分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的知識(shí)，在日常生活和生產(chǎn)建設(shè)中有著廣泛的應(yīng)用，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。如何改進(jìn)并加強(qiáng)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)，使它們能夠恰當(dāng)?shù)胤从硨?shí)際應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)目的性和實(shí)踐性，真正做到提高教學(xué)質(zhì)量，重要的是認(rèn)真貫徹教學(xué)大綱的要求。對(duì)此，根據(jù)《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》（以下簡(jiǎn)稱“新大綱”）的有關(guān)精神，談幾點(diǎn)個(gè)人認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)體會(huì)。

新大綱規(guī)定分?jǐn)?shù)四則應(yīng)用題，包括工程問題；百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用包括發(fā)芽率、合格率、利息等計(jì)算，最多不超過三步計(jì)算，而且只限于比較容易的。這就從內(nèi)容上和難度上作了具體的限制，有利于保證基本的知識(shí)和解題能力的落實(shí)，防止任意拔高要求，人為地編造出許多不切實(shí)際的難題，加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

新大綱對(duì)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)要求，大致提出了以下三個(gè)方面的要求。

一、會(huì)解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

會(huì)解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的要求，一般是指能夠理解應(yīng)用題的題意，掌握最基本的數(shù)量關(guān)系，正確判別計(jì)算的方法，會(huì)列式計(jì)算，并且善于檢驗(yàn)解答的合理性與準(zhǔn)確性。

由于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，跟整數(shù)應(yīng)用題相比，既有共性，又有它們的特殊性，要求學(xué)生既了解其共性，又能懂得它們的特殊性，使學(xué)生的認(rèn)知水平有所提高。對(duì)此，略舉數(shù)例如下。

1.分?jǐn)?shù)加、減法應(yīng)用題

分?jǐn)?shù)加、減法應(yīng)用題中的已知分?jǐn)?shù)有兩種情況：一種是表示具體的數(shù)量，另一種是表示兩個(gè)量的比。譬如：
①食堂第一天燒煤噸，第二天燒煤噸，兩天共燒煤多少噸？ 題中已知的分?jǐn)?shù)，都表示具體的數(shù)量，跟整數(shù)里求和應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系是一致的，要求學(xué)生知道這是求兩個(gè)相同單位的量的和。
②食堂有一批煤，第一天燒去這批煤的，第二天燒去這批煤的，兩天共燒去這批煤的幾分之幾？題中已知的分?jǐn)?shù)，都是兩個(gè)量的比，而不是具體的數(shù)量。數(shù)量關(guān)系雖然跟整數(shù)里求和應(yīng)用題是一致的，這是共性；但是，學(xué)生要理解題中的、以及求出的和，都是對(duì)這批煤而言的，不是具體的量。
③地球表面積的是海洋，剩下的是陸地，陸地占地球表面積的幾分之幾？這一題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)里求剩余數(shù)，用減法計(jì)算是一致的，這是共性，可是題中只給出一個(gè)已知條件是，另一個(gè)條件要學(xué)生自己想象整個(gè)地球表面積看作“１”，然后用１－＝，這就是與整數(shù)應(yīng)用題不同的特殊性。

2.分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題

分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題，既含有整數(shù)乘、除法應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，又具有新的數(shù)量關(guān)系，要求學(xué)生能夠辨析清楚。譬如：
①一輛汽車平均每分鐘行千米，３０分鐘行多少千米？這種題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)里求相同加數(shù)的和，或者說求的３０倍是一致的。

②１０個(gè)雞蛋重千克，平均每個(gè)雞蛋重多少千克？這種題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)除法題是一致的。

分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題，既含有整數(shù)乘、除法應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，又具有新的數(shù)量關(guān)系，通常分為三種情況，或者叫做分?jǐn)?shù)的三種基本應(yīng)用題：（１）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的除法應(yīng)用題。（２）求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的乘法應(yīng)用題。（３）已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的除法應(yīng)用題。（新大綱中沒有這些名稱，筆者為了便于分析，沿用了這些習(xí)慣名稱）上面三種情況中的幾分之幾，如果是百分?jǐn)?shù)，那末這三種情況就是百分?jǐn)?shù)的三種基本應(yīng)用題。這里，還得說明，新大綱只是要求教學(xué)分?jǐn)?shù)四則應(yīng)用題包括工程問題，以及百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，沒有具體規(guī)定教學(xué)哪些內(nèi)容的應(yīng)用題�？紤]到各種不同風(fēng)格的教材，可能會(huì)有所取舍，因而還是按現(xiàn)行通用教材的內(nèi)容，研究教學(xué)的要求，供選擇參考。

（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾的應(yīng)用題。

在實(shí)際生活中，經(jīng)常需要比較兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，當(dāng)它們的倍數(shù)等于１或大于１的時(shí)候，通常稱為“幾倍”；當(dāng)它們的倍數(shù)小于１的時(shí)候，通常稱為“幾分之幾”。在小學(xué)里，學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)應(yīng)用題的時(shí)候，只知道一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)幾倍。如：白兔１６只，黑兔４只，白兔只數(shù)是黑兔的１６÷４＝４（倍）。那時(shí)，學(xué)生只知道兩個(gè)數(shù)量相比較的一個(gè)側(cè)面，到了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)以后，黑兔的只數(shù)也可以與白兔去比較，即黑兔的只數(shù)是白兔的４÷１６＝。當(dāng)他們學(xué)習(xí)了百分?jǐn)?shù)以后，應(yīng)當(dāng)讓他們知道：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍或幾分之幾，就統(tǒng)一為一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾了。

這類問題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)里求兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)是一致的，要求學(xué)生掌握誰與誰相比較。如，甲是乙的幾分之幾，是用甲與乙相比較，那么乙是標(biāo)準(zhǔn)的量，甲是比較的量。并且知道用標(biāo)準(zhǔn)的量作除數(shù)。

可是，百分?jǐn)?shù)在實(shí)際應(yīng)用上，還有一些特殊性。求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，也叫做兩個(gè)數(shù)的百分比或百分率。例如，產(chǎn)品合格率，種子發(fā)芽率，工人出勤率，存款的利息率，向國(guó)家交稅的納稅率等。要使學(xué)生知道所求的這些“率”，都是用百分?jǐn)?shù)表示的，所以，在這些百分率的公式里，添上乘以１００％，表示求得的結(jié)果必須用百分?jǐn)?shù)表示。如，
小麥出粉率＝×１００％

在百分?jǐn)?shù)里，經(jīng)常會(huì)遇到除不盡的情況，應(yīng)該讓學(xué)生知道，除了指定精確度的以外，一般除到小數(shù)第四位，即萬分位，然后四舍五入取三位小數(shù)，化成百分?jǐn)?shù)后，百分號(hào)前面的數(shù)保留一位小數(shù)。并且知道百分號(hào)前面通常寫成小數(shù)形式，不用帶分?jǐn)?shù)的形式，如通常寫成３３.３％。

（2）求一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少的乘法應(yīng)用題。

新大綱在整數(shù)應(yīng)用題里，增加了求一個(gè)數(shù)的幾分之一或幾分之幾是多少的內(nèi)容，那時(shí)是用整數(shù)乘、除法計(jì)算的。例如，有學(xué)生６００人，其中十分之九（或）是少先隊(duì)員，求少先隊(duì)員有多少人。這就是把６００人分成１０等份，求出的是的人數(shù)，再乘以９，就是的人數(shù)，列式為：６００÷１０×９＝５４０（人）。學(xué)生有了這個(gè)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題，思考方法一致，只是把整數(shù)乘除的方法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法。即

６００÷１０×９＝５４０（人）用分?jǐn)?shù)表示
×９＝６００×＝５４０（人）

這里，要求學(xué)生比較熟練地掌握求一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾是多少，用乘法計(jì)算的結(jié)論。

（3）已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的除法應(yīng)用題。

這是分?jǐn)?shù)乘法的逆向題，也是學(xué)生容易與分?jǐn)?shù)乘法相混淆的問題，新大綱規(guī)定在分?jǐn)?shù)

四則計(jì)算的前面要學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程，到這里用列方程解答，可避免乘、除法混淆。因此，要求學(xué)生運(yùn)用求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算的思考方法去解題。例如，一根鋼管的是４８厘米，這根鋼管長(zhǎng)多少厘米？學(xué)生應(yīng)思考：（鋼管的長(zhǎng)）×＝４８（厘米），設(shè)鋼管長(zhǎng)x米，即x×＝４８或者x＝４８，x＝１９２。

有些題目，既可以用上述方法解答，也可以根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行思考。如，一個(gè)工程隊(duì)小時(shí)開鑿山洞米，求１小時(shí)開鑿山洞多少米。用上述方法解答，設(shè)１小時(shí)開鑿山洞x米，列方程為：x×＝或x＝，解得x＝。也可以根據(jù)：

工作總量÷工作時(shí)間＝單位時(shí)間的工作量
所以，列式為：÷＝（米）

以上是分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中最基礎(chǔ)的內(nèi)容，應(yīng)該讓學(xué)生理解并掌握。

二、能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決生活中一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題

新大綱中這個(gè)要求是小學(xué)階段最后一個(gè)學(xué)期的要求，在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題里也應(yīng)該貫徹這個(gè)精神。根據(jù)最多不超過三步計(jì)算的限制，再按照實(shí)際生活中常見的分?jǐn)?shù)問題、百分?jǐn)?shù)問題，大致要求學(xué)生掌握以下幾方面的實(shí)際問題。

1.求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)增加或減少百分之幾的問題。

這類問題在生活和生產(chǎn)上經(jīng)常要用到，例如，實(shí)際產(chǎn)量比計(jì)劃生產(chǎn)量增產(chǎn)百分之幾，或者本月用電比上月節(jié)約百分之幾等等。要求學(xué)生根據(jù)求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的思考方法，先要求出增產(chǎn)（或節(jié)約）的數(shù)量，然后把它與計(jì)劃生產(chǎn)的數(shù)量（或原來用電度數(shù)）相比。列式為：

（實(shí)際產(chǎn)量－計(jì)劃產(chǎn)量）÷計(jì)劃產(chǎn)量

或也可以先求出實(shí)際產(chǎn)量相當(dāng)于計(jì)劃產(chǎn)量的百分之幾，再求增產(chǎn)百之幾，列式為：

實(shí)際產(chǎn)量÷計(jì)劃產(chǎn)量－１００％＝增產(chǎn)的百分之幾

這類問題有一個(gè)重要的概念，必須讓學(xué)生掌握。學(xué)生在整數(shù)里已知５比３多２，３比５就必定少２。但是在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)里５比３多 ＝66.7％，反過來３卻并不比５少66.7％，而是少 ＝40％，因?yàn)樗鼈兿啾容^的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量不同，所以，兩個(gè)百分?jǐn)?shù)是不等的。

２．求一個(gè)數(shù)增加（減少）它的幾（百）分之幾是多少的應(yīng)用題以及這類問題的逆向問題。

例如，原有少先隊(duì)員４００人，現(xiàn)在增加１２％，現(xiàn)在有隊(duì)員多少人？這是求４００增加它的１２％以后是多少。要求學(xué)生能夠用兩種方法解答：

４００＋４００×１２％＝４００＋４８＝４４８（人）；

４００×（１＋１２％）＝４４８（人）。

這個(gè)應(yīng)用題的逆向題是：現(xiàn)在有少先隊(duì)員４４８，比原來增加了１２％，原來有少先隊(duì)員多少人？這是已知一個(gè)數(shù)增加了它的１２％以后是４４８，要求這個(gè)數(shù)。應(yīng)該使學(xué)生理解為原來的人數(shù)加上增加了它的１２％的人數(shù)等于現(xiàn)在的人數(shù)。 設(shè)原來為x人， 那么

x＋12％x＝448， 1.12x＝448， x＝400。

３．工程問題。

這是有關(guān)工作總量、單位時(shí)間的工作量（通常叫做工作效率）和工作時(shí)間的問題。這三者之間的關(guān)系是：
工作時(shí)間＝工作總量÷單位時(shí)間的工作量

例如，“一項(xiàng)工程，由甲隊(duì)修建需２０天完成，由乙隊(duì)修建需３０天完成，兩隊(duì)合修需要多少天完成？”
要求學(xué)生知道把整個(gè)工程看作“１”，還要知道甲隊(duì)每天可完成這項(xiàng)工程的，乙隊(duì)每天可完成這項(xiàng)工程的，兩隊(duì)合修一天可以完成這項(xiàng)工程的（＋），這是兩隊(duì)合修的工作效率，然后用工作總量除以工作效率，列式為：

１÷（＋）＝１２（天）

工程問題的變化很多，可以一個(gè)人獨(dú)做，也可以是幾個(gè)人合做的；可以是幾個(gè)人同時(shí)開始做的，也可以是有先有后做的；工作的進(jìn)程可以是向前的，也可以是倒退的（如水管注水與放水）等等。但是，必須根據(jù)新大綱最多不超過三步計(jì)算的限制，在這個(gè)限度內(nèi)適當(dāng)有些變化。

三、能夠有條理地說明解題思路

有條理地說明解題思路是要求培養(yǎng)學(xué)生有條有理、有根有據(jù)地說清楚自己是怎么思考的，決不是背誦一個(gè)模式，或者是思路說不清楚，顛三倒四，要讓學(xué)生能夠用自己的話表達(dá)清楚。這是培養(yǎng)邏輯思維能力的一個(gè)重要方面。

例如，發(fā)電廠有煤２５００噸，用去，還剩多少噸？學(xué)生獨(dú)自解答，可能出現(xiàn)以下兩種解法：

①２５００－２５００× ； ②２５００×（１－）

這時(shí)，讓學(xué)生說明解題思路，第一種解法必然要說先求用去多少噸，再求剩下多少噸。第二種解法必然要說先求剩下的占總噸數(shù)的幾分之幾，再求這個(gè)幾分之幾是多少噸。上述第一種解法接近學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因?yàn)樵谡麛?shù)應(yīng)用題已知從總噸數(shù)中減去用掉的，就是剩下的。第二種解法是從問題出發(fā)分析出來的，是一種新的思路，而這種思路在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中常常用到，教師不僅贊賞，還應(yīng)該讓更多的學(xué)生學(xué)會(huì)這種思考方法。

此外，與解題思路有關(guān)的是文字題的數(shù)量關(guān)系，現(xiàn)舉例說明如下：

①甲數(shù)是，乙數(shù)比甲數(shù)大 ，求乙數(shù)。

這里的是甲、乙兩數(shù)相差的數(shù)值，所以，列式為：

②甲數(shù)是，乙數(shù)比甲數(shù)大它的，求乙數(shù)。

這里的是指甲數(shù)的一半，所以，列式為：

或者

×(1+)=

③比噸多，是多少噸？

這里的帶有單位名稱是具體的量，沒有單位名稱，它表示兩個(gè)數(shù)的比，所以，列式為：

×（1+）=（噸）

④比噸多噸是多少噸？

列式為：+=（噸）

⑤甲數(shù)是２００，乙數(shù)比甲數(shù)大２０％，求乙數(shù)。

因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)的比，所以，列式為：

２００×（１＋２０％）＝２４０