比較在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

“比較”指的是人腦把一些事物和現(xiàn)象放在一起進(jìn)行對(duì)比的思維過(guò)程。這是一種常用的思維方式，我們?cè)谏�活、工作、學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到。 
比較有三個(gè)主要作用：1、揭示某些事物的共性。世界上事物繁多，有些事物沒(méi)有共同之處，有些事物之間存在著某些共同的特點(diǎn)。有些時(shí)候，我們需要知道這些事物的共同屬性。通過(guò)對(duì)所要研究的事物進(jìn)行比較，可以找出它們的共同點(diǎn)。例如、凸多面體概念的教學(xué)。常常是先出示一些不同形狀的凸多面體，讓學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行比較，找出它們的共同點(diǎn)，抽象出凸多面體的定義。2、揭示某些事物的不同點(diǎn)。世界是一個(gè)相對(duì)的世界，絕對(duì)的事物是不存在的。即便是非常相近的同類事物，也有不同之處。有時(shí)候，人們希望知道這些事物的不同點(diǎn)。通過(guò)對(duì)這些事物的比較可以找出它們的不同點(diǎn)。例如、等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩個(gè)相似的概念。如果把兩個(gè)定義放在一起進(jìn)行比較，就可以發(fā)現(xiàn)它們的不同點(diǎn)，就而把兩個(gè)概念區(qū)分開。3、揭示某些事物之間的聯(lián)系。事物和事物之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，有的顯而易見，有的深不可測(cè)。然而，當(dāng)我們把這些事物放在一起加以比較之后，就有可能發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系。 
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。說(shuō)白了，就是研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的事物之間的不同點(diǎn)、相同點(diǎn)和它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用到“比較”的方法。 
一、    定義概念 
數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。在科學(xué)的數(shù)學(xué)體系中，知識(shí)就像一根鏈條，前后環(huán)環(huán)相扣，前面的知識(shí)是后面知識(shí)的基礎(chǔ)，后面的知識(shí)是在前面知識(shí)的基礎(chǔ)上演繹而得到的。演繹推理需要有一定的基礎(chǔ)，如果從后向前追溯推理的根據(jù)，那么總能夠找到一些沒(méi)有推理依據(jù)的數(shù)學(xué)知識(shí)。這就是數(shù)學(xué)中的基本概念和基本規(guī)律。譬如，幾何中的“點(diǎn)”、“經(jīng)過(guò)三個(gè)不共線的點(diǎn)有且只有一個(gè)平面”、自然數(shù)中的“0”。因?yàn)榛�本的概念和�?guī)律沒(méi)有推理的基礎(chǔ)，所以，教學(xué)這些知識(shí)，通常是先對(duì)一些特殊的事例進(jìn)行比較，找出它們的共同點(diǎn)，再概括出概念的定義或者歸納出規(guī)律。例如、教學(xué)“正數(shù)”的定義，可以先讓學(xué)生拿5，1.5，10， ，8848與0相比較，找出它們的共同特點(diǎn)：都大于0。再引導(dǎo)學(xué)生概括出正數(shù)的定義：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。 
二、揭示規(guī)律 
規(guī)律即事物的共性�？梢酝ㄟ^(guò)對(duì)具體例子的比較獲得。如，在中學(xué)一年級(jí)代數(shù)課中教學(xué)加法的交換律，可以先讓學(xué)生比較下面幾個(gè)算式，找出它們的共同特點(diǎn)，然后歸納出一般規(guī)律。 
3+5=5+3； 
  
1.5+3.3=3.3+1.5； 
…… 
通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)它們等號(hào)右邊的加式，都是左邊的加式交換加數(shù)的位置得到的。由此得到“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”的規(guī)律。 
有一些數(shù)學(xué)知識(shí)雖然能夠通過(guò)演繹推理的方法得到，但是，教學(xué)起來(lái)有些麻煩，學(xué)生不容易接受。對(duì)于這些知識(shí)，可以采用演繹推理和比較歸納相結(jié)合的方法教學(xué)。先進(jìn)行比較歸納，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到所學(xué)規(guī)律的正確性，再?gòu)睦碚撋线M(jìn)一步證明，使學(xué)生堅(jiān)信所學(xué)規(guī)律是可靠的。比如，在中學(xué)教學(xué)數(shù)列極限的運(yùn)算法則。可以先讓學(xué)生計(jì)算數(shù)列 
 ……； 
與3，3，3，3，……； 
的極限，以及這兩個(gè)數(shù)列和的極限，再計(jì)算兩個(gè)常數(shù)列 
1，1，1，1，……； 
與1.5，1.5，1.5，1.5，……； 
的極限，以及這兩個(gè)數(shù)列和的極限。最后讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)實(shí)例加以比較，找出它們的共同點(diǎn)，就而歸納出數(shù)列極限加法的運(yùn)算法則： 
  
中學(xué)生雖然沒(méi)有專一地學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，但他們憑自己的經(jīng)驗(yàn)知道，這種通過(guò)不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確，對(duì)剛才歸納出的結(jié)論可能半信半疑。要使他們確信這一法則的正確性，還必須使用極限的“ε-N”定義進(jìn)行嚴(yán)格的證明。因?yàn)椤唉?N”實(shí)在是太難了，學(xué)生很難接受“ε-N”定義證明的合理性。所以，只使用“ε-N”定義證明數(shù)列極限加法法則，有相當(dāng)多的學(xué)生不敢相信法則的合理性。但是，如果有比較歸納數(shù)列極限的加法法則做鋪墊，那么學(xué)生就基本上可以接受這一法則。 
數(shù)學(xué)體系中基本概念和規(guī)律的多少，取決于受教育者的接受能力。建立數(shù)學(xué)體系的目的是把數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給他人。為了使受教育者能夠接受所要傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)，就必須考慮受教育者的接受能力。因此，小學(xué)、初中、高中、大學(xué)的數(shù)學(xué)教材各自成一體，基本概念和規(guī)律依次減少。這就導(dǎo)致比較方法在不同層次的數(shù)學(xué)課堂上的使用也是不一樣的。通常，低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中使用的比較多一些，高年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中使用的相對(duì)少一些。 
三、    明確概念 
有些數(shù)學(xué)知識(shí)有相同的地方，也有不同的地方。找出數(shù)學(xué)知識(shí)的相同點(diǎn)，可以對(duì)它們進(jìn)行歸類整理，使其系統(tǒng)化，便于學(xué)生掌握。找出數(shù)學(xué)知識(shí)的不同點(diǎn)，可以把不同的數(shù)學(xué)概念區(qū)分開，有助于學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念；尤其是哪些形式上相近的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生易于張冠李戴、是非顛倒，通過(guò)比較找出它們的差異，使學(xué)生了解它們的不同點(diǎn)，就能夠使學(xué)生把這些概念區(qū)別開。有一位學(xué)生曾經(jīng)給老師出了這樣一道難題： 
關(guān)于 的算術(shù)平方根有兩種求法： 
方法一、 ； 
方法二、 。 
顯然，這位學(xué)生把平方根和算術(shù)平方根兩個(gè)概念搞混淆了。為了使學(xué)生能夠自己查找錯(cuò)誤的原因，我先讓她把平方根和算術(shù)平方根的定義寫在紙上： 
平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。例如、 都等于4，所以，4的平方根是2和-2。 
算術(shù)平方根：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，其中a的正平方根叫做a的算術(shù)平方根。 
然后，讓學(xué)生比較這兩個(gè)定義。問(wèn)：這兩個(gè)定義一樣嗎？ 
答：不一樣。 
問(wèn)：一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)？算術(shù)平方根有幾個(gè)？ 
答：平方根有兩個(gè)，算術(shù)平方根有一個(gè)。 
問(wèn)：平方根和算術(shù)平方根的表示方法有什么不同？譬如、正數(shù)a的平方根和算術(shù)平方根。 
答：分別用 表示。 
問(wèn)：算術(shù)平方根和平方根的關(guān)系怎樣？ 
答：算術(shù)平方根是平方根中的一個(gè)。 
問(wèn)：你要求的是平方根還是算術(shù)平方根？ 
答：算術(shù)平方根。 
問(wèn)：你的兩種算法中的哪一種是錯(cuò)的？為什么？ 
答：等于“-1”的是錯(cuò)的。因?yàn)樗阈g(shù)平方根是大于0的，而-1小于0。 
再如：立體幾何中的“三垂線定理”和“三垂線定理的逆地理”非常相似，學(xué)生常常把三垂線定理說(shuō)成三垂線定理的逆定理，把三垂線定理的逆定理說(shuō)成三垂線定理。當(dāng)教學(xué)了三垂線定理的逆定理之后，把二者做一個(gè)比較，讓學(xué)生認(rèn)清它們的不同點(diǎn)，就不會(huì)出現(xiàn)這種情況。 
其實(shí)，數(shù)學(xué)中的易混概念、性質(zhì)、法則、定理、公理，通過(guò)比較都可以搞得一清二楚。 
四、記憶知識(shí) 
記憶是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，如果不把以前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等應(yīng)該掌握的知識(shí)記住，那么就沒(méi)有辦法在這些知識(shí)的基礎(chǔ)上教學(xué)新的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)是學(xué)校教育的主要學(xué)科，內(nèi)容繁多。如果一字不漏地記憶學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，那記憶量太大了，恐怕學(xué)生的腦袋瓜子難以裝下。為了減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，通常拿新學(xué)的知識(shí)和舊知識(shí)做比較，找出它們的不同點(diǎn)。相同點(diǎn)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，學(xué)生應(yīng)該掌握，不需要在用心去記憶。只要把它們的不同點(diǎn)記下就可以了。例如、教學(xué)極限的運(yùn)算法則。極限的運(yùn)算法則有兩類，即數(shù)列的極限運(yùn)算法則和函數(shù)的極限運(yùn)算法則，一般先教學(xué)數(shù)列的極限運(yùn)算法則，后教學(xué)函數(shù)的極限運(yùn)算法則。雖然兩類運(yùn)算法則的內(nèi)涵不同，但是兩類運(yùn)算的方法卻完全一樣。因此，我們可以讓學(xué)生把兩類法則放在一起加以比較，  
數(shù)列極限運(yùn)算法則1：  
函數(shù)極限運(yùn)算法則1：  
找出它們的不同點(diǎn)：自變量的表現(xiàn)形式變化了，其它沒(méi)有變化。這樣，學(xué)生在記憶函數(shù)的極限運(yùn)算法則時(shí)，大可不必一字不漏地記憶，可以在掌握數(shù)列極限運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，把自變量改一下就可以啦。這既減輕了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，又提高了記憶的效率。 
五、尋找聯(lián)系 
數(shù)學(xué)教學(xué)有兩大任務(wù)：一、研究數(shù)學(xué)概念。包括它們的屬性。二、研究概念間的關(guān)系。包括定義和屬性之間的關(guān)系。揭示事物之間的聯(lián)系，靠的是比較。有些看上去似乎沒(méi)有什么聯(lián)系的事物，如果放在一起進(jìn)行比較，卻能夠發(fā)現(xiàn)它們之間存在的微妙聯(lián)系。例如、和圓有關(guān)的比例線段有幾個(gè)定理 
1、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等。 
2、相交弦定理的推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。 
3、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 
4、切割線定理的推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 
5、切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。 
把這五個(gè)定理放在一起加以比較，不難看出，后面四個(gè)定理是第一個(gè)定理的特例，或者說(shuō)是由第一個(gè)定理演變過(guò)來(lái)的。讓相交弦定理中的兩條弦動(dòng)起來(lái)，當(dāng)兩條弦互相垂直，且其中一條過(guò)圓心時(shí)，即為相交弦定理的推論。讓相交弦定理中的交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓的外面，即得到切割線定理的推論。當(dāng)切割線定理的推論中，一條割線旋轉(zhuǎn)到與圓相切的位置時(shí)，得到切割線定理，當(dāng)另一條割線也旋轉(zhuǎn)到相對(duì)的切線位置時(shí)，就得到切線長(zhǎng)定理。教學(xué)時(shí)，可以結(jié)合課堂教學(xué)軟件的演示，讓學(xué)生比較這幾個(gè)定理，找出它們之間的運(yùn)動(dòng)變化關(guān)系，學(xué)生就比較容易掌握這些定理。 
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，凡需要揭示事物之間關(guān)系的問(wèn)題，都可以使用比較的方法進(jìn)行教學(xué)。 
六、確定方向 
解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是確定解決問(wèn)題的方向。解決問(wèn)題的方向不對(duì)，要走許多彎路，耗費(fèi)很大精力，卻收效甚微，甚至根本無(wú)法達(dá)到解決問(wèn)題的目的；解決問(wèn)題的方向正確，能夠收到事半功倍的效果。不論什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般都由條件和預(yù)期結(jié)果兩個(gè)部分組成。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，不斷地把條件或者解題的位置與預(yù)期結(jié)果相比較，常常能夠獲得正確地解題方向。譬如、證明 ： 
如果從左向右證明，那么原式等號(hào)左邊的是條件，右邊的是預(yù)期結(jié)果，等號(hào)左邊和右邊相比較，等號(hào)左邊沒(méi)有角 ，所以，要想把等號(hào)左邊統(tǒng)一到等號(hào)的右邊，就必須在左邊生產(chǎn)出 。 
因?yàn)椋?= ， 
所以，左=  
對(duì)于計(jì)算題而言，要求的結(jié)果是預(yù)期結(jié)果；就應(yīng)用題來(lái)說(shuō)，問(wèn)題是預(yù)期結(jié)果。在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通常是一邊解題，一邊和預(yù)期結(jié)果做比較，在不斷的比較中，及時(shí)矯正解題的方向。 
“比較”是學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)時(shí)使用頻率比較高的數(shù)學(xué)思想方法�？梢哉f(shuō)，拋棄“比較”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究將無(wú)法進(jìn)行。所以，我們必須認(rèn)真研究“比較”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。