概念教學(xué)
數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基石，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的前提。為此，本章將從數(shù)學(xué)概念的涵義、小學(xué)生學(xué)習(xí)概念的特點、以及教學(xué)中應(yīng)注意的問題等方面闡述有關(guān)概念教學(xué)的問題。
第一節(jié) 小學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的特點
一 小學(xué)數(shù)學(xué)概念概述
1．什么是數(shù)學(xué)概念
數(shù)學(xué)概念是人對客觀事物中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的抽象。概念反映的所有對象的共同本質(zhì)屬性的總和，叫做這個概念的內(nèi)涵，又稱涵義。適合于概念所指的對象的全體，叫做這個概念的外延，又稱范圍。如平行四邊形的內(nèi)涵就是平行四邊形所代表的所有對象的本質(zhì)屬性：有四條邊，兩組對邊分別平行，對角線互相平分等；平行四邊形的外延包括了一般的平行四邊形、長方形、菱形和正方形。概念的內(nèi)涵和外延是相互依存、相互制約的，它們是構(gòu)成概念的統(tǒng)一而不可分割的兩個方面。
小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，包括：數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計初步知識的有關(guān)概念等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的。如只有明確牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數(shù)的整除性概念的形成。
2．?dāng)?shù)學(xué)概念教學(xué)的意義
首先，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。
小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識包括：概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等，其中數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，而且是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的過程，實際上就是掌握概念并運用概念進行判斷、推理的過程。數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的。事實證明，如果學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識，提高運算和解題技能。相反，如果一個學(xué)生概念不清，就無法掌握定律、法則和公式。例如，整數(shù)百以內(nèi)的筆算加法法則為：“相同數(shù)位對齊，從個位加起，個位滿十，就向十位進一�！币箤W(xué)生理解掌握這個法則，必須事先使他們弄清“數(shù)位”、“個位”、“十位”、“個位滿十”等的意義，如果對這些概念理解不清，就無法學(xué)習(xí)這一法則。又如，圓的面積公式S=，要以“圓”、“半徑”、“平方”、“圓周率”等概念為基礎(chǔ)。總之小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些概念對于今后的學(xué)習(xí)而言，都是一些基本的、基礎(chǔ)的知識。小學(xué)數(shù)學(xué)是一門概念性很強的學(xué)科，也就是說，任何一部分內(nèi)容的教學(xué)，都離不開概念教學(xué)。
其次，數(shù)學(xué)概念是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。
概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點，所以概念教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力能起重要作用。沒有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談不上邏輯思維能力的培養(yǎng)。例如，“含有未知數(shù)的等式叫做方程”，這是一個判斷。在這個判斷中，學(xué)生必須對“未知數(shù)”、“等式”這幾個概念十分清楚，才能形成這個判斷，并以此來推斷出下面的6道題目，哪些是方程。
(1)56＋23＝79 (2)23－x＝67 (3)x÷5＝4.5
(4)44×2＝88 (5)75÷x＝4 (6)9＋x＝123
在概念教學(xué)過程中，為了使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念，常常要提供豐富的感性材料讓學(xué)生觀察，在觀察的基礎(chǔ)上通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)，對感性材料進行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質(zhì)屬性。通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運用。從而使學(xué)生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。
二 小學(xué)數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式
在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，根據(jù)小學(xué)生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。
1．定義式
定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說明要定義的新概念。這些定義式的概念抓住了一類事物的本質(zhì)特征，揭示的是一類事物的本質(zhì)屬性。這樣的概念，是在對大量的探究材料的分析、綜合、比較、分類中，使之從直觀到表象、繼而上升為理性的認(rèn)識。如“有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知數(shù)的等式叫方程”等等。這樣定義的概念，條件和結(jié)論十分明顯，便于學(xué)生一下子抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。
2．描述式
用一些生動、具體的語言對概念進行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般借助于學(xué)生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：“我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5……叫自然數(shù)”；“象1．25、0．726、0．005等都是小數(shù)”等。這樣的概念將隨著兒童知識的增多和認(rèn)識的深化而日趨完善，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般用于以下兩種情況。
一種是對數(shù)學(xué)中的點、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說明。例如，“直線”這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直線�！捌矫妗本陀谩罢n桌面”、“黑板面”、“湖面”來說明。
另一種是對于一些較難理解的概念，如果用簡練、概括的定義出現(xiàn)不易被小學(xué)生理解，就改用描述式。例如，對直圓柱和直圓錐的認(rèn)識，由于小學(xué)生還缺乏運動的觀點，不能像中學(xué)生那樣用旋轉(zhuǎn)體來定義，因此只能通過實物形象地描述了它們的特征，并沒有以定義的形式揭示它們的本質(zhì)屬性。學(xué)生在觀察、擺拼中，認(rèn)識到圓柱體的特征是上下兩個底面是相等的圓，側(cè)面展開的形狀是長方形。
一般來說，在數(shù)學(xué)教材中，小學(xué)低年級的概念采用描述式較多，隨著小學(xué)生思維能力的逐步發(fā)展，中年級逐步采用定義式，不過有些定義只是初步的，是有待發(fā)展的。在整個小學(xué)階段，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維的形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴(yán)格的定義；而是從學(xué)生所了解的實際事例或已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫·助學(xué)生認(rèn)識概念的本質(zhì)屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)出兩大特點：一是數(shù)學(xué)概念的直觀性；二是數(shù)學(xué)概念的階段性。在進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，我們必須注意充分領(lǐng)會教材的這兩個特點。
三 小學(xué)生學(xué)習(xí)概念的兩種基本形式
概念學(xué)習(xí)實質(zhì)上就是對一類對象關(guān)于數(shù)量關(guān)系與空間形式的本質(zhì)屬性進行抽象概括的過程，也是舍棄事物非本質(zhì)屬性的過程。表現(xiàn)為對同類對象的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性的區(qū)分，對概念的肯定例證與否定例證的判別。小學(xué)生學(xué)習(xí)概念主要有概念形成與概念同化兩種基本形式。
1．概念形成
就人類認(rèn)識來說，概念形成是一種發(fā)展過程，也就是在對事物感知和分析、比較、抽象的基礎(chǔ)上，概括一類事物的本質(zhì)屬性，不斷提出假設(shè)，驗證假設(shè)的過程。在教學(xué)條件下，是指從大量的具體例子出發(fā)，以學(xué)生的感性經(jīng)驗為基礎(chǔ)，形成表象，進而以歸納方式抽象出事物的本質(zhì)屬性，提出各種假設(shè)加以驗證，從而獲得初級概念，再把這一概念的本質(zhì)屬性推廣到同一類事物之中，并用符號表示。
如小學(xué)生對自然數(shù)的認(rèn)識過程，基本上是重復(fù)人類數(shù)的形成的歷史。以4的認(rèn)識為例，先是認(rèn)識4輛拖拉機、4根小棒、4顆珠子、4個小木塊、4朵紅花……這時的數(shù)和物之間呈現(xiàn)出一一對應(yīng)關(guān)系，然后排除形狀、顏色、大小等非本質(zhì)屬性，僅僅從數(shù)量關(guān)系的角度，把數(shù)“4”從這些具體的實物中抽象出來，還能自己舉例說出許多其他用“4”表示的實物，并能用符號“4”表示。
概念形成需要內(nèi)部與外部兩方面的條件，其內(nèi)部條件是學(xué)生積極地對概念的正反例證進行辨別，其外部條件是教師必須對學(xué)生提出的概念的本質(zhì)屬性的假設(shè)作出肯定或否定的反應(yīng)。學(xué)生就是通過對外界的肯定或否定反應(yīng)所獲得的反饋信息進行不斷地選擇，從而概括出概念的本質(zhì)屬性的。
如學(xué)生對扇形的認(rèn)識，一開始會從字義上認(rèn)為像扇子一樣的圖形就是扇形，顯然這是扇形的非本質(zhì)屬性。為了使學(xué)生能獲得扇形的本質(zhì)屬性，教師逐次出示下列一組扇形的正反例證，要求學(xué)生觀察這些圖中的陰影部分，并作出是否扇形的判斷。教師根據(jù)學(xué)生的判斷作出肯定或否定的回答。學(xué)生不斷判別的過程，就是不斷提出假設(shè)和對假設(shè)進行檢驗的過程，也是學(xué)生不斷舍棄概念的非本質(zhì)屬性并發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性的過程。有些學(xué)生當(dāng)判斷到第⑦、⑧圖時，已發(fā)現(xiàn)了扇形概念的本質(zhì)屬性，而大多數(shù)學(xué)生當(dāng)判斷到第⑨、⑩圖時，也已發(fā)現(xiàn)了扇形的本質(zhì)屬性，即必須是兩條半徑和圓周的一部分(即弧)圍成的封閉圖形。在上述概念形成的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅排除了扇形就是兩條直線和一條曲線圍成的圖形這極易與本質(zhì)屬性干擾的非本質(zhì)屬性的性質(zhì)，從而獲得了扇形的概念，并能推廣到一切同類事物。
2．概念同化．
所謂概念同化，就是利用學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念，以定義或描述的方式直接向?qū)W習(xí)者揭示新概念的本質(zhì)屬性，進而使學(xué)習(xí)者獲得概念的過程。也就是以間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，利用已掌握的概念去學(xué)習(xí)新概念的過程。
例如，“等腰三角形”是學(xué)習(xí)三角形之后學(xué)習(xí)的，是一個發(fā)展性概念。教學(xué)時可以只給一些三角形模片或圖形，讓大家先量一量各邊的長，然后把有“兩條邊相等”的三角形放在一起，于是引進“等腰三角形”的定義。教學(xué)梯形時，可以從平行四邊形人手，讓學(xué)生將梯形與平行四邊形相比較，就可以突出“只有一組對邊平行的四邊形”這一梯形的本質(zhì)屬性。這就是概念的同化。
概念的同化也需要外部和內(nèi)部兩方面的條件。外部條件是新學(xué)習(xí)的概念必須與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某些概念或表象有密切的聯(lián)系，內(nèi)部條件是學(xué)生有著有意義學(xué)習(xí)的意向。例如，學(xué)習(xí)公約數(shù)、最大公約數(shù)，
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學(xué)生必須主動將它們與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的約數(shù)概念及有關(guān)知識聯(lián)系起來思考，認(rèn)識到約數(shù)是對一個數(shù)來說的，公約數(shù)是對兩個或更多個數(shù)來說，指的是它們都有的約數(shù)；由于一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是有限的，其中必有一個最大的約數(shù)，所以幾個數(shù)的公約數(shù)中，也必有一個最大的公約數(shù)。這樣使約數(shù)——公約數(shù)——最大公約數(shù)三個概念精確分化，前后貫通，納人到原有的整除概念系統(tǒng)中。溝通新概念與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的聯(lián)系，明確它們的區(qū)別，使新概念與原概念得到精確分化和融會貫通。這樣，新概念被納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成了內(nèi)容更為豐富也更為完善的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
3．概念形成與概念同化的比較
首先從學(xué)習(xí)過程來看。概念形成主要依靠對具體事物的抽象，通過對正反例證的不斷辨析，提出假設(shè)，并進行檢驗，最后發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性；而概念同化主要依靠新舊知識的聯(lián)系，判別學(xué)習(xí)的概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的異同，并組成概念的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。它們所需的條件也不相同，概念形成的學(xué)習(xí)條件是學(xué)生必須辨別正反例證，同時外界要有反饋信息，而概念同化的學(xué)習(xí)條件是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須有同化新概念的有關(guān)概念，外界要有新概念的定義或?qū)Ω拍钐卣鞯拿枋�。相同的是這兩種不同形式的概念學(xué)習(xí)都需要學(xué)生進行積極的有意義的學(xué)習(xí)活動。
其次從適用情況來看。概念的形成往往與人類自發(fā)形成的概念相近，它適用于低年級；就學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，尤其適用于幾何知識的學(xué)習(xí)。原始概念和一些層次較低的概念，一般采用概念形成的方式，就是憑借事物的具體形象和表象進行抽象。概念的同化則是具有一定心理水平的學(xué)生學(xué)習(xí)概念的方式，比較適合中高年級。對于發(fā)展性概念，一般采用同化的形式，因為隨著學(xué)生年齡的增長，認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識不斷積累，智力不斷發(fā)展，就應(yīng)借助學(xué)生已有的概念去認(rèn)識新的概念。在課堂教學(xué)條件下，概念同化就逐漸成為他們獲得新概念的主要方式。在引入概念時，要充分復(fù)習(xí)學(xué)生的已有知識，使新概念在已有的概念中精確深化，產(chǎn)生新的認(rèn)識，即在舊概念的基礎(chǔ)上引入新概念。
值得注意的是：在實際教學(xué)過程中，由于小學(xué)生的邏輯思維在很大程度上需要具體形象的支持，在以概念同化為主的學(xué)習(xí)中，往往也結(jié)合著概念形成的過程。特別是在引入新概念時，除了復(fù)習(xí)有關(guān)的已有概念，以促進概念同化外，還常常提供一些典型的例子，由具體到抽象地引人新概念。如小學(xué)生“倍”的概念的建立便是如此。教師一方面利用直觀手段，讓學(xué)生去擺小棒、小圓片等，另一方面又復(fù)習(xí)有關(guān)“一個數(shù)里面有幾個幾”的知識。這樣既符合學(xué)生由具體到抽象的認(rèn)識規(guī)律，又可以利用原有的概念進行遷移，在較短的時間內(nèi)揭示本質(zhì)屬性。
資料一
小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的概念一般分為四個階段：依賴實物操作，并能對數(shù)進行分類和組合；形成十進位概念和數(shù)位概念；掌握十進位運算符號；建立分?jǐn)?shù)的概念，從而將數(shù)概念由自然數(shù)擴展到正有理數(shù)的范圍。
小學(xué)生幾何概念的學(xué)習(xí)一般分為三個階段：識別簡單圖形、變式圖形；進行簡單幾何圖形的作圖；區(qū)分幾何圖形的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，從而說明圖形的特征。
用字母表示數(shù)的概念學(xué)習(xí)也分三個階段：先學(xué)會用()或口表示數(shù)；隨后學(xué)習(xí)用字母表示所求的數(shù)、運算定律或計算公式；最后逐步建立起等式、等量、方程等概念。
第二節(jié) 概念教學(xué)中應(yīng)注意的問題
一 把握概念教學(xué)的目標(biāo)，處理好概念教學(xué)的發(fā)展性與階段性之間的矛盾
概念本身有自己嚴(yán)密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內(nèi)涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。由于客觀事物的不斷發(fā)展和變化，同時也由于人們認(rèn)識的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的概念，也是在不斷發(fā)展和變化的。但是，在小學(xué)階段的概念教學(xué)，考慮到小學(xué)生的接受能力，往往是分階段進行的。如對“數(shù)”這個概念來說，在不同的階段有不同的要求。開始只是認(rèn)識1、2、3、……，以后逐漸認(rèn)識了零，隨著學(xué)生年齡的增大，又引進了分?jǐn)?shù)(小數(shù))，以后又逐漸引進正、負(fù)數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)，把數(shù)擴充到實數(shù)、復(fù)數(shù)的范圍等。又如，對“o”的認(rèn)識，開始時只知道它表示沒有，然后知道又可以表示該數(shù)位上一個單位也沒有，還知道“0”可以表示界限等。
因此，數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性和發(fā)展性與．概念教學(xué)的階段性成了教學(xué)中需要解決的一對矛盾。解決這一矛盾的關(guān)鍵是要切實把握概念教學(xué)的要求。
1．明確概念教學(xué)的整體要求
作為基礎(chǔ)知識核心的概念，教學(xué)時應(yīng)達(dá)到如下的要求：
(1)使學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念
理解概念是指對所學(xué)概念的一些理性的認(rèn)識，能夠用語言表述它的確切含義，知道它具有哪些本質(zhì)屬性及它包含哪些對象，還要知道它和其他概念間的聯(lián)系和區(qū)別。
(2)使學(xué)生牢固地掌握概念
掌握概念是指在理解的基礎(chǔ)上記住概念，能夠指出概念的肯定例證和否定例證，并能按一定標(biāo)準(zhǔn)對概念進行分類，形成一定的概念系統(tǒng)。
(3)使學(xué)生能正確地運用概念
概念的運用就是把已經(jīng)獲得的概念運用到個別的、特殊的新情境中，這又叫概念的具體化。主要表現(xiàn)在學(xué)生能在各種不同的具體情況下，辨認(rèn)出概念的本質(zhì)屬性，運用概念的有關(guān)屬性進行判斷推理。
2．把握好概念教學(xué)的階段性目標(biāo)
為了加強概念教學(xué)，教師必須認(rèn)真鉆研教材，掌握小學(xué)數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)，摸清概念發(fā)展的脈絡(luò)。概念是逐步發(fā)展的，而且諸概念之間是互相聯(lián)系的。不同的概念具體要求會有所不同，即使同一概念在不同的學(xué)習(xí)階段要求也有差別。
有許多概念的含義是逐步發(fā)展的，一般先用描述方法給出，以后再下定義。例如，對分?jǐn)?shù)意義理解的三次飛躍。第一次是在學(xué)習(xí)小數(shù)以前，就讓學(xué)生初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，“像上面講的專、÷、÷、÷、丟、÷等，都是分?jǐn)?shù)�！蓖ㄟ^大量感性直觀的認(rèn)識，結(jié)合具體事物描述什么樣的是分?jǐn)?shù)，初步理解分?jǐn)?shù)是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。從具體事物中抽象出來。然后概括分?jǐn)?shù)的定義，這只是描述性地給出了分?jǐn)?shù)的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對單位“1”的理解與擴展，單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最后抽象出，分誰，誰就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數(shù)“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣三個層次不是一蹴而就的，要展現(xiàn)知識的發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生在知識的發(fā)生發(fā)展過程中去理解分?jǐn)?shù)。
再如長方體和立方體的認(rèn)識在許多教材中是分成兩個階段進行教學(xué)的。在低年級，先出現(xiàn)長方體和立方體的初步認(rèn)識，通過讓學(xué)生觀察一些實物及實物圖，如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關(guān)長方體和立方體的感性認(rèn)識，知道它們各是什么形狀，知道這些形狀的名稱。然后，通過操作、觀察，了解長方體和立方體各有幾個面，每個面是什么形狀，進一步加深對長方體和立方體的感性認(rèn)識。再從實物中抽象出長方體和立方體的圖形(并非透視圖)。但這一階段的教學(xué)要求只要學(xué)生知道長方體和立方體的名稱，能夠辨認(rèn)和區(qū)分這些形狀即可。僅僅停留在感性認(rèn)識的層次上。第二階段是在較高年級。教學(xué)時仍要從實例引入。教學(xué)長方體的認(rèn)識時，先讓學(xué)生收集長方體的物體，教師先說明什么是長方體的面、棱和頂點，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)面、棱和頂點各自的數(shù)目，量一量棱的長度，算一算各個面的大小，比較上下、左右、前后棱和面的關(guān)系和區(qū)別。然后歸納出長方體的特征。再從長方體的實例中抽象出長方體的幾何圖形。進而可以讓學(xué)生對照實物，觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到幾個面和幾條棱。哪些是看不見的，圖中是怎樣來表示的。還可以讓學(xué)生想一想，看一看，逐步看懂長方體的幾何圖形，形成正確的表象。
在把握階段性目標(biāo)時，應(yīng)注意以下幾點：
(1)在每一個教學(xué)階段，概念都應(yīng)該是確定的，這樣才不致于造成概念混亂的現(xiàn)象。有些概念不嚴(yán)格下定義，但也要依據(jù)學(xué)生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質(zhì)特征。同時注意與將來的嚴(yán)格定義不矛盾。
(2)當(dāng)一個教學(xué)階段完成以后，應(yīng)根據(jù)具體情況，酌情指出概念是發(fā)展的，不斷變化的。如：有一位學(xué)生在認(rèn)識了長方體之后，認(rèn)為課本中的任何一張紙的形狀也是長方體的。說明該學(xué)生對長方體的概念有了更進一步的理解，教師應(yīng)加以肯定。
(3)當(dāng)概念發(fā)展后，教師不但指出原來概念與發(fā)展后概念的聯(lián)系與區(qū)別，以便學(xué)生掌握，而且還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對有關(guān)概念進行研究，注意其發(fā)展變化。如“倍”的概念，在整數(shù)范圍內(nèi)，通常所指的是，如果把甲量當(dāng)作1份，而乙量有這樣的幾份，那么乙量就是甲量的幾倍。在引入分?jǐn)?shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，發(fā)展后的“倍”的概念，就包含了原來的“倍”的概念。如果把甲量當(dāng)作l份，乙量也可以是甲量的幾分之幾。
因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展演變。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，也需要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的程度的提高，由淺人深，逐步深化。教學(xué)時既要注意教學(xué)的階段性，不能把后面的要求提到前面，超越學(xué)生的認(rèn)識能力；又要注意教學(xué)的連續(xù)性，教前面的概念要留有余地，為后繼教學(xué)打下埋伏。從而處理好掌握概念的階段性與連續(xù)性的關(guān)系。
二 加強直觀教學(xué)，處理好具體與抽象的矛盾
盡管教材中大部分概念沒有下嚴(yán)格的定義，而是從學(xué)生所了解的實際事例或已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學(xué)生認(rèn)識概念的本質(zhì)屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。但對于小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念還是抽象的。他們形成數(shù)學(xué)概念，一般都要求有相應(yīng)的感性經(jīng)驗為基礎(chǔ)，而且要經(jīng)歷一番把感性材料在腦子里來回往復(fù)，從模糊到逐漸分明，從許多有一定聯(lián)系的材料中，通過自己操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本質(zhì)特征或?qū)傩�，這是形成概念的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中，必須加強直觀，以解決數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維形象性之間的矛盾。
1．通過演示、操作進行具體與抽象的轉(zhuǎn)化
教學(xué)中，對于一些相對抽象的內(nèi)容，盡可能地利用恰當(dāng)?shù)难菔净虿僮魇蛊滢D(zhuǎn)化為具體內(nèi)容，然后在此基礎(chǔ)上抽象出概念的本質(zhì)屬性。
幾何初步知識，無論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質(zhì)的概念都非常抽象，因此，教學(xué)中更要加強演示、操作，通過讓學(xué)生量一量、摸一摸、擺一擺、拼一拼來讓學(xué)生體會這些概念，從而抽象出這些概念。
例如“圓周率”這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個學(xué)生用硬紙制做一個圓，半徑自定。上課時，就讓每個學(xué)生在課堂作業(yè)本上寫出三個內(nèi)容：(1)寫出自己做的圓的直徑；(2)滾動自己的圓，量出圓滾動一周的長度，寫在練習(xí)本上；(3)計算圓的周長是直徑的幾倍。全班同學(xué)做完后，要求每個同學(xué)匯報自己計算的結(jié)果，并把結(jié)果整理成下表。
圓直徑(厘米)圓的周長(厘米)周長是直徑的幾倍A26.23.1B39.63.2C412.63.15D515.73.14......
然后引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)：不管圓的大小，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時再揭示：這個倍數(shù)是個固定的數(shù)，數(shù)學(xué)上叫做圓周率。再讓學(xué)生任意畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導(dǎo)學(xué)生把大量的感性材料，加以分析、綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質(zhì)屬性(如圓的大小、測量時用的單位等)，抓住事物的本質(zhì)特征(圓的周長總是直徑的3倍多一點)，形成了概念。
這樣教師借助于直觀教學(xué)，運用學(xué)生原有的一些基礎(chǔ)知識，逐步抽象，環(huán)環(huán)緊扣，層次清楚。通過實物演示，使學(xué)生建立表象，從而解決了數(shù)學(xué)知識的抽象性與兒童思維的形象性的矛盾。
2．結(jié)合學(xué)生的生活實際進行具體與抽象的轉(zhuǎn)化
教學(xué)中有許多數(shù)量關(guān)系都是從具體生活內(nèi)容中抽象出來的，因此，在教學(xué)中應(yīng)該充分利用學(xué)生的生活實際，運用恰當(dāng)?shù)姆绞竭M行具體與抽象的轉(zhuǎn)化，即把抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生的具體生活知識，在此基礎(chǔ)上又將其生活知識抽象為教學(xué)內(nèi)容。
例如乘法交換律的教學(xué)，往往讓學(xué)生先解答這樣的習(xí)題：一種鋼筆，每盒10支，每支3元，買2盒鋼筆要多少元?學(xué)生在實際解答中發(fā)現(xiàn)，這道題可以有兩種解答思路，一種是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一種是先求出“一共有多少支鋼筆”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教學(xué)也是讓學(xué)生解答類似的問題，如：一件上衣50元，一條褲子30元，買這樣的5套衣服需要多少元?這樣借助于學(xué)生熟悉的生活情景，使抽象的問題變得具體化。
同樣常見數(shù)量關(guān)系中的單價、總價與數(shù)量之間的關(guān)系；路程、速度與時間的關(guān)系，工作量、工作效率與工作時間之間的關(guān)系等，都應(yīng)結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗，通過具體的題目將其抽象出來，然后又利用這些關(guān)系來分析解決問題。這樣的訓(xùn)練有利于使學(xué)生的思維逐漸向抽象思維過渡，逐步
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緩解知識的抽象性與學(xué)生思維的具體形象性的矛盾。
但是，運用直觀并不是目的，它只是引起學(xué)生積極思維的一種手段。因此概念教學(xué)不能只停留在感性認(rèn)識上，在學(xué)生獲得豐富的感性認(rèn)識后，要對所觀察的事物進行抽象概括，揭示概念的本質(zhì)屬性，使認(rèn)識產(chǎn)生飛躍，從感性上升到理性，形成概念。
三 遵循小學(xué)生學(xué)習(xí)概念的特點，組織合理有序的教學(xué)過程
盡管小學(xué)生獲取概念有概念形成和概念同化這兩種基本形式，各類概念的形成又有各自的特點，但不管以何種方式獲得概念，一般都會遵循從“引入一理解一鞏固一深化”這樣的概念形成路徑。下面就概念教學(xué)中每個環(huán)節(jié)的教學(xué)策略及應(yīng)注意的問題作一闡述。
1．概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料
概念教學(xué)的第一步就是要引入概念。概念如何引入，直接關(guān)系到學(xué)生對概念的理解和掌握。常用的概念引入的途徑有：
(1)通過直觀引入。如“5”的認(rèn)識，就是讓學(xué)生數(shù)主題圖中有5匹馬，5個解放軍，5支槍等，突出這些東西的數(shù)量都是5，可以用數(shù)“5”表示。通過數(shù)各種數(shù)量為5的實物，逐步把數(shù)5從具體事物中抽象出來。
(2)通過生活實例引人。如學(xué)習(xí)圓的認(rèn)識時，先讓學(xué)生討論自行車的車輪為什么是圓的，引導(dǎo)學(xué)生把生活中的事例轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后揭示課題。這樣的引入不僅激發(fā)了學(xué)生的求知欲，而且讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)來自于現(xiàn)實生活。
(3)通過舊知識引入。到了中高年級，許多概念可以通過聯(lián)系緊密的舊概念直接引入。例如質(zhì)數(shù)和合數(shù)的學(xué)習(xí)，教學(xué)時就從復(fù)習(xí)約數(shù)的概念人手，讓學(xué)生找出1、5、9、11、12、27、16各數(shù)中的約數(shù)，再引導(dǎo)他們觀察、比較，最后把這些數(shù)按約數(shù)的個數(shù)分為三類，從而初步建立質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。
此外，還可以用已學(xué)過的計算方法引入新概念。如分?jǐn)?shù)、循環(huán)小數(shù)、余數(shù)等概念都和除法有直接聯(lián)系，可以用計算引入。這實質(zhì)上是運用舊知識引入新概念的特殊情況。
在概念引人的過程中，要注意使學(xué)生建立起清晰的表象。因為建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎(chǔ)，因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，無論以什么方式引入概念，都應(yīng)考慮如何使小學(xué)生在頭腦中建立起清晰的表象。概念教學(xué)一開始，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容運用直觀手段向?qū)W生提供豐富而典型的感性材料，如采用實物、模型、掛圖，或進行演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并結(jié)合實驗，讓學(xué)生自己動手操作，以便讓學(xué)生接觸有關(guān)的對象，豐富自己的感性認(rèn)識。
如在一節(jié)教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義的課上，一位教師為了突破單位“l(fā)”這一教學(xué)難點，事先向?qū)W生提供了各種操作材料：一根繩子，4只蘋果圖，6只熊貓圖，一張長方形紙，l米長的線段等，讓學(xué)生小組合作，選擇其中的一種材料表示出÷。像這樣的材料就具有代表性，能緊緊扣住÷這一分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生感悟到這里出現(xiàn)的不同的材料都能說明÷的意義，再通過比較、歸納出：一個物體、一個計量單位、一個整體都可以用單位“1”表示，從而突破理解單位“1”這一難點，為理解分?jǐn)?shù)的意義奠定了基礎(chǔ)。
但概念引入時所提供的材料要注意三點：一是所選材料要確切。例如角的認(rèn)識，小學(xué)里講的角是平面角，可以讓學(xué)生觀察黑板、書面等平面上的角。有的教師讓學(xué)生觀察教室相鄰兩堵墻所夾的角，那是兩面角，對于小學(xué)教學(xué)要求來說，就不確切了。二是所選材料要突出所授知識的本質(zhì)特征。例如直角三角形的本質(zhì)特征是“有一個角是直角的三角形”，至于這個直角是三角形中的哪一個角，直角三角形的大小、形狀，則是非本質(zhì)的。因此教學(xué)時應(yīng)出示不同的圖形，使學(xué)生在不同的圖形中辨認(rèn)其不變的本質(zhì)屬性。
2．概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質(zhì)屬性
概念的理解是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，教師要采取一切手段幫助學(xué)生逐步理解概念的內(nèi)涵和外延，以便讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握概念。促進對概念理解的途徑有：
(1)剖析概念中關(guān)鍵詞語的真實含義
例如，分?jǐn)?shù)定義中的單位“1”、“平均分”、“表示這樣的一份或幾份的數(shù)”，學(xué)生只有對這些關(guān)鍵詞語的真實含義弄清楚了，才會對分?jǐn)?shù)的概念有了深刻的理解。再如教學(xué)“整除”概念之后應(yīng)幫助學(xué)生從以下三方面進行判斷，一是判斷是否具有“整除”關(guān)系的兩個數(shù)都必須是自然數(shù)；二是這兩個數(shù)相除所得的商是整數(shù)；三是沒有余數(shù)。對定義的分析是幫助學(xué)生認(rèn)識概念的又一次提高。三角形的高的定義:“從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條邊叫做三角形的底�！边@里的“一個頂點”、“垂線”、“垂足”都是一些關(guān)鍵詞語。為了讓學(xué)生理解三角形的高，除了讓學(xué)生理解字面意思外，往往還需要學(xué)生通過實際操作，體會畫“高”的全過程。指出畫“高”的關(guān)鍵是畫垂線，并注意限制條件：“過三角形的一個頂點(可以是任何一個頂點)，作到它對邊的垂線，頂點和垂足之間的線段”。這樣把實際操作的過程和所畫的三角形高的圖形與定義所敘述的內(nèi)容對照，使學(xué)生準(zhǔn)確地理解三角形的高的定義。這實際上是在數(shù)學(xué)概念建立后，幫助學(xué)生對本質(zhì)屬性進行剖析，既將本質(zhì)屬性再次從定義中分離出來，加以明確。
(2)辨析概念的肯定例證和否定例證
學(xué)生能背誦概念并不等于真正理解概念，還要通過實例突出概念的主要特征，幫助他們加深對概念的理解。教師不僅要充分運用肯定例證來幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，同時要及時運用否定例證來促進學(xué)生對概念的辨析。在概念揭示后往往要針對教學(xué)要求組織學(xué)生進行一些練習(xí)，如教完三角形按角分類后，可以出示：一個三角形不是直角三角形，并且有兩個角是銳角，這個三角形一定是銳角三角形。讓學(xué)生進行判斷，引起學(xué)生討論來鞏固三角形的分類，以深化對三角形這一概念的外延的進一步認(rèn)識。再如，小數(shù)的性質(zhì)揭示后，可以讓學(xué)生判斷下面各數(shù)，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉?0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000，從而加深對小數(shù)性質(zhì)的理解。
(3)變換本質(zhì)屬性的敘述或表達(dá)方式
小學(xué)生理解和掌握概念的特點之一往往是：對某一概念的內(nèi)涵不很清楚，也不全面，把非本質(zhì)的特征作為本質(zhì)的特征。例如，有的學(xué)生誤認(rèn)為，只有水平放置的長方形才叫長方形，如果斜著放就辨認(rèn)不出來。為此，往往需要變換概念的敘述或表達(dá)方式，讓學(xué)生從各個側(cè)面來理解概念。旨在從變式中把握概念的本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性的干擾。因為事物的本質(zhì)屬性可以運用不同的語言來表達(dá)，如果學(xué)生對各種不同的敘述和表達(dá)都能理解和掌握，就說明學(xué)生對概念的理解是透徹的，是靈活的，不是死記硬背的。
如教學(xué)“梯形”的概念，在學(xué)生按課本認(rèn)識了梯形后，出示了下面圖(1)、(2)，問：它是梯形嗎?當(dāng)學(xué)生回答后，再要他們指出這個梯形的上底、下底和高。接著出示圖(3)，要求學(xué)生說出圖中有哪些梯形，并分別指出這些梯形的高、上底和下底。有的學(xué)生認(rèn)為a是梯形，有的認(rèn)為b也是梯形，還有的認(rèn)為a和b合起來是個大梯形。說明學(xué)生已經(jīng)靈活掌握了“梯形”這一概念。
(4)對近似的概念及時加以對比辨析
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有些概念其含義接近，但本質(zhì)屬性又有區(qū)別。如數(shù)與數(shù)字，數(shù)位與位數(shù)，奇數(shù)與質(zhì)數(shù)，偶數(shù)與合數(shù)，化簡比與求比值，時間與時刻，質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)與互質(zhì)數(shù)，周長與面積，等等。對這類概念，學(xué)生常常容易混淆，必須及時把它們加以比較，以避免互相干擾。
如學(xué)習(xí)了“整除”，為了和以前學(xué)的“除盡”加以比較，可以設(shè)計這樣的練習(xí)題：下列等式中，哪些是整除，哪些是除盡?
(1)8÷2＝4 (2)48÷8＝6
(3)30÷7＝4……2 (4)8÷5＝1.6
(5)6÷0.2＝30 (6)1.8÷3＝0.6
引導(dǎo)學(xué)生通過分析、比較，從而得出：第(3)題是有余數(shù)的除法，當(dāng)然不能說被除數(shù)被除數(shù)整除或除盡，其他各題當(dāng)然能說被除數(shù)被除數(shù)除盡了。其中只有第(1)、(2)題，被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，而且沒有余數(shù)，這兩題既可以說被除數(shù)被除數(shù)除盡，又能說被除數(shù)被除數(shù)整除。從上面的分析中，讓學(xué)生明白：整除是除盡的一種特殊情況，除盡包括了整除和一切商是有限小數(shù)的情況。
學(xué)習(xí)了比之后，可以用列表法設(shè)計比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系的習(xí)題，從中明確“除法是一種運算，分?jǐn)?shù)是一個數(shù)，比是一個關(guān)系式”的區(qū)別。
3．重視概念的運用，發(fā)揮概念的作用
正確、靈活地運用概念，就是要求學(xué)生能夠正確、靈活地運用概念組成判斷，進行推理、計算、作圖等，能運用概念分析和解決實際問題。理解概念的目的在于運用，運用的途徑有：
(1)自舉實例
這是要求學(xué)生把已經(jīng)初步獲得的概念簡單運用于實際，通過實例來說明概念，加深對概念的理解。有經(jīng)驗的教師，根據(jù)小學(xué)生對概念的認(rèn)識通常帶有具體性的特點，在學(xué)生通過分析、綜合、抽象、概括出概念后，總是讓他們自舉例證，把概念具體化。從具體到抽象又回到具體，符合小學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，使學(xué)生更準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵和外延。
例如在學(xué)生初步獲得了真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的概念后，就可以讓學(xué)生分別舉一些真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的實例；知道了圓柱的特征后，讓學(xué)生說說日常生活中有哪些物品的形狀是圓柱形的。
(2)運用于計算、作圖等
例如，如學(xué)了乘法的運算定律后，就可以讓學(xué)生簡便計算下面各題。
104×25 48×25 101×35×2
14× 99＋14 25×32 146＋9×146
(80＋8)×25 8× (125＋50) 34×5×2
在掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)后，就要求學(xué)生能熟練地進行通分、約分，并說明通分、約分的依據(jù)。學(xué)習(xí)了小數(shù)的性質(zhì)后，就可以讓學(xué)生把小數(shù)按要求進行化簡或改寫；學(xué)習(xí)了等腰三角形，可設(shè)計一組操作題；畫一個等腰三角形；畫一個頂角60度的等腰三角形；畫一個腰長為2厘米的等腰直角三角形。
(3)運用于生活實踐
數(shù)學(xué)概念來源于生活，就必然要回到生活實際中去。教師引導(dǎo)學(xué)生運用概念去解決數(shù)學(xué)問題，是培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的過程。并且，也只有讓學(xué)生把所學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)概念，拿到生活實際中去運用，才會使學(xué)到的概念鞏固下來，進而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的運用技能。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實際，在掌握小學(xué)數(shù)學(xué)教材邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，有意識地深化和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)概念。
例如在學(xué)習(xí)圓的面積后，一位教師就設(shè)計了這樣的問題：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓面積公式，誰能想辦法算一算，學(xué)校操場上白楊樹樹干的橫截面面積?”同學(xué)們就討論開了，有的說，算圓面積一定要先知道半徑，只有把樹砍下來才能量出半徑；有的不贊成這樣做，認(rèn)為樹一砍下來就會死掉。這時教師進一步引導(dǎo)說：“那么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下�！睂W(xué)生們渴望得到正確的答案，通過積極思考和爭論，終于找到了好辦法，即先量出樹干的周長，再算出半徑，然后應(yīng)用面積公式算出大樹橫截面面積。課后許多學(xué)生還到操場上實際測量了樹干的周長，算出了橫截面面積。再如，在教學(xué)正比例應(yīng)用題時，可以啟發(fā)學(xué)生運用旗桿高度與影長的關(guān)系，巧妙地算出了旗桿的高度。這樣通過創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情景，教師適時點撥，不但啟迪了學(xué)生的思維，而且培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)以致用的興趣和能力，也加深了對所學(xué)概念的理解。
4．注重概念之間的比較分類，深化概念
小學(xué)數(shù)學(xué)知識的特點是系統(tǒng)性強，前后聯(lián)系密切，但是由于小學(xué)生思維發(fā)展水平和接受能力的限制，有些知識的教學(xué)往往是分幾節(jié)課或幾個學(xué)期來完成，這樣難免在不同程度上削弱知識間的聯(lián)系。對一些有聯(lián)系的概念或法則，在一定階段應(yīng)進行系統(tǒng)的整理，使學(xué)生在頭腦中建立起知識的網(wǎng)絡(luò)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。尤其是中高年級，可以引導(dǎo)學(xué)生將概念進行分類，明確概念間的聯(lián)系和區(qū)別，以形成概念系統(tǒng)。
如數(shù)的整除性中的有關(guān)概念
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可以整理如下圖。
資料二：
數(shù)學(xué)概念題的形式大體可以分四類：問答題──提出數(shù)學(xué)概念，要求學(xué)生表述概念的定義。如“舉例說明什么是體積，什么是容積”；填空題──這是常用的形式，一般要求學(xué)生填寫適當(dāng)?shù)脑~語或術(shù)語，把概念的定義補充完整。如“a與b互質(zhì)，它們的最大公約數(shù)是( )，它們的最小公倍數(shù)是( )�！保慌袛囝}──要求學(xué)生判斷命題的真假，從正誤兩個方面幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念。如“小數(shù)、分?jǐn)?shù)都小于整數(shù)”；選擇題──這種練習(xí)題的后面?zhèn)溆袔讉�不同的答案，要求學(xué)生從中選取正確的。這樣可以判斷學(xué)生對概念的理解程度。如“假分?jǐn)?shù)的分子( )分母：
A.大于 B．等于 C．小于 D．大于或等于”。
第三節(jié) 概念教學(xué)片段舉例
一 乘法的初步認(rèn)識教學(xué)片段
1．創(chuàng)設(shè)情景，出示課題
師：老師帶來了一些鉛筆準(zhǔn)備獎給學(xué)習(xí)認(rèn)真的小朋友，如果每人2枝，獎給4位小朋友，一共要多少枝?怎樣列式?(板書：2+2+2+2=8)如果獎給5位小朋友，一共要多少枝?(板書：2+2+2+2+2＝10)我們班46名同學(xué)學(xué)習(xí)都很認(rèn)真，每位小朋友都獎勵2枝，該怎么列式呢?教師一邊板書2+2+2+2……，一邊問：這樣要寫多少個“2”?能不能有一種比較簡便的方法來表示呢?這就是今天要學(xué)習(xí)的乘法(板書課題)。
2．直觀感知，形成表象
(1)教學(xué)乘號。
(2)學(xué)生擺紅花，寫算式。
師：在投影儀上先擺2朵，再擺2朵，最后再擺2朵。問：數(shù)一數(shù)，一共擺了幾個2朵?(板書：3個2)可以用什么方法算?(板書：2+2+2＝6)這個連加算式中加數(shù)都是2，我們可以把它改寫成乘法算式，寫作：2X3二6，讀做：2乘3；也可以寫作：3X2＝6，讀做：3乘2。(教師示范，再指名讀、全班讀)
(3)學(xué)生擺小圓片，寫算式。
師：請小朋友自己擺一擺小圓片，再寫出算式，行嗎?
要求第一行擺3個小圓片，第二行也擺3個小圓片，一共擺了幾個小圓片?用加法算怎樣列式?能改寫成乘法算式嗎?(根據(jù)學(xué)生回答板書：
3+3＝63X2＝6或2X3＝6)
師：如果再擺兩行，那一共又有幾個3呢?算式該怎么列?(根據(jù)學(xué)生回答板書：3+3+3+3＝123X4＝12或4X3＝12)
(4)看圖形，寫算式。
板書：4+4+4＝12，4X3＝12或3X4＝12
5+5+5＝15，5X3＝15或3X5＝15
3．分析比較，揭示本質(zhì)
(1)師：仔細(xì)觀察黑板上的這些加法算式和乘法算式，你發(fā)現(xiàn)了什么?引導(dǎo)學(xué)生得出：這些加法算式的加數(shù)都相同，所以能改寫成乘法算式。求幾個相同加數(shù)的和，用乘法計算比較簡便。
(2)討論下列算式哪些能改寫成乘法算式，哪些不能?為什么?
2+2+33+3+3+35+56+6+6+7
4．多種訓(xùn)練，鞏固和深化新知
(1)看圖列式。
********************
加法算式：乘法算式：
(2)根據(jù)算式，用學(xué)具擺一擺。
2X24X32X5
(3)把前面“導(dǎo)人”中的三道加法算式改寫成乘法算式。
(4)自己寫一個加法算式，然后改寫成乘法算式。
5．小結(jié)(略)
評析：這節(jié)概念課遵循了概念形成的規(guī)律，依據(jù)感知——表象——概念——運用這么一條途徑。概念的引入能緊緊抓住同數(shù)連加這一已有的知識基礎(chǔ)，又輔以生動形象的直觀教學(xué)手段，可謂雙管齊下。一開始就讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中初步接觸“相同加數(shù)”，從計算全班學(xué)生的獎品總數(shù)而激起學(xué)生學(xué)習(xí)“乘法”的欲望。接著讓學(xué)生在操作實踐的過程中，各種感官協(xié)同活動，在獲得大量感性材料的基礎(chǔ)上，形成清晰而豐富的表象，為學(xué)生初步認(rèn)識“乘法”奠定了堅實的基礎(chǔ)。新課展開以后能及時對加法算式和乘法算式這些感性材料引導(dǎo)學(xué)生進行分析比較，抽象概括出本質(zhì)屬性。“求幾個相同加數(shù)和，用乘法計算比較簡便”這一結(jié)論是抽象概括的結(jié)果。教師通過第一層次由學(xué)生擺出了3個2朵小紅花，列出加法算式2十2+2＝6再引導(dǎo)學(xué)生看算式回答算式中的加數(shù)有什么特點?再讓學(xué)生用正方形擺出4個3，用小圓片擺出5個4，分別列出加法算式，并觀察每個算式中加數(shù)的特點。第二層次，教師由三道加法算式引出新的運算——乘法，說明3個2相加的和，4個3相加的和。5個4相加的和，可以用乘法計算。第三層次，通過加法和乘法算式的比較，得出用乘法計算比較簡便。第四層次是抽象出乘法的意義。在這個由具體到抽象的過程中，學(xué)生的抽象、概括能力得到了培養(yǎng)。為鞏固新知設(shè)計的辨析題中既有肯定例證，也有否定例證，抓住了教學(xué)的難點，突出了教學(xué)的重點，有利于學(xué)生真正理解乘法的意義，即乘法是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。最后寫出求46個學(xué)生的鉛筆總數(shù)的乘法算式，使學(xué)生已有的概念得到了及時擴展。整節(jié)課學(xué)生都主動地投入了整個教學(xué)過程。
二 面積單位及其進率教學(xué)片段
1．感知1平方分米
(1)學(xué)生觀察：教師在黑板上貼的紙上畫一條1分米長的線段，以這條線段為邊長，畫一個正方形。告訴學(xué)生，這個邊長1分米的正方形的面積是l平方分米。接著教師用剪刀剪下這l平方分米的正方形紙，貼在黑板上。
(2)學(xué)生操作：剪出一個l平方分米的正方形，用手摸一摸，閉上眼睛想一想1平方分米的樣子及大小。
2．感知1平方厘米
(1)師：誰能第一個剪出1平方厘米的正方形?學(xué)生動手剪出了l平方厘米的正方形后，要求他們說說是怎樣剪的。然后讓學(xué)生用手摸一摸，閉上眼睛想一想l平方厘米的樣子及大小。
(2)把1平方分米的正方形紙和l平方厘米的正方形紙放在桌面上，看一看，比一比，閉上眼睛想一想它們的樣子及大小。
3．感知1平方米
師：誰能告訴大家，怎樣剪出1平方米的正方形紙?學(xué)生說完，教師就把事先剪好的1平方米的正方形紙貼在黑板上，讓學(xué)生看一看，閉上眼睛想一想它的樣子和大小。
4．討論：什么叫1平方分米、1平方厘米、l平方米?
5．討論：1平方分米、l平方厘米及l(fā)平方米的關(guān)系。
(1)要求學(xué)生看著自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形紙。想一想怎樣才能測出1平方分米中有多少個l平方厘米?學(xué)生認(rèn)為動手?jǐn)[一擺、畫一畫就能測出來。開始學(xué)生把兩張正方形紙的一個頂點對齊，然后沿著1平方厘米的正方形紙的邊沿把它所占的平面位置畫在了1平方分米的正方形紙上。再挪動1平方厘米的正方形紙，緊挨著畫好的小正方形擺好，再沿邊沿畫出它所占的位置。再挪動正方形……這樣畫了一排，再畫第二排，第二排沒有畫完，有的學(xué)生已經(jīng)用尺子把l平方分米的正方形每邊平均分成了10份，把對邊上的兩點連結(jié)，畫出格線，數(shù)一數(shù)，算一算，得出1平方分米=100平方厘米。
(2)提問：怎樣知道1平方米中有多少個1平方分米?如果沿l平方米的正方形的邊長擺1平方分米的小正方形，一排能擺幾個?可以擺多少排?得出：
1平方米＝100平方分米。
(3)想一想，算一算，l平方米等于多少平方厘米呢?學(xué)生很快就得出：
1平方米＝10000平方厘米。
6．鞏固運用
(1)舉例說說1平方厘米、l平方分米、1平方米的大小。
(2)填上合適的單位名稱。(略)
評析：學(xué)生通過動手操作，可以增加對所學(xué)知識的感性認(rèn)識，在操作中獲得實物的表象，加深對所學(xué)知識的理解。這里的教學(xué)片段，教師正是出于這樣的思考，讓學(xué)生通過自己動手?jǐn)[一擺，畫一畫，想一想，算一算，真正理解了1平方米、1平方分米、l平方厘米的意義及它們之間的進率，并且印象深刻，記憶持久。同時，也培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力。自始至終學(xué)生獲取知識的過程是主動積極的。質(zhì)數(shù)與合數(shù)教學(xué)片段
1．導(dǎo)入
師：同學(xué)們都有自己的學(xué)號，請把表示你學(xué)號的這個數(shù)的所有約數(shù)找出來。
(指名反饋，教師根據(jù)29號、2號、26號、16號同學(xué)的發(fā)言，逐一板書這些數(shù)的約數(shù)。其余同學(xué)互相交流。)
2．分類整理，揭示概念
師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察這些數(shù)(手指黑板)，能不能把這些數(shù)分分類?同桌可以互相議一議。
生甲：我把這些數(shù)分成兩類，一類是奇數(shù)，一類是偶數(shù)。奇數(shù)有21、7、29，偶數(shù)有6、2、26和16。
生乙：我是按約數(shù)的個數(shù)來分的，7、29、2只有兩個約數(shù)分為一類，6、16、21、26有兩個以上的約數(shù)分為一類。
生丙：我把6、7、2分為一類，這些數(shù)都是一位數(shù)，21、16、29、26分為一類，這些數(shù)都是兩位數(shù)。
師：還有其他分法嗎?(學(xué)生表示沒有)這些分法都有道理。奇數(shù)、偶數(shù)我們以前已經(jīng)認(rèn)識了，今天我們著重來研究按約數(shù)個數(shù)來分的情況。像這樣只有兩個約數(shù)的數(shù)，叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)；有兩個以上約數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)。
3．討論，建立概念
師：再請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下：質(zhì)數(shù)有什么特點?合數(shù)有什么特點?有困難的同學(xué)可以和周圍的同學(xué)商量一下。
生：質(zhì)數(shù)的約數(shù)只有l(wèi)和它本身兩個，合數(shù)的約數(shù)除了1和它本身還有別的約數(shù)。
師：有沒有不同意見?誰再來說一說?看看書上是怎么說的。
4．理解和鞏固概念
師：現(xiàn)在我們知道了什么是質(zhì)數(shù)，什么是合數(shù)，那么除了黑板上的這些數(shù)，你還能舉一些例子嗎?寫在本子上。
生：19、23、27、31、59、61是質(zhì)數(shù)，4、15、20、18、25、10、12、30是合數(shù)。
師：還有嗎?還有這么多同學(xué)想說，可是黑板只有這么大，怎么辦?
生：用省略號表示。(板書)
師：這幾位同學(xué)舉出的這些數(shù)是不是質(zhì)數(shù)?指板書我們來判斷一下。
生：19、23是質(zhì)數(shù)，27不是質(zhì)數(shù)。
師：27為什么不是質(zhì)數(shù)?
生：因為27除了1和它本身以外，還有別的約數(shù)3和9，所以是合數(shù)。(教師調(diào)整板書)
師：這些都是合數(shù)嗎?(學(xué)生沒有意見)誰能說說12為什么是合數(shù)?
5．運用概念
(1)教師從周圍環(huán)境中選取素材，讓學(xué)生進行判斷練習(xí)，概括出判斷方法(略)。
(2)討論“1”，得出1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，因為它只有一個約數(shù)。
6．綜合練習(xí)
(1)找一找，黑板上的這些數(shù)中，哪些是奇數(shù)?哪些是偶數(shù)?你發(fā)現(xiàn)了什么?(一些數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，如9、21等；一些數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，如2)
師：既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的只有2，其他偶數(shù)有可能是質(zhì)數(shù)嗎?為什么?同桌互相檢查一下，你找對了嗎?
(2)出示2～50的數(shù)，要求很快找出質(zhì)數(shù)。
反饋時要求介紹一下你有什么好方法。
(3)把下面各數(shù)寫成兩個質(zhì)數(shù)的和。
6=()+()8＝()+()
10＝()+()12＝()+()
師：這里的6、8、10、12都是什么數(shù)?
生：是合數(shù)，也都是偶數(shù)。
師：能不能把這些數(shù)寫成兩個質(zhì)數(shù)的和?學(xué)生在練習(xí)本上寫。
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>師：是不是所有不小于6的偶數(shù)都能寫成兩個質(zhì)數(shù)的和?這是一種猜想，要證明它可不容易，這就是世界有名的難題“哥德巴赫猜想”，有興趣的同學(xué)課后可以去查閱有關(guān)資料。
評析：這是一節(jié)比較抽象的概念課，其最大的特點是教師能遵循學(xué)生概念學(xué)習(xí)的特點展開整個教學(xué)過程。上課一開始就緊緊抓住“約數(shù)”這一已有的基礎(chǔ)知識，讓學(xué)生找一找表示自己學(xué)號的數(shù)的約數(shù)，通過觀察、分類，揭示質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。再通過進一步的觀察、討論，并用自己的語言來說一說什么是質(zhì)數(shù)、合數(shù)，初步建立概念。在此基礎(chǔ)上，請全體學(xué)生舉例，進行判斷，從而檢驗并鞏固了所學(xué)的概念。綜合練習(xí)的組織，在及時鞏固運用新知識的同時，溝通了與舊知識的聯(lián)系，讓學(xué)生明確了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)間的區(qū)別和聯(lián)系，使概念系統(tǒng)化。
除此之外，這節(jié)課還有以下三個特點：一是教師能真心誠意地把學(xué)生當(dāng)做學(xué)習(xí)的主體，課堂的主人，發(fā)揚教學(xué)民主，讓每個學(xué)生都積極參與教學(xué)過程，在自主探索中獲取新知，體驗成功。二是注意就地取材，充實教學(xué)內(nèi)容，使抽象的教學(xué)內(nèi)容變得生動,貼近學(xué)生生活。三是能以知識學(xué)習(xí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、獨立思考的能力和敢于創(chuàng)新的精神，同時適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法。
四 三角形按角分類教學(xué)片段
在學(xué)生操作、教師演示相結(jié)合進行了三角形定義、特性等內(nèi)容的教學(xué)后，教師用投影出示了7個不同的特征明顯的三角形。(為了使分析、表述方便，給每個三角形都編上了序號，三角形的每個角也都編上了序號。如圖：
1．填表
師：觀察每個三角形的／1看看它是什么角?再依次看看之/2、／3，看看它們又是什么角?把結(jié)果填在下表中。
2．分類
師：請同學(xué)們認(rèn)真觀察表格，你發(fā)現(xiàn)這些三角形的三個內(nèi)角有什么相同點和不同點?
學(xué)生回答后教師歸納：
相同點(共性)：每個三角形至少有兩個內(nèi)角是銳角。
不同點(個性)：第三個角可能是銳角、直角或鈍角。
師：如果要把這7個三角形分類，你認(rèn)為該怎樣分?要求大家把自己的分類情況寫下來。教師根據(jù)學(xué)生的回答板書：
(1)(4)(7)
(2)(5)(3)(6)
3．取名
師：剛才我們把7個三角形分成了三組，你能根據(jù)它們各自的特征給每組三角形取個名字嗎?
教師根據(jù)學(xué)生的回答形成板書：
(1)(4)(7)
銳角三角形
(2)(5)(3)(6)
直角三角形鈍角三角形
4．定義
師：根據(jù)三種三角形的名稱以及它們各自的特征，誰來說說：什么叫銳角三角形?什么叫直角三角形?什么叫鈍角三角形?(學(xué)生討論后要求看書，看看大家的結(jié)論與書上的定義是否一樣。)
5。加深理解三角形的分類
師：請同學(xué)們拿出三根小棒，你能用三根小棒擺一個三角形，使它既不是銳角三角形，也不是直角或鈍角三角形嗎?(學(xué)生擺不出來)
師：從剛才的擺三角形中，你們發(fā)現(xiàn)了什么?
根據(jù)學(xué)生的回答小結(jié)：實際上任何一個三角形一定屬于銳角、直角或鈍角三種三角形中的一種。所以三角形按角分可以分成三類(板書)。
6．練習(xí)(略)
評析：這里的教學(xué)通過填表、分類、命名、定義、操作、練習(xí)六個環(huán)節(jié)的有機結(jié)合，使學(xué)生借助于原有的角的知識，不知不覺地掌握了三角形按角分類的新知識。第一層次填表，學(xué)生通過填表既使三角形內(nèi)角的情況一目了然，又為下面進一步歸納、分析作了準(zhǔn)備。第二層次引導(dǎo)學(xué)生在分析7個三角形內(nèi)角的共性和個性的基礎(chǔ)上進行分類。第三層次要求學(xué)生根據(jù)分成的三組三角形各自的特征，給它們?nèi)∫粋�合適的名字，從而初步認(rèn)識了三類三角形的特征。第四層次要求為每一種三角形下一個明確的數(shù)學(xué)定義，使概念由7個三角形推廣到所有三角形，使感性上升到理性。最后一個層次，在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)任何一個三角形都在三種三角形范圍內(nèi)。得出結(jié)論，三角形按角分類，應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三類。從而完成了整個概念的教學(xué)過程。這一過程遵循了小學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，循序漸進，環(huán)環(huán)緊扣，整個教學(xué)過程既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，取得了良好的教學(xué)效果。
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