數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)

一、教學(xué)規(guī)則及其掌握的含義

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，存在著大量有關(guān)數(shù)的四則計(jì)算法則、運(yùn)算定律與性質(zhì)、計(jì)算公式等內(nèi)容。這些內(nèi)容既是現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式及其計(jì)算規(guī)律的概括與總結(jié)，又是有關(guān)計(jì)算過(guò)程具體實(shí)施細(xì)則的具體規(guī)定。在這里我們把這些內(nèi)容統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)規(guī)則，將學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)稱之為數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)。由于數(shù)學(xué)規(guī)則反映的是幾個(gè)數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，因此他們的學(xué)習(xí)層次和復(fù)雜程度都高于概念學(xué)習(xí)。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)則的掌握主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

一是理解數(shù)學(xué)規(guī)則的推導(dǎo)與總結(jié)過(guò)程，不僅懂得各個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)則是怎樣規(guī)定的，而且還懂得為什么要這樣規(guī)定，以此明確數(shù)學(xué)規(guī)則規(guī)定的合理性和必要性；二是將總結(jié)出來(lái)的數(shù)學(xué)規(guī)則靈活運(yùn)用到各種具體情境中去解決相應(yīng)的問(wèn)題，對(duì)于一些基本的數(shù)學(xué)規(guī)則（如四則計(jì)算法則、運(yùn)算定律和計(jì)算公式等）其運(yùn)用水平應(yīng)達(dá)到比較熟練的程度；三是掌握不同數(shù)學(xué)規(guī)則之間的關(guān)系，明確它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的基本形式

數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)和掌握的關(guān)鍵是獲得數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的理解，而數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的理解又依賴于新規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。由于新規(guī)則和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的關(guān)系可以分為下位關(guān)系、上位關(guān)系和并列關(guān)系三種，因此數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)也可以分為以下三種基本形式。

l．下位學(xué)習(xí)。

如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有在概括層次上高于所學(xué)新規(guī)則的知識(shí)，那么新規(guī)則和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)就構(gòu)成下位關(guān)系，利用這種關(guān)系獲得數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)形式叫做下位學(xué)習(xí)。在下位學(xué)習(xí)中，新規(guī)則揭示的概念與概念之間的關(guān)系是從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)里概括層次較高的知識(shí)中分化出來(lái)的，新規(guī)則可以直接和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，并直接納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)使其變得更加充實(shí)。很明顯，在下位學(xué)習(xí)中新規(guī)則同原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用的方式是同化，其學(xué)習(xí)過(guò)程主要是通過(guò)分化使有關(guān)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)充實(shí)、完善，并形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。

根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，又可以將下位學(xué)習(xí)具體劃分為派生類(lèi)屬學(xué)習(xí)和相關(guān)類(lèi)屬學(xué)習(xí)兩種不同形式。前者是指將要學(xué)習(xí)的新規(guī)則整合到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)內(nèi)容中去，新規(guī)則對(duì)原有知識(shí)只起支持或證實(shí)的作用，新規(guī)則通過(guò)新舊內(nèi)容的相互作用而獲得意義，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不發(fā)生質(zhì)的變化。如學(xué)生學(xué)習(xí)圓柱體的體積計(jì)算方法，由于他們?cè)谇懊骈L(zhǎng)方體的體積計(jì)算方法學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道了長(zhǎng)方體的體積等于底面積乘以高，并且掌握了其計(jì)算公式V＝sh，所以學(xué)習(xí)時(shí)就可以將它作為前面已有計(jì)算方法的一種特例，通過(guò)派生類(lèi)屬學(xué)習(xí)的形式加以掌握。相關(guān)類(lèi)屬學(xué)習(xí)是指將要學(xué)習(xí)的新規(guī)則整合到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容中去，新舊內(nèi)容整合的結(jié)果不但使新規(guī)則獲得意義，并且原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)被擴(kuò)充或修改，使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。如梯形面積計(jì)算公式雖然不能直接由平行四邊形面積計(jì)算公式派生出來(lái)，但是它可以通過(guò)割補(bǔ)拼合轉(zhuǎn)化成平行四邊形，從而得出其面積計(jì)算公式s＝（a＋b）h÷2。很明顯，梯形面積計(jì)算方法就可以通過(guò)相關(guān)類(lèi)屬學(xué)習(xí)的形式去掌握。

2．上位學(xué)習(xí)。

通過(guò)對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)內(nèi)容的歸納和綜合，概括成新的數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)形式叫做上位學(xué)習(xí)。如根據(jù)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式V＝abh、正方體的體積計(jì)算公式V＝a3、圓柱的體積計(jì)算公式V＝πr2概括出計(jì)算公式V＝Sh的學(xué)習(xí)過(guò)程，就屬于上位學(xué)習(xí)。上位學(xué)習(xí)所采用的思維方法主要是概括與綜合，由于它主要通過(guò)歸納和綜合原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此上位學(xué)習(xí)必須具備兩個(gè)基本條件：一是所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)規(guī)則在概括層次上一定要高于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有知識(shí)；二是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中一定要有可供歸納和概括的內(nèi)容，即頭腦里必須具有比新的數(shù)學(xué)規(guī)則層次低的相關(guān)內(nèi)容。如要概括加法交換律a＋b＝b＋a時(shí)，學(xué)生頭腦里必須有3＋5＝5＋3、25＋75＝75＋25、500＋400＝400＋500……可供概括的內(nèi)容。

上位學(xué)習(xí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著非常廣泛的運(yùn)用，概括運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)、總結(jié)運(yùn)算法則、建立概括層次較高的計(jì)算公式通常都要采用上位學(xué)習(xí)。由于小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容在安排上反映為一種連續(xù)擴(kuò)充和深化的過(guò)程，因此某些知識(shí)體系要通過(guò)多次的上位學(xué)習(xí)過(guò)程才能獲得。如整數(shù)乘法的計(jì)算方法，乘數(shù)是一位數(shù)的乘法法則是表內(nèi)乘法的擴(kuò)充，乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法法則是乘數(shù)是一位數(shù)乘法法則的擴(kuò)充。

從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式來(lái)看，下位學(xué)習(xí)依靠的是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的是順應(yīng)，它要通過(guò)改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能獲得新規(guī)則的意義，因此一般來(lái)講，上位學(xué)習(xí)比下位學(xué)習(xí)困難。

3．并列學(xué)習(xí)。

利用所學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識(shí)的并列關(guān)系，通過(guò)類(lèi)比而掌握數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)過(guò)程叫做并列學(xué)習(xí)。并列學(xué)習(xí)所采用的思維方法主要是類(lèi)比，其關(guān)鍵在于尋找新規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)法則、規(guī)律、性質(zhì)的聯(lián)系，在分析這種聯(lián)系的基礎(chǔ)上通過(guò)類(lèi)比實(shí)現(xiàn)對(duì)新規(guī)則的理解和掌握。并列學(xué)習(xí)在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也有十分廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)生都要通過(guò)這種學(xué)習(xí)方式去掌握，如學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)，學(xué)生都要利用它們和除法商不變性質(zhì)的聯(lián)系通過(guò)類(lèi)比去掌握。

我們說(shuō)上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)是三種不同的學(xué)習(xí)形式，這主要是為了討論的方便，事實(shí)上它們之間并不是彼此孤立的，三者之間有著密切的聯(lián)系，常常體現(xiàn)于同一數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)中，只是某些數(shù)學(xué)規(guī)則以下位學(xué)習(xí)為主，某些數(shù)學(xué)規(guī)則以上位學(xué)習(xí)或并列學(xué)習(xí)為主罷了。另外，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中常是先上位學(xué)習(xí)后下位學(xué)習(xí)，如運(yùn)算法則一般都是先用上位學(xué)習(xí)從具體計(jì)算過(guò)程概括出法則，然后通過(guò)下位學(xué)習(xí)將法則運(yùn)用于具體計(jì)算。在實(shí)際學(xué)習(xí)中，要注意根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用幾種學(xué)習(xí)形式，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)規(guī)則的更好掌握。

三、小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)則的心理分析

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材不難發(fā)現(xiàn)，四則運(yùn)算法則是小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容，它的學(xué)習(xí)和掌握在數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)中具有十分典型的意義。下面試以運(yùn)算法則為例簡(jiǎn)要分析小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)則的心理過(guò)程。

運(yùn)算法則是用文字表述的運(yùn)算規(guī)定，它是在算理指導(dǎo)下對(duì)運(yùn)算過(guò)程實(shí)施細(xì)則作出的具體規(guī)定，它所反映的是一種規(guī)范化的操作程序。心理學(xué)研究表明，小學(xué)生掌握運(yùn)算法則通常要反映出以下心理過(guò)程。

1．從具體到抽象再到具體的過(guò)程。

小學(xué)生掌握運(yùn)算法則通常都是以具體的計(jì)算為起點(diǎn)，通過(guò)一定數(shù)量習(xí)題的計(jì)算從中發(fā)現(xiàn)一些帶規(guī)律性的計(jì)算方法或具有普遍適用性的運(yùn)算程序，并將他們上升為運(yùn)算法則，然后用概括出來(lái)的法則指導(dǎo)計(jì)算，由此將抽象的運(yùn)算規(guī)定變成具體化的計(jì)算過(guò)程。這表明小學(xué)生掌握運(yùn)算法則要經(jīng)過(guò)由具體到抽象概括再到具體的心理發(fā)展過(guò)程。縱觀整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材，有關(guān)運(yùn)算法則的內(nèi)容基本上都是按照這種程序編排的。如乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法法時(shí)，教材先讓學(xué)生計(jì)算24×13、212×34、132×32、214×23等題，通過(guò)這些習(xí)題的豎式計(jì)算，學(xué)生很快從中發(fā)現(xiàn)計(jì)算的操作程序，并從這些具有普遍意義的操作程序中概括出三條運(yùn)算規(guī)定：①先用乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的個(gè)位對(duì)齊；②再用乘數(shù)十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的十位對(duì)齊；③然后把兩次乘得的數(shù)加起來(lái)。緊接著又用這種計(jì)算程序去進(jìn)行大量的計(jì)算，從而使乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法法則變成具體的計(jì)算過(guò)程，完成學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則認(rèn)識(shí)的第二次飛躍。

根據(jù)這一特點(diǎn)，我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生概括運(yùn)算法則時(shí)要特別注意兩點(diǎn)：一是先要安排一定數(shù)量的習(xí)題讓學(xué)生計(jì)算，為運(yùn)算法則的概括提供足夠的依據(jù)，不要讓學(xué)生僅根據(jù)個(gè)別習(xí)題的計(jì)算去概括法則，防止學(xué)生把運(yùn)算法則變成缺乏感性認(rèn)識(shí)的教條。二是概括運(yùn)算法則時(shí)要重視其理的指導(dǎo)，不僅讓學(xué)生知道法則是怎樣規(guī)定的，而且還懂得為什么要這樣規(guī)定，以此使學(xué)生明確運(yùn)算法則規(guī)定的必要性和合理性，從而保證他們?cè)诤竺娴挠?jì)算中自覺(jué)遵循運(yùn)算法則的規(guī)定。

2．從展開(kāi)的、詳盡的思維活動(dòng)到壓縮的、省略的思維活動(dòng)的過(guò)程。

心理學(xué)研究和教學(xué)實(shí)踐都表明：學(xué)生學(xué)習(xí)新法則的初期，他們的思維活動(dòng)總是按照法則規(guī)定的運(yùn)算步驟一步一步展開(kāi)的，每一個(gè)運(yùn)算步驟都要在他們的思維過(guò)程中詳盡地展現(xiàn)出來(lái)，如學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法，計(jì)算10.44÷0.725（人教版義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊(cè)第20頁(yè)例5）時(shí)，他們的思維活動(dòng)按照除數(shù)是小數(shù)的除法法則規(guī)定的程序通常要經(jīng)過(guò)以下過(guò)程。

①將除數(shù)“0.725”的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位變成整數(shù)“725”；

②被除數(shù)“10.44”的小數(shù)點(diǎn)也要向右移動(dòng)三位；

③被除數(shù)“10.44小數(shù)部分的位數(shù)不夠（怎么辦）；

④在被除數(shù)的末尾添“0”補(bǔ)足，被除數(shù)變成整數(shù)“10440”；

⑤按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則計(jì)算“10440÷725”。

當(dāng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則有了正確的理解和比較熟練地掌握以后，在計(jì)算中就會(huì)逐步壓縮運(yùn)算過(guò)程中的某些中間環(huán)節(jié)，省略和簡(jiǎn)化其思維過(guò)程。這時(shí)計(jì)算“10.44÷0.725”一類(lèi)式題，就會(huì)將其思維過(guò)程壓縮為兩大步驟：①根據(jù)除法商不變性質(zhì)將除數(shù)是小數(shù)的除法算式變成整數(shù)除法算式“10440÷725”；②根據(jù)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則計(jì)算“10440÷725”。

從上面的例子和論述我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算法則初期展開(kāi)的、詳盡的思維過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)充分認(rèn)識(shí)、深刻理解法則的過(guò)程，開(kāi)展是為了理解，以保證運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果的正確。但是，如果長(zhǎng)期要求學(xué)生在計(jì)算中這樣詳盡地展開(kāi)思維過(guò)程，對(duì)于培養(yǎng)他們的計(jì)算能力和思維能力是不利的。因此，當(dāng)學(xué)生對(duì)所學(xué)運(yùn)算法則有了正確的理解以后，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)他們壓縮和簡(jiǎn)化運(yùn)算的思維活動(dòng)，使其計(jì)算速度適當(dāng)加快，確保學(xué)生的思維能力和計(jì)算能力得到有效發(fā)展。

3．從明確意識(shí)法則到完全不用意識(shí)法則的過(guò)程。

心理學(xué)研究表明，小學(xué)生運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行筆算，開(kāi)始時(shí)他們總是通過(guò)在頭腦里明確意識(shí)法則的運(yùn)算規(guī)定去進(jìn)行計(jì)算的。即學(xué)生運(yùn)用法則的初期，面對(duì)具體的計(jì)算任務(wù)，他們要靠在頭腦里聯(lián)想法則的運(yùn)算規(guī)定才能計(jì)算，并且這種計(jì)算通常都是按法則規(guī)定的運(yùn)算步驟去一步一步的展開(kāi)的，甚至有時(shí)還伴有對(duì)法則運(yùn)算規(guī)定的默默念頌。如一年級(jí)學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)筆算加法，列豎式時(shí)他們要聯(lián)想“相同數(shù)位對(duì)齊”的運(yùn)算規(guī)定，計(jì)算時(shí)要聯(lián)想“從個(gè)位加起”和“個(gè)位滿十向十位進(jìn)1”兩條運(yùn)算規(guī)定才能完成計(jì)算任務(wù)。否則，其計(jì)算過(guò)程就會(huì)因?yàn)槿狈Σ僮鞯囊罁?jù)而無(wú)法進(jìn)行。當(dāng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則掌握得比較熟練以后，計(jì)算時(shí)就完全不用意識(shí)法則了，面對(duì)具體的算式，學(xué)生無(wú)需去聯(lián)想法則的運(yùn)算規(guī)定就能直接進(jìn)行計(jì)算，整個(gè)計(jì)算過(guò)程完全變成了一種自動(dòng)化的演算過(guò)程。如學(xué)生對(duì)加法法則有了比較熟練的掌握以后，計(jì)算時(shí)他們根本不用去聯(lián)想三條規(guī)定，而是直接連通計(jì)算任務(wù)和計(jì)算過(guò)程得出計(jì)算結(jié)果。

學(xué)生掌握運(yùn)算法則的這一心理特點(diǎn)給我們一個(gè)重要啟示：在四則計(jì)算教學(xué)中，一方面注意要求學(xué)生在學(xué)習(xí)初期按照法則的規(guī)定進(jìn)行計(jì)算，以保證運(yùn)算過(guò)程的規(guī)范性和計(jì)算結(jié)果的正確性；另一方面，隨著學(xué)習(xí)過(guò)程的不斷深入，要注意引導(dǎo)學(xué)生逐步減

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少對(duì)法則的依賴，使計(jì)算逐漸過(guò)渡不用去聯(lián)想法則的運(yùn)算規(guī)定就能直接計(jì)算的水平，以此促進(jìn)學(xué)生計(jì)算能力的迅速發(fā)展。

《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2001年第9

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