對小學(xué)數(shù)學(xué)教育幾個問題的思考
在國際上，數(shù)學(xué)教育始終都是備受關(guān)注的領(lǐng)域。在基礎(chǔ)教育課程體系中，小學(xué)數(shù)學(xué)一直處于重要位置。隨著新世紀(jì)的到來，數(shù)學(xué)科學(xué)本身有了大的發(fā)展，人們對小學(xué)數(shù)學(xué)教育的要求也發(fā)生了變化，小學(xué)數(shù)學(xué)教育面臨巨大挑戰(zhàn)，理論上與實踐上日益暴露出很多復(fù)雜的矛盾沖突。
一、關(guān)于滿足學(xué)生興趣需要與小學(xué)數(shù)學(xué)教育的強迫性之間的矛盾沖突
在教育問題上，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的情況，矛盾和沖突的雙方似乎都有一定的合理性。滿足學(xué)生的興趣和需要與小學(xué)數(shù)學(xué)教育的強迫性就是這種矛盾的雙方。現(xiàn)代社會要求尊重每一個學(xué)生的權(quán)利，尊重學(xué)生的興趣和需要。它是現(xiàn)代教育的一個原則。然而，捫心自問，對學(xué)生真正需要和感興趣的事情，我們成人無論如何努力，恐怕永遠(yuǎn)都不能完全地滿足他們。對一個具有強烈的社會責(zé)任感的教師而言，出于長遠(yuǎn)考慮，從社會和國家的要求出發(fā)，有時會強迫學(xué)生服從教師的意志，聽從教師的安排，尤其是在基礎(chǔ)教育階段更是如此。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)教育具有基礎(chǔ)性和普及性，是一種為學(xué)生打基礎(chǔ)的教育，是要求人人都要接受的普通教育。當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)缺乏興趣時，滿足學(xué)生興趣需要與小學(xué)數(shù)學(xué)教育的強迫性之間的矛盾就顯得更為突出。
事實上，我們無法否認(rèn)有一部分學(xué)生是極其喜愛數(shù)學(xué)的，哪怕有升學(xué)的壓力和高分的誘惑，對這些孩子來說，熱愛數(shù)學(xué)是首要的學(xué)習(xí)動力源泉。但同時，我們也得承認(rèn)有相當(dāng)一部分學(xué)生是不喜歡數(shù)學(xué)的，甚至還有極少一部分學(xué)生是厭惡數(shù)學(xué)，一聽到數(shù)學(xué)就頭疼的。對這些學(xué)生來說，得到父母的肯定和教師的贊揚以及滿足升級、升學(xué)的要求等，則是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要動力。遵循滿足學(xué)生需要和興趣的原則，對那些不喜歡數(shù)學(xué)的孩子，教師應(yīng)該表示寬容和理解。但對孩子來說，一個能夠容忍他在數(shù)學(xué)課上看漫畫書、開小差的教師，就其一生來說，是他的幸還是不幸呢?若因教師的寬容和放任，兒童失去了更好的發(fā)展機會，等長大成人以后一事無成，他對這樣的教師是心存感激，還是心懷怨言呢?但是，反過來，如果教師對孩子實施強迫性的教育，致使他們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一種消極的不愉快的情緒，影響了他們學(xué)習(xí)的積極性，甚至懷疑他們自己的能力，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了畏懼心理，這又豈不是得不償失?
因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教育上，如何既能滿足學(xué)生的興趣需要，又能達(dá)成小學(xué)數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)是一件極為困難的事情。在這一問題上，前蘇聯(lián)教育家阿莫納什維利給我們提供了很好的成功案例和積極的思想觀念。他說：“如果一個兒童學(xué)習(xí)有困難，而我們確實想幫助他，那么，最主要的事——我們應(yīng)該從何人手，什么是我們應(yīng)該始終不渝地信守的原則——就是使他能感到，他像所有其他兒童一樣，也是有才能的，他也有自己的特殊的‘天賦’�！盵1]在這里，阿莫納什維利所謂的“應(yīng)該始終不渝地信守的原則”其實就是人性的原則。這個人性的原則超越了簡單地滿足學(xué)生的興趣需要或?qū)嵤⿵娖刃詳?shù)學(xué)教育的理念，既不以升級為目的，也不是簡單地滿足學(xué)生當(dāng)前的需要，而是以使學(xué)生獲得自信和對學(xué)習(xí)的興趣為目的。基于此，在處理學(xué)生興趣需要與數(shù)學(xué)教育的強迫性矛盾時，我們的初步認(rèn)識是既不能簡單地服從學(xué)生的興趣和需要，降低對他們的要求，也不能過分強迫學(xué)生，給學(xué)生施加升級和升學(xué)的壓力，而是要淡化要求，降低強迫性，創(chuàng)造一個合乎人性的學(xué)習(xí)環(huán)境，幫助學(xué)生取得進步，增強學(xué)生的自信心。
二、關(guān)于大眾數(shù)學(xué)教育與精英數(shù)學(xué)教育之間的矛盾沖突
20世紀(jì)80年代以來，國際數(shù)學(xué)教育界就存在著“大眾數(shù)學(xué)教育”與“精英數(shù)學(xué)教育”的矛盾沖突。所謂“大眾數(shù)學(xué)教育”是一種面向人人，希望使數(shù)學(xué)對大多數(shù)學(xué)生來說更有吸引力和力所能及的教育理念。在我國，主導(dǎo)的大眾數(shù)學(xué)教育思想認(rèn)為，“大眾數(shù)學(xué)意義下的數(shù)學(xué)教育體系所追求的教育目標(biāo)，就是讓每個人都能夠掌握有用的數(shù)學(xué)”。[2]其基本含義包括“人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)”“人人掌握數(shù)學(xué)”“不同的人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)”。[3]國家教育部2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》又將這一思想進一步闡發(fā)為：“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”“人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。所謂“精英數(shù)學(xué)教育”，就是指以培養(yǎng)數(shù)學(xué)精英人才為目的的數(shù)學(xué)教育，比如為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)輸送人才、培養(yǎng)以數(shù)學(xué)研究或應(yīng)用為職業(yè)的人等。
長期以來，我國的數(shù)學(xué)教育是一種典型的精英教育。人們批評這種教育是為了個別學(xué)生的發(fā)展，犧牲大多數(shù)學(xué)生的發(fā)展利益。數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容不是學(xué)生掌握不了，就是學(xué)了也沒用。這種教育的價值是為高一級的學(xué)校篩選有能力的人，體現(xiàn)的是“篩子”的功能。它不能使大多數(shù)人體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功喜悅，獲得學(xué)習(xí)的自信心。但是，現(xiàn)代社會的發(fā)展又需要精英，需要有專業(yè)知識和專業(yè)精神的人，全盤否定精英教育的價值也是不可取的。因此，大眾數(shù)學(xué)教育強調(diào)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，就有解決大眾數(shù)學(xué)教育和精英數(shù)學(xué)教育的矛盾沖突的意思，認(rèn)為大眾數(shù)學(xué)與精英教育并不對立�！扒∏∠喾�，大眾數(shù)學(xué)意義下的數(shù)學(xué)課程提供了更為廣泛的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支的原始生長點，它為對數(shù)學(xué)有特殊才能和愛好的學(xué)生提供了更多的發(fā)展機會”。[4]在美國，大眾數(shù)學(xué)教育和精英數(shù)學(xué)教育的矛盾具體化為“公平”和“優(yōu)秀”之間的矛盾�！霸S多專門的計劃都在探索著如何促進公平和優(yōu)秀。其中最好的計劃是對具有不同需要水平的學(xué)生提供不同水平的期望�！薄疤岣咂谕杀ＷC對一切人公平和優(yōu)秀�！盵5]這也就是所謂的“數(shù)學(xué)上普遍的高標(biāo)準(zhǔn)”，是一種要求人人能數(shù)學(xué)地思考的教育觀念。
一些數(shù)學(xué)家對大眾數(shù)學(xué)思想提出質(zhì)疑，[6]包括這種保證對一切人公平和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育的質(zhì)疑。他們的問題有：1.“這是否還是數(shù)學(xué)”。有數(shù)學(xué)家懷疑大眾數(shù)學(xué)由于過分強調(diào)問題的開放性和問題的“真實意義”，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)的本質(zhì)形成錯誤的認(rèn)識，認(rèn)為數(shù)學(xué)是無意義和毫無用處的，因而有人質(zhì)問“大眾數(shù)學(xué)是否就意味著沒有數(shù)學(xué)”了呢?2.“(大眾)數(shù)學(xué)：一或多?”數(shù)學(xué)界對大眾數(shù)學(xué)有不同的理解。經(jīng)典意義上的數(shù)學(xué)是希臘人開創(chuàng)的傳統(tǒng)，強調(diào)演繹和推理；古埃及和古巴比倫的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)是“經(jīng)驗的方法”；我國的傳統(tǒng)是“問題一算法”，強調(diào)實用、經(jīng)驗歸納等。因此，人們不禁要問“我們究竟需要什么樣的大眾數(shù)學(xué)”?3.“是否人人都需要數(shù)學(xué)?”“是否人人都需要高質(zhì)量的數(shù)學(xué)?”在數(shù)學(xué)家Noddings看來，“數(shù)學(xué)上普遍的高標(biāo)準(zhǔn)”不是一個正確的口號，他說：“我將幫助那些對數(shù)學(xué)有著強烈興趣的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家觀察世界的方式，但我并不要求所有的學(xué)生‘像數(shù)學(xué)家那樣地思維’，他們應(yīng)當(dāng)按照自己的目標(biāo)來學(xué)會如何應(yīng)用數(shù)學(xué)”“除基本的算術(shù)以外，任何現(xiàn)行的課目都不能被認(rèn)為是完全必要的”。
顯然，大眾數(shù)學(xué)教育和精英數(shù)學(xué)教育之間的矛盾并沒有那么容易解決。稍有一點專業(yè)知識的人都明白，一個人如果沒有精深的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)是不可能領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美，透徹領(lǐng)會數(shù)學(xué)內(nèi)蘊之深厚的。大眾數(shù)學(xué)教育所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)教育思想必須依托于數(shù)學(xué)學(xué)科的成熟發(fā)展。對個體來說，整體認(rèn)識數(shù)學(xué)全貌及其全過程，具備準(zhǔn)確到位的數(shù)感以及數(shù)的意識等，非得有專業(yè)訓(xùn)練不可。我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)新課程改革要求課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)強調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動、發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念以及應(yīng)用意識與推理能力等。還有當(dāng)前人們試圖通過數(shù)學(xué)教育來傳達(dá)的種種關(guān)于數(shù)學(xué)價值的闡釋，比如，“數(shù)學(xué)是一種文化”“數(shù)學(xué)是理解世界的工具”“數(shù)學(xué)是一種意識”“數(shù)學(xué)是一種思維方式”“數(shù)學(xué)是一種技術(shù)”等等，這一切對小學(xué)生來說是否是一種更高、更難達(dá)到的要求，是值得思考的。在數(shù)學(xué)教育問題上，有時要求越多，越不知如何去做，最后的結(jié)果就可能不盡如人意。有時抓住一點，扎扎實實，深入做下去，反而兼顧整體。這不失為解決數(shù)學(xué)的大眾教育與精英教育之間矛盾的一種思路。
三、關(guān)于數(shù)學(xué)專家的建議與學(xué)校數(shù)學(xué)教育目標(biāo)之間的差距
數(shù)學(xué)專家的期望能否直接進入學(xué)校教育領(lǐng)域，成為教育的目的呢?這一問題也值得討論。
1989年，美國促進科學(xué)協(xié)會出版了《普及科學(xué)——美國2061計劃》。計劃內(nèi)容涉及學(xué)習(xí)目標(biāo)問題。但是“參與2061計劃第一階段的數(shù)學(xué)家在本報告中提出的一些思想，將在計劃的第二階段由另一些人轉(zhuǎn)化成課程方案，這些人的職業(yè)工作使他們非常熟悉有關(guān)孩子們早期經(jīng)歷的各種解釋”。[7]由此可以看到，美國2061計劃的專家建議并不是直接進入教育領(lǐng)域，而是通過一系列的轉(zhuǎn)化工作。任何一門學(xué)科都有極其豐富的文化價值和教育價值，但是否有價值就要進入學(xué)校教育領(lǐng)域呢?從目前學(xué)校的狀況來說，這是不可能的。一門科學(xué)要想成為學(xué)校的一門學(xué)科，其內(nèi)容要想進入學(xué)校課程領(lǐng)域，必然經(jīng)過一個被選擇和篩選的過程。這個篩選過程在古典課程論專家拉爾夫·泰勒那里被理解為兩個環(huán)節(jié)：一是在選擇教育目標(biāo)時運用哲學(xué)。究其原因是由于達(dá)到教育目標(biāo)需要有一定的時間，學(xué)校的目標(biāo)應(yīng)該是少量的，而不應(yīng)該太多。如果試圖達(dá)到眾多目標(biāo)，而實際完成的卻極少，那么，這種教育計劃是無效的。同時有些目標(biāo)之間也存在一定的矛盾沖突，這樣容易引起學(xué)生的困惑，因此為了選擇少量非常重要而又互相一致的目標(biāo)，必須對已經(jīng)獲得的大量龐雜的目標(biāo)進行篩選。而“學(xué)校信奉的教育和社會的哲學(xué)可用作第一個篩子。人們可以根據(jù)學(xué)校的哲學(xué)陳述的或隱含的價值觀，對最初列出的教育目標(biāo)加以鑒別，確定那些具有高度價值的目標(biāo)�！盵8]二是在選擇教育目標(biāo)時運用學(xué)習(xí)心理學(xué)�！斑@道篩子是學(xué)習(xí)心理學(xué)說提示的選擇教育目標(biāo)的準(zhǔn)則。教育目標(biāo)即教育宗旨，是經(jīng)過學(xué)習(xí)而得到的結(jié)果。除非這些教育宗旨是與學(xué)習(xí)的內(nèi)部條件相一致的，否則它們作為教育目標(biāo)是沒有價值的�！盵9]泰勒的這兩個篩選教育目標(biāo)的原則是針對一般的課程編制而言，是極為有價值的，對小學(xué)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的確定也很有啟發(fā)。除此之外，筆者以為，確立小學(xué)數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)還必須考慮以下幾個方面。
首先，是促進學(xué)生發(fā)展的原則。在這點上，維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論給我們提供了很好的借鑒。維果茨基認(rèn)為，“只有跑到發(fā)展前面的教學(xué)才是好的教學(xué)”。[10]小學(xué)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)應(yīng)該設(shè)置在兒童的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。低于兒童現(xiàn)實發(fā)展水平的目標(biāo)要求是沒有意義的，而高于兒童明天的發(fā)展水平，任學(xué)生付出多么大的努力都不能達(dá)到的目標(biāo)同樣是沒有價值的。比如，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”問題、學(xué)生對數(shù)學(xué)與日常生活之間的聯(lián)系的體驗問題等，都是有層次之分的。數(shù)學(xué)專業(yè)人士所擁有的數(shù)感，以及他們所感受的數(shù)學(xué)對生活的重大意義不是所有的人都能理解和接受的。就連“數(shù)學(xué)是思維的體操”這樣一句很多人耳熟能詳?shù)拿�，恐怕也不是小學(xué)階段的孩子們能夠理解的了的。至于數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)技術(shù)等種種數(shù)學(xué)觀念，如何以合理的方式進入學(xué)校，以促進學(xué)生的最大發(fā)展，都是必須解決的問題。
其次，必須考慮師資條件。20世紀(jì)60年代，美國的“新數(shù)學(xué)”運動失敗了。其中一個重要的原因就是沒有充分考慮當(dāng)時的師資條件�！靶聰�(shù)學(xué)”之新是毫無疑問的，“新數(shù)學(xué)”的教育理念也是先進的、現(xiàn)代的，但它對教師的要求之高也是眾所周知的。盡管它也為教師提供了相應(yīng)的培訓(xùn)和輔助教學(xué)材料，但終因要花費大量的時間和金錢，而并沒有多少學(xué)校和教師真正采用和實施。因此，要求教師必須具備數(shù)學(xué)家的素養(yǎng)才能勝任的數(shù)學(xué)教育，有可能也會重蹈“新數(shù)學(xué)”運動的覆轍。
再有，經(jīng)濟條件也是一個重要制約因素。比如，吳文俊院士1995年在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》一文中說：“我今天講的這個東西是我多少年一直想講的。在好多年前，至少是1983年或者更早，我就想在中學(xué)里邊推行，可就是不敢，因為中學(xué)里邊是不能隨便講的，而且當(dāng)時條件不具備，你要用計算機，可在中學(xué)里邊根本不可能�！盵11]一種教育目的的達(dá)成如果需要大筆經(jīng)費的支撐，而這一大筆經(jīng)費又根本是個畫餅，是目前社會的經(jīng)濟發(fā)展水平不能提供的，這樣的教育目標(biāo)自然會因其不現(xiàn)實而不能達(dá)成。
四、關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教育目的的功利性與過程的非功利性之間的矛盾沖突
小學(xué)數(shù)學(xué)教育還須處理功利性目標(biāo)與非功利性過程之間的矛盾沖突。教育是一種實踐活動，就其追求來說，是現(xiàn)實的、功利的。人類任何科學(xué)領(lǐng)域的內(nèi)容要進入學(xué)校領(lǐng)域都是以其是否有價值來衡量的。然而一旦進入學(xué)校教育領(lǐng)域，人們要求的理想的學(xué)習(xí)方式又是非功利的。
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比如，美國學(xué)者要求人人都來關(guān)心數(shù)學(xué)教育時，強調(diào)的都是數(shù)學(xué)教育的功利價值，像這樣的陳述有“數(shù)學(xué)是打開機會大門的鑰匙”“它以直接的和基本的方式為商業(yè)、財政、健康和國防作出貢獻(xiàn)。它為學(xué)生打開職業(yè)的大門；它使國民能夠作出有充分依據(jù)的決定；它為國家提供技術(shù)經(jīng)濟競爭的學(xué)問。”“對所有學(xué)生進行優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)教育是興旺發(fā)達(dá)的經(jīng)濟所必需的”等等。[12]大多數(shù)數(shù)學(xué)專家則認(rèn)為引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)本身感興趣，比對數(shù)學(xué)的應(yīng)用感興趣更有價值。這是一種追求數(shù)學(xué)的內(nèi)在學(xué)習(xí)價值的觀念，是非常好的。但是，對不想從事與數(shù)學(xué)專業(yè)有密切關(guān)系的專業(yè)的人們來說，我們不能不理解他們的功利追求。我們不但不反對人們這樣問：學(xué)數(shù)學(xué)對我有什么用?有時反而還要順著這一問題思考：對不想做數(shù)學(xué)家，不想從事數(shù)學(xué)專業(yè)的人來說，學(xué)數(shù)學(xué)有什么用呢?比如，泰勒認(rèn)為“向?qū)W科專家提出的問題應(yīng)該是這樣的‘這門學(xué)科對外行或一般公民有什么貢獻(xiàn)?’學(xué)科專家倘若能夠回答這樣的問題，就能作出重大的貢獻(xiàn)，因為他們可能具有這個專業(yè)領(lǐng)域大量的知識，而且其中許多人可能已有機會看到這門學(xué)科對他們自己以及對與他們一起工作的人有什么用處”。[13]美國2061計劃第一階段數(shù)學(xué)專家的小組報告的第一句話就是“本報告回答一個問題：‘當(dāng)一個人到了18歲的時候，有哪些重要的數(shù)學(xué)思想是他應(yīng)該知道并且明白的’”[14]而這里所謂“重要的數(shù)學(xué)思想”，“并不是按照培養(yǎng)數(shù)學(xué)家或者即使是培養(yǎng)大學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)來設(shè)計的”。[15]
無論是泰勒還是參與2061計劃的數(shù)學(xué)專家都盡量避免從個別“數(shù)學(xué)天才”的角度來回答上述問題，而強調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，使數(shù)學(xué)教育目的具有鮮明的功利追求。但在我們看來，數(shù)學(xué)教育的組織如果僅以滿足大多數(shù)外行的要求為原則，則有可能會降低數(shù)學(xué)的科學(xué)性、使數(shù)學(xué)被大眾歪曲應(yīng)用，甚至對數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生難以消除的誤解。因為真正理想的數(shù)學(xué)教育過程是非功利性的，在這樣的過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)是被數(shù)學(xué)本身的魅力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的樂趣所引發(fā)，學(xué)生的狀態(tài)是積極主動的、自覺自愿的。只有非功利性的數(shù)學(xué)教育過程才能充分發(fā)揮學(xué)生的潛力，因為兒童都有一種與生俱來的以自我為中心的探索性動機，正如蘇霍姆林斯基所說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強烈。”[16]因此，在處理這一問題上，保持謹(jǐn)慎的態(tài)度不失為一種明智的選擇。我們體會，尊重數(shù)學(xué)家的建議，借鑒贊科夫的教學(xué)過程性原則，盡量挖掘數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在價值，將數(shù)學(xué)教育組織得豐富有趣，既能吸引學(xué)生，又能保證在學(xué)生力所能及的基礎(chǔ)上，接受具有一定難度的挑戰(zhàn)，可能有助于處理這一矛盾沖突。
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