“創(chuàng)造”的教與學(xué)——《能被9整除數(shù)的特征》教學(xué)案例

   義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。       學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生。   一、“創(chuàng)造”的教       數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。       教材中對(duì)于“能被3整除數(shù)的特征”的歸納是通過找余數(shù)與這個(gè)數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之間的關(guān)系來進(jìn)行總結(jié)的，而任意一個(gè)自然數(shù)除以3只有余數(shù)0、1、2這三種情況。在教學(xué)過程中，學(xué)生很難通過余數(shù)發(fā)現(xiàn)與自然數(shù)的數(shù)位上數(shù)字的關(guān)系。因此，教師想到了如果先研究“能被9整除數(shù)的特征”的特征呢？任意一個(gè)自然數(shù)除以9有余數(shù)0、1、2、……6、7、8九種情況，與所研究的自然數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字更容易建立關(guān)系，有利于學(xué)生的觀察與理解。      雖然“能被9整除的數(shù)的特征”是教材中沒有涉及的部分，但是卻能很好的幫助學(xué)生通過借助能被9整除數(shù)的特征，以及3和9之間的關(guān)系，去理解能被3整除數(shù)的特征。分散了知識(shí)點(diǎn)的難度，同時(shí)也滲透了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。       二、“創(chuàng)造”的學(xué)     《新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)是一個(gè)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程”。這一理念不僅告訴我們創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力緊密想隨，而且要使學(xué)生的探索經(jīng)歷和獲取新發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑。   1．  設(shè)“井”激趣 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式不能再是單一的、枯燥的，以被動(dòng)聽講和練習(xí)為主的方式，它應(yīng)該是一個(gè)充滿生命力的過程。 【片斷一】 出示：87602860、51001758、65064345、85992639 師：老師這里有幾位同學(xué)家的電話號(hào)碼。 問：每個(gè)電話號(hào)碼都是一個(gè)八位數(shù)，這四個(gè)數(shù)中哪些能被2整除？你怎么判斷的？哪些能被5整除？判斷的依據(jù)是什么？  生答：87602860、51001758能被2整除，個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除；87602860、65064345這兩個(gè)數(shù)能被5整除，個(gè)位上是0或5的數(shù)能被5整除。 問：哪些數(shù)能被9整除呢？你有什么辦法嗎？ 生：① 看個(gè)位，認(rèn)為85992639能被9整除。 ②   算，可以口算、筆算，大數(shù)目可以用計(jì)算器幫助。 ③ 各數(shù)位上的數(shù)字和能否被9整除     師：同學(xué)們說了這么多種發(fā)法，那就用你們想到的方法來找找看哪些數(shù)能被9整除。     生：對(duì)這四個(gè)數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，得出51001758能被9整除。     交流想法：能被9整除的數(shù)看個(gè)位是不成立的，85992639不能被9整除；如果身邊沒有計(jì)算工具，算起來很不方便；如果各數(shù)位上的數(shù)字和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。這個(gè)方法比較好，很快捷。 生質(zhì)疑：看“各數(shù)位上的數(shù)字和能否被9整除”這個(gè)方法對(duì)于每個(gè)數(shù)都成立成立嗎？為什么成立呢？         在課上，同學(xué)們受“能被2或5整除數(shù)的特征”經(jīng)驗(yàn)的影響，在驗(yàn)證、討論的過程中，許多不正確的結(jié)論被一一否定，而只留下把“各數(shù)位上的數(shù)字相加求和，看和與9的關(guān)系”的方法。這個(gè)方法學(xué)生們找不到反例，但又迫切的想了解為什么？這樣不僅抑制了前面所學(xué)知識(shí)的負(fù)遷移，同時(shí)又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。       當(dāng)學(xué)生意識(shí)到了“各數(shù)位上的數(shù)字相加求和，看和與9的關(guān)系”這個(gè)方法時(shí)，發(fā)現(xiàn)、解決問題的過程就有了目標(biāo)，為最終問題的解決提供一個(gè)可能的方向。創(chuàng)設(shè)問題情境，把靜態(tài)的知識(shí)結(jié)論轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的探索對(duì)象，使學(xué)生在經(jīng)歷類似于數(shù)學(xué)家的探索創(chuàng)造過程中，激發(fā)探索意識(shí)，養(yǎng)成探索習(xí)慣，提高再創(chuàng)造的能力。   2．  追根溯源     “學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是有學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律聯(lián)系。” 讓學(xué)生自己去體驗(yàn)，用自己的思維方式去探究，這就是一個(gè)再創(chuàng)造的過程。如果離開了學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生的發(fā)展就會(huì)落空。        判斷一個(gè)數(shù)能否被9整除，不能只從一個(gè)數(shù)的某一位上的數(shù)來判斷，必須把這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加求和，如果和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。這一結(jié)論與能被2、5整除的數(shù)的特征相比而言不容易被發(fā)現(xiàn)，不容易理解。因此，就把重點(diǎn)放在了“說理”上，不僅要使學(xué)生知其然，還要使他們知其所以然。       在分析推理能被9整除的數(shù)的特征的過程中，充分重視學(xué)生的年齡、心理特點(diǎn)，利用他們已有的知識(shí)基礎(chǔ)，分層次逐步進(jìn)行研究。 【片斷二】 ⑴先引領(lǐng)學(xué)生集體先對(duì)整十?dāng)?shù)和整百數(shù)進(jìn)行分析，找出整十?dāng)?shù)與9、整百數(shù)與99的關(guān)系，作為認(rèn)識(shí)任意自然數(shù)能否被9整除數(shù)的特征的基礎(chǔ)和突破口； 問：10能被9整除嗎？你怎么知道的？20、30呢？ 答：10÷9＝1…1，所以10不能被9整除，可以把10寫成10=9×1+1。 20÷9＝2…2，所以20不能被9整除，可以把20寫成20=9×2+2。 30÷9＝3…3，所以30不能被9整除，可以把30寫成30=9×3+3。 生發(fā)現(xiàn)：①整十?dāng)?shù)都可以寫成9乘幾加幾的形式。             ②余數(shù)正好是整十?dāng)?shù)十位上的數(shù)。 問：那判斷整十?dāng)?shù)能否被9整除有更簡(jiǎn)單的方法嗎？ 答：直接看整十?dāng)?shù)十位上的數(shù)字。 過渡：整十?dāng)?shù)能否被9整除的我們會(huì)了，那整百數(shù)呢？ 問：100能被9整除嗎？2000呢? 你又發(fā)現(xiàn)了什么？ 答：100不能被9整除，因?yàn)?00÷9＝11…1，所以100去掉1個(gè)99還余1。100可以寫成99×1+1。 200不能被9整除，因?yàn)?00÷9＝22…2，所以200去掉2個(gè)99還余2。200可以寫成99×2+2。 發(fā)現(xiàn)：余數(shù)與整百數(shù)百位上的數(shù)字相同。 問：要很快的判斷出整百數(shù)能被否被9整除看什么？ 生：看整百數(shù)的百位就可以了。   ⑵再小組合作把幾百幾十的數(shù)變成幾個(gè)百、幾個(gè)十的組合形式，與9和99建立聯(lián)系，分散難點(diǎn)，初步歸納能被9整除數(shù)的特征； 問：100能被9整除嗎？80能被9整除嗎？180呢？你能用前面的知識(shí)，小組合作研究為什么嗎？ 小組探究：因?yàn)椋?80    100＝99×1  +  1                                       80＝ 9×8  +  8                                         能被9整除  1+8＝9 能被9整除           所以，180能被9整除。     發(fā)現(xiàn)：余數(shù)和與這個(gè)數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字和是相同的，所以可以看這個(gè)數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字和。   ⑶最后當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種暗含的關(guān)系后，他們可以把任意一個(gè)自然數(shù)變成由幾個(gè)百、幾個(gè)十、幾個(gè)一的組合形式，與9和99建立聯(lián)系，重視學(xué)生從具體到抽象，從一般中概括推力出結(jié)論的能力的培養(yǎng)。 問：這有一個(gè)三位數(shù)216，你能馬上判斷出它能被9整除嗎？怎么判斷的？ 答：能。2+1+6=9能被9整除，216能被9整除。 通過觀察拆分之后的余數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)和與所給數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字和相同，所以可以直接看所給數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和能否被9整除。在這節(jié)課結(jié)束的時(shí)候，學(xué)生根據(jù)自己的理解、用自己的語(yǔ)言歸納出了“能被9整除的數(shù)的特征”。         課上學(xué)生有了充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，在自主探索、親身實(shí)踐、合作交流的氛圍中，解除困惑，更清楚的明確自己的思想，并有機(jī)會(huì)分享自己和他人的想法，在親身體驗(yàn)和探索中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，解決問題，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法。在合作交流、與人分享和獨(dú)立思考的氛圍中，傾聽、質(zhì)疑、說明、推廣而直至感到豁然開朗。