi)容具有潛在意義——對于特定的名詞、概念或原理可通過聯(lián)想來獲得，對于抽象的材料，則盡可能以直觀材料和形象為背景，即按具體與抽象相結(jié)合的原則進行。?

　 ②應以有意義講授法和指導發(fā)現(xiàn)法為基本教學方法，輔以其他教學方法(如討論法、自學法、探究法等)進行教學，并且啟發(fā)式教學思想應貫穿于教學過程的始終。?

　采用有意義講授法教學時，教師應將學習內(nèi)容以優(yōu)化的形式直接呈現(xiàn)給學生，以促進學生快速有效地把新知識內(nèi)化和鞏固。優(yōu)化的形式反映了知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)，知識的整體結(jié)構(gòu)和學生的認知規(guī)律，一般地，不同類型知識的學習有不同的優(yōu)化形式(具體討論見下面)。?

　事實上，接受學習不但可以是有意義的(新舊知識可建立起實質(zhì)的、非人為聯(lián)系是有意義的標準)和積極主動的，而且還省時、經(jīng)濟和高效(即在短時期內(nèi)可掌握單元或?qū)W科的基本結(jié)構(gòu))，故大量的數(shù)學知識可通過有意義講授法教學。?

　指導發(fā)現(xiàn)法就是教師對新學習的內(nèi)容不是直接呈現(xiàn)給學生，而是只給學生一些提示性線索或問題，由學生進行探索、發(fā)現(xiàn)新知識的意義，然后加以內(nèi)化、鞏固的教學方法。如概念的形成、問題解決等的教學均用此法。?

　實施指導發(fā)現(xiàn)法時，應創(chuàng)設問題情境，引起學生認知沖突，激發(fā)探索欲望；應幫助、指導學生理解和領會課題結(jié)構(gòu)以保證學生在有意義的思考路線上進行判斷、選擇和探索，避免盲目瞎猜的無效活動。總之，發(fā)現(xiàn)法的指導要掌握分寸，恰到好處，使學生經(jīng)過一系列的思維活動能發(fā)現(xiàn)材料的意義并加以內(nèi)化。?

　由于每一數(shù)學教學單元中常要采用不同的教學方法，因而教學中多種方法的銜接也很重要。另外，不管采用什么教學方法，都應把啟發(fā)式教學思想貫穿于其中。具體地，應把握：在新舊知識的結(jié)合點，應強調(diào)新舊知識的聯(lián)系，特別是難點和疑難問題，要給學生思考的部分線索，這樣有利于學生同化或順應新知識；對于數(shù)學知識經(jīng)驗，解題的思想和方法，要啟發(fā)學生進行概括，以使學生容易從整體上把握數(shù)學知識結(jié)構(gòu)；要通過啟發(fā)，使學生掌握自我評價方法，從而提高對思維活動、認知能力的自我意識水平。?

　 ③呈現(xiàn)教材的優(yōu)化形式是以“漸進分化”、“逐次抽象”和“綜合貫通”等三種方式進行。

　 “漸進分化”是指按概括性和包容性大小的順序呈現(xiàn)教材，即首先呈現(xiàn)最一般的、概括性的 知識，然后呈現(xiàn)較特殊、較具體的知識，最后呈現(xiàn)具體的、特殊的事實、概念或細節(jié)，這種從金字塔的頂?shù)降椎某尸F(xiàn)方式有助于學生同化新的知識，獲得材料的意義。例如，現(xiàn)行初中課本中“四邊形”一章內(nèi)容即是按此方法呈現(xiàn)的。

　即：多邊形→四邊形→平行四邊形→矩形菱形→正方形?

　 “綜合貫通”要求組織和呈現(xiàn)內(nèi)容時，應注意學科中處于同一包容水平上的概念、原理和章節(jié)知識的異同——聯(lián)系和區(qū)別，以消除數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中知識間的矛盾和混淆，從而有利于同化或順應新知識。?

　事實上，學生學習困難的重要原因之一就是，看不到數(shù)學知識間的聯(lián)系和區(qū)別，從而不能進行有效的知識間的轉(zhuǎn)換或遷移。?

　 “逐次抽象”是指按從具體到抽象，從零散的、個別的事實逐步地循序漸進地提煉出一般概念和原理的方式來呈現(xiàn)教材。這樣呈現(xiàn)的方式比較符合學生的認知發(fā)展水平和思維規(guī)律，適合教材的演繹規(guī)則，特別適應于處于具體思維年齡階段的小學生的學習。?

　 (三)從上述的論述和對數(shù)學學習過程的論述中，可知數(shù)學教學過程中應注意下列幾個問題。

　 1.注意思維過程?

　學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展，是經(jīng)過一系列數(shù)學認知(思維)活動過程而得到的。因此，教師在講授數(shù)學知識的同時，也要注意讓學生在數(shù)學知識的建立和發(fā)展過程(如概念的提出、解題思路的探索、解題方法和規(guī)律的概括與歸納過程等)，數(shù)學知識的運用過程中進行思維。同時，數(shù)學知識的潛在思維價值和智力價值也有賴于教師的挖掘和揭示，使學生能感受、體驗到數(shù)學知識所包含的深刻的思維和豐富的智慧，從而提高學生的學習興趣，發(fā)展學生的思維能力。?

　 2.注意數(shù)學知識間的比較和轉(zhuǎn)化過程?

　數(shù)學學習過程中的每個環(huán)節(jié)或階段，幾乎都要使用比較。如果沒有比較，就沒有抽象概括，感性認識也不能上升到理性認識。因此，教師教學時恰當?shù)貞�用比較，就能為新舊知識的聯(lián)系和新知識的內(nèi)化打下基礎。?

　例如，學習解二元二次方程組時，教師通過把它與一元二次方程，二元一次方程組進行比較就能使學生掌握解二元二次方程組的基本思想——消元與降次。?

　如果說比較可使新舊知識建立聯(lián)系，那么轉(zhuǎn)化則可把新問題化歸為舊問題(利用比較)，然后利用已有的知識進行突破。因此，如果教師能恰當?shù)剡\用比較，把新知識轉(zhuǎn)化或化歸，則有利于內(nèi)化新知識。?

　 3.注意數(shù)學思想方法的有機滲透?

　數(shù)學知識蘊含著數(shù)學思想方法，數(shù)學思想方法又影響數(shù)學知識的學習。因此，教師如能在進行數(shù)學知識教學的同時，注重數(shù)學思想方法的有機滲透和統(tǒng)帥作用，則有助于學生形成一個既有肉體又有靈魂的活的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，有助于促進學生數(shù)學能力的發(fā)展和運用

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數(shù)學知識解決實際問題能力的提高。?

　 4.注重數(shù)學知識的抽象和概括過程?

　在數(shù)學學習中，抽象概括過程是認清數(shù)學對象的本質(zhì)，從感性上升到理性的橋梁，它應貫穿于數(shù)學學習與數(shù)學教學過程的始終。事實上，概念是對一類事物的屬性的概括，數(shù)學技能是對一系列數(shù)學活動方式的概括，數(shù)學思想則是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的概括特征。而只有概括了的一般概念和原理才具有較大的遷移力，故在數(shù)學教學中要注重抽象和概括(歸納和小結(jié)均可看作是概括)。?

　 5.注意學生自我評價、自我意識能力的培養(yǎng)?

　學生的數(shù)學學習過程是在元認知系統(tǒng)的監(jiān)控和調(diào)節(jié)下進行的，同時，學生的自我形成性評價、終結(jié)性評價等也需要學生自我評價能力的調(diào)節(jié)，因此，教師教學時注重學生自我評價能力、自我意識能力的培養(yǎng)，有利于學生維持學習的積極性，有利于學生采用正確的認知策略和方式進行數(shù)學學習活動。

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