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新皮亞杰主義在小學數(shù)學教學中的實際應用
新皮亞杰主義是對皮亞杰主義的修正和發(fā)展。它吸收了現(xiàn)代認知心理學的研究成果，詳細描述了兒童智慧 的發(fā)展歷程，特別是兒童在特定領域內的問題解決過程。這種發(fā)展理論對兒童心理的研究，使我們對不同發(fā)展 階段兒童心理水平有了更為深刻的了解，為教學方法的改革提供了理論依據(jù)。
一、心理發(fā)展水平與兒童解決數(shù)學問題策略的關系
新皮亞杰主義認為：不同心理發(fā)展水平的兒童對客觀事物及其特征知覺和注意的方式不同。年幼的兒童傾 向于注意事物較為具體的方面，并且在同一時刻內只能關注一個方面內有關該事物的情況。相比之下，年齡稍 大的兒童由于心理水平有所發(fā)展，逐漸過渡到能在同一時刻內思考事物某方面內不同特征的關系或者不同方面 間眾多特征相互作用的機制，因而能從整體的角度思考問題。由于這種差異，在向不同發(fā)展水平的兒童提出同 一問題時，他們解決該問題的方法也有很大差別。心理學家通過一種任務分析的方法，首先確定解決某一問題 所有可能的方法以及采用某種方法所必須具備的心理發(fā)展水平，然后觀察兒童在解決該問題上所表現(xiàn)出來的行 為，從而確定不同發(fā)展水平的兒童分別是采取什么樣的策略來解決問題的。其中一個著名的例子是平衡臂問題 （如下圖）。
（附圖 {圖}）
將平衡臂的兩臂固定，并在兩側一定的位置上放置一定的重量，然后出示給兒童，并提出如下問題：如果 松開兩臂，將會看到什么現(xiàn)象？是平衡、右邊下落還是左邊下落呢？在該問題中，有兩個不同但互相關聯(lián)的維 度；放置在每臂上的重量和該重量距離支點的長度。有三個獨立的結果：左邊下落、右邊下落、平衡。將兩個 維度的各種情況加以組合，共可以提出六種可能的平衡臂問題（見下表）�？梢钥闯�，隨著問題類型的復雜性 不斷增加，正確解答平衡臂問題所需注意到的變量數(shù)目也逐漸增加。正確解答前兩個問題只需注意兩臂的重量 多少即可，但若想正確解答長度問題，僅僅關注重量問題是不夠的，必須能把重量距離支點的長度考慮在內。 對于含有沖突的問題，即某側重量較多但距離支點的長度短，另一側重量較少但有較長長度的問題，正確解答 時必須能同時考慮到左側的重量、左側重量距離支點的長度，右側重量、右側重量距離支點的長度這樣４個變 量。通過這樣的任務分析，心理學家確定兒童在解決平衡臂問題上可能會采取的四種策略。每種策略以規(guī)則的 形式表述如下：
（附圖 {圖}）
規(guī)則１ 如果兩側重量相等，則回答“平衡”；否則，選擇“有較多重量的一側下落”。
規(guī)則２ 如果兩側重量相等，選擇“具有較長距離的一側下落”；否則同規(guī)則１。
規(guī)則３ 如果一側有較多重量，但另一側重量距離支點的長度較長，對結果進行猜測；否則同規(guī)則２。
規(guī)則４ 如果一側有較多重量，另一側重量距離支點的長度較長，使用計算力矩的方法來解答；否則同規(guī) 則３。
研究表明，４～５歲的兒童使用規(guī)則１來解答問題。出示問題時，他們認為具有較多重量的一側將下落； 如果兩側重量相等，則平衡臂處于平衡狀態(tài)。這種策略只適合于解決重量被放置在支點兩側同樣距離的問題， 即六類問題中的前兩類。８～１０歲的兒童能夠使用規(guī)則２。他們預測具有較多重量的一側將下落，但如果兩 側重量相等，則重量距支點較遠的一側將下落。這種策略可解決長度問題。１３歲的兒童能使用規(guī)則３，當所 給問題中出現(xiàn)沖突現(xiàn)象時，如果一側有較多重量，而另一側重量較少但距支點較遠，兒童會猜測哪邊將下落。 對于規(guī)則４來說，它已涉及到有關平衡問題中的力矩計算的方法，因此，青春期甚至成年人也需要若干訓練才 能自覺地使用規(guī)則４來解答平衡臂問題�？梢钥闯觯S著心理發(fā)展水平的提高，兒童所能關注的變量也逐漸增 加，相應地，他們正確解答復雜問題的能力也有明顯提高。
二、影響兒童問題解決策略的因素
什么因素導致不同發(fā)展水平的兒童在問題解決上的差異呢？新皮亞杰主義認為，這種變化主要是由于兒童 工作記憶容量的限制。工作記憶是認知心理學中的術語，是人們對外界的信息或從長時記憶中提取的信息作短 時間的貯存并對其進行某種加工的場所。工作記憶的容量是非常有限的，大約只有５～９個單位
。如果工作記 憶中貯存的信息過多，就將導致對信息的加工無法進行；反過來，在對工作記憶中的信息進行加工時，相應的 貯存信息量也就減少了。正是工作記憶有限的容量限制了在特定發(fā)展水平上兒童所能使用的問題解決策略的復 雜程度。同是工作記憶容量有限，為什么年齡較大的兒童可以掌握更為復雜的解題規(guī)則呢？這里涉及到影響兒 童問題解決策略的另一個因素：基本操作或者說基本運算能力的熟練程度。年幼的兒童，基本的運算能力尚未 達到熟練程度。如在平衡臂問題中，計算兩側各自的重量數(shù)、確定每側重量距離支點的單位數(shù)、對重量或長度 進行比較等等基本運算對年幼的兒童來講是比較困難的任務，而對較年長的兒童（學齡中期或后期）來說，這 些基本的運算已經達到熟練甚至自動化的程度，不必占用他們過多的心理能量。因此，只有當兒童對基本操作 熟悉甚至達到自動化程度之后，才有可能在解決問題時使用較為復雜的策略。這種自動化使得兒童能把許多的 基本操作組合成一個組塊，從而節(jié)省工作記憶空間，以便能夠應用復雜的策略對信息進行加工。否則，即使是 非常簡單的問題（如平衡或重量問題），也會使兒童付出很多的心理能量，占用較多的工作記憶空間。
三、減輕記憶負擔，實現(xiàn)有效教學的兩種方法
從前面的分析我們知道，成功解決復雜問題的前提是不能超出工作記憶的容量。心理學家提出，有兩種教 學方法可以解決上面這個矛盾：（１）在解決復雜問題之前，對解決問題所需要的基本技能進行充分練習，達 到熟練甚至自動化的程度；（２）在解決復雜問題時，對問題所需基本運算是否正確不作嚴格要求，而只要求 能夠掌握解決問題的方法。例如，如果要求兒童解決下面的應用題：“一個車間要裝配６９０臺電視機，已經 裝了８天，每天裝４５臺，其余的要６天裝完，平均每天還要裝幾臺？”學生需要分析應用題中數(shù)量關系，已 知條件及所問問題，以確定正確的解題步驟；另一方面，學生還必須能對列出的算式進行正確的加、減、乘、 除等運算，從而得到正確的答案。如果此時兒童對這些基本運算尚未達到自動化的程度，則在解決該應用題時 ，很可能會由于集中較多的注意力去計算這樣一個算式，而沒有足夠的記憶空間充分理解問題本身的數(shù)量關系 及解答步驟。這里，我們可以采取前面提到的兩種方法，即先訓練兒童基本的計算技能，在解決該類應用題之 前就要求兒童能夠熟練地掌握基本運算；或者允許兒童借助計算器或其他計算工具來解決應用題中所列出的算 式；甚至干脆對算式運算是否正確不作嚴格要求，只要求學生說出解題思路。在這兩種方法中，先使基本技能 自動化的教學方法的缺點是：單純要求學生進行大量的基本運算可能會導致學生喪失學習興趣。而放松對基本 技能的要求的教學方法主要是基于減輕學生同一時刻內所需處理的信息量，使其能集中精力理解題意，掌握問 題解決方法。這有助于提高兒童的學習興趣。但這種方法會使兒童長期無法達到基本運算技能的熟練。不過， 兩種教學方法都是為了能減輕學生記憶負擔，使他們掌握解決復雜問題的策略成為可能。因此，在實際的教育 教學中，教師可以盡可能地減少影響兒童記憶負擔的因素，如簡化應用題中數(shù)值計算難度；選取兒童熟悉的題 材來陳述問題：通過圖示的方法使復雜問題具體化；將繁難的問題分成若干簡單問題等。這樣兒童能有更多的 記憶空間用于思考問題解決中的關鍵因素，掌握更為復雜、有效的解題策略。我們通過下面的例子來說明如何 將該理論的研究成果直接應用于實際的教學設計之中，最大限度簡化問題因素，使兒童掌握對其心理發(fā)展水平 而言比較困難的問題。
要求兒童觀看等式４＋囗＝７，并填上所缺的數(shù)，這一問題是小學一年級課程中的一部分內容。該類問題 被稱作缺加數(shù)問題。盡管表面上看起來比較簡單，但對一年級的兒童來說，由于他們對數(shù)字符號及運算符號都 比較生疏，對所問的問題也不太清楚，當出示這一問題時，他們給出的答案常常是１１。這說明兒童主要注意 到了數(shù)字４、加號“＋”和數(shù)字７，并錯誤地應用了有關加法的知識來思考這一問題。一般來說，成人很容易 就能明白該問題中隱含的“部分——整體”的關系原則，并依次通過以下幾步來解答這一問題：
（１）從左向右辨認符號；
（２）注意到所要求的數(shù)是兩個加數(shù)中的一個；
（３）決定必須從“和”中（也是已知的）減去已知的加數(shù)；
（４）注意“和”的數(shù)值，并暫時記在腦中；
（
５）注意已知的加數(shù)值，并暫時記在腦中；
（６）“和”中減去已知的加數(shù)。
在這一系列解題步驟中，對兒童來說最難的是第三步，因為他們的知覺特點，很難在心理上把加法運算轉 換成減法運算，不能充分地理解其中加數(shù)與“和”之間的“部分——整體”關系。但這并不等于說兒童不能理 解問題中的“部分——整體”關系，而只是因為陌生的符號和數(shù)字超出了兒童的工作記憶容量，他們沒有更多 的心理能量來理解這種關系。解決這一矛盾的辦法是創(chuàng)設一種兒童熟悉的問題情景，其中所涉及到的數(shù)學材料 是兒童熟悉的，而且這些數(shù)學材料是經過精心安排的。運用這些兒童所熟悉的材料可以教會兒童掌握缺加數(shù)問 題中的“部分——整體”關系原則。其所用材料及具體步驟如下：
首先，學生在熟悉的情景中學習等號的意義（見１、２）。
１．這些臉看起來相同嗎？符號“＝”表示相同。
（附圖 {圖}）
２．你能使右邊這個臉和左邊那個臉相同嗎？
（附圖 {圖}）
其次，學生在熟悉的情景中學習加號的意義（見３、４）。
３．符號“＋”表示把兩個半臉合在一起。左邊兩個半臉合在一起時和右邊這張臉相同嗎？
（附圖 {圖}）
４．記住“＋”表示兩個半臉合在一起。現(xiàn)在你能使右邊這張臉和左邊兩個半臉合在一起的臉恰好相同嗎 ？
（附圖 {圖}）
第三，學生在熟悉的情景中學習缺加數(shù)的意義（見５、６）。
５．記住“＝”表示兩邊相同。畫上一些圖形，使這邊和那邊恰好相同。
（附圖 {圖}）
６．記住“＋”表示兩個合在一起。現(xiàn)在你能使這一邊和那一邊恰好相同嗎？
（附圖 {圖}）
第四，學生學習應用這種方法解答缺加數(shù)問題（見７、８）。
７．在空白方框中畫上小圓點，使等式成立。
（附圖 {圖}）
８．在空白方框中填入所缺數(shù)字，使等式成立。
（附圖 {圖}）
縱觀這一系列教學步驟，可以看出問題解決所需的變量數(shù)逐漸增加，每一步驟中引入了一種復雜因素。此 外在具體教學過程中還要進行指導，并設立各種各樣的練習項目來鞏固兒童在每一階段所獲得的理解。這種精 心設計的教學步驟能幫助兒童在熟悉的條件下理解某一原則，然后遷移到抽象或陌生的領域及問題中去。采取 這種方法，即使兒童的發(fā)展水平嚴重地限制了其工作記憶容量，也可以保證兒童學會某一數(shù)學問題。
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