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文化視野中的 小學(xué)數(shù)學(xué)教育實踐與思索
江蘇省啟東市教育局教研室 蔡宏圣
文化，是一個使用十分普遍而又沒有公認(rèn)定義的概念。我們在此把“文化”界定為人類一切物質(zhì)和精神的歷史沉淀，其中的核心是觀念、信仰、價值和思維方式等隱性的成份。以此為視角，我們可以發(fā)現(xiàn)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗稿）構(gòu)建的新課程充滿著清新?lián)涿娴奈幕瘹庀�。例如�?biāo)準(zhǔn)在“課程的總體目標(biāo)”部分提出，要引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價值；經(jīng)歷多樣的數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、統(tǒng)計觀念；能運用所學(xué)知識解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識；獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗，建立自信心；形成獨立思考的習(xí)慣、實事求是的態(tài)度，等等。如此種種無不洋溢著文化的魅力。既然我們在新課程的設(shè)計中形成了這樣的基本理念，“數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分”①，那么在課程實施的層面上對數(shù)學(xué)教育作文化學(xué)的實踐與思索，以增加數(shù)學(xué)教育的文化內(nèi)涵，提升數(shù)學(xué)教育的價值，無疑也是必要的。
實踐
我們首先在“認(rèn)識乘法”的教學(xué)中進(jìn)行了探索。之所以選取這個知識點進(jìn)行實踐，是因為在我們所能看到的“認(rèn)識乘法”的教學(xué)設(shè)計中，教者都在一定的教學(xué)鋪墊后，無一例外地直接告訴學(xué)生“相同加數(shù)的加法還可以用乘法計算”，整個過程毫無文化性可言，與《基礎(chǔ)教育改革綱要》中提出的，知識教育的過程同時“成為學(xué)會學(xué)習(xí)和形成正確價值觀的過程”的理念格格不入。為此，我們作了如下的探索：
1．課前談話
師：上課前，我們來做個游戲。老師給你一個普通的圓，你能產(chǎn)
生哪些新想法？
學(xué)生發(fā)揮想象，交流想到的各種物體或想法。教師適時地引導(dǎo)學(xué)生思考：用什么詞或符號表示大家還有很多想法。
生：用“等等”表示。
生：用點點點（……）表示。
生：直接說“還有許多”。
師：由一個普通的圓產(chǎn)生這么多全新的想法，大家真會創(chuàng)造。老
師估計小朋友們也會自己創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識。從哪里開始創(chuàng)造呢？
隨之出示課題“由相同加數(shù)的加法想到……”。
2．交流對“相同加數(shù)的加法”的理解。
由于學(xué)生們對“相同”、“加數(shù)”、“加法”這幾個概念已有清晰的認(rèn)識，因此，我們估計學(xué)生能通過自己的思考建構(gòu)起對“相同加數(shù)的加法”的理解。事實也如此，學(xué)生們自己舉出了“相同加數(shù)的加法”的算式。當(dāng)屏幕上出現(xiàn)了相當(dāng)多的算式時，再次引導(dǎo)學(xué)生用符號或詞語表示“我們小朋友還發(fā)現(xiàn)了許多相同加數(shù)的加法算式”。為促使學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)中比較順利地提升自己的認(rèn)識，在學(xué)生舉出“相同加數(shù)的加法”的算式后，還要求學(xué)生用“（）個（）相加得（）”的句式說說他舉出的算式。并有目的地提問，引起學(xué)生對“相同加數(shù)的個數(shù)”的注意。
生：5＋5＋5＝15，也就是3個5相加得15。
師：咦，5＋5＋5＝15算式中沒有“3”呀，你這里的“3”是從哪里來的？
生：一個、兩個、三個，是3個5相加（學(xué)生把“3”讀出了重音）。
師：噢，是你數(shù)出來的。
3．在生活中尋找用“相同加數(shù)的加法”解決的問題。
師：老師變個戲法，把屏幕上的加法算式都藏到生活中去了。你們還能從中發(fā)現(xiàn)相同加數(shù)的加法算式嗎？
屏幕上出現(xiàn)“一雙手”的圖片。
生：5＋5＝10。
師：你的算式表示什么意思呀？
生：左邊5個手指，右邊5個手指，合起來是10個手指。
生：這里面還有“1＋1＝2”。
生：對，左邊一只手，右邊一只手，一共有兩只手。
屏幕上再出現(xiàn)一組口算題（排成3列，每列兩題）。
師：我們小朋友做的口算題排得整整齊齊的，那一共計算了幾道題呀？你能從中發(fā)現(xiàn)相同加數(shù)的加法算式嗎？
根據(jù)學(xué)生的不同回答，組織學(xué)生比一比：“3個2相加”和“2個3”相加都等于6。
師：大家的小眼睛真亮！在我們的生活中，你還能發(fā)現(xiàn)用相同加數(shù)的加法解決的問題嗎？要求和你的同座先說說發(fā)現(xiàn)的問題，再寫一寫相同加數(shù)的加法算式。
（在交流活動后安排學(xué)生休息五分鐘，接著繼續(xù)下面的學(xué)習(xí)。）
4．激發(fā)學(xué)生再創(chuàng)造的欲望。
根據(jù)學(xué)生的交流情況，相機(jī)用圖片的形式出現(xiàn)“電腦教室里，一張電腦桌放2臺電腦，9張電腦桌一共有多少臺電腦？”的問題。在學(xué)生寫算式的時候，有意識地關(guān)注學(xué)生寫算式時的輔助動作。
師：××，老師剛才注意到，你在寫9個2相加的算式時，怎么一邊寫算式一邊在數(shù)數(shù)？
生：算式太長了，不數(shù)就不知道寫了幾個2。
師：這個經(jīng)驗很好，哪個同學(xué)還有寫9個2相加的成功經(jīng)驗？
生：先寫幾個2相加，停下來數(shù)一數(shù)還缺幾個2，再寫。
師：寫9個2相加的算式，都這樣麻煩，那如果電腦教室里有20張、30張電腦桌，寫20個、30個2相加的算式，那不更麻煩嗎？看來我們有必要創(chuàng)造一種新寫法，把9個2相加寫簡便些。
5．學(xué)生再創(chuàng)造。
由于前面的教學(xué)中激活了學(xué)生的有關(guān)經(jīng)驗，因此，稍一會兒，就有學(xué)生寫出了新寫法。
師：大家真了不起，這些新寫法數(shù)學(xué)書上都找不到。但就像科學(xué)家們的創(chuàng)造一樣，剛創(chuàng)造出來的新東西，往往有很多不完善的地方。我們小朋友們的創(chuàng)造也不例外。下面，把我們的新寫法和原來的9個2相加的算式比一比，看看還有哪些需要改進(jìn)的地方。
學(xué)生逐漸體會到，新寫法雖然簡便了，但沒有把有9個2相加表示出來。
師：好，那我們在第一階段創(chuàng)造的基礎(chǔ)上再來創(chuàng)造既簡便，又表示9個2相加的寫法。在大力鼓勵學(xué)生們創(chuàng)造的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生討論思考：既然新寫法中出現(xiàn)了9，就表示“9個2相加”，那是不是還有必要在新寫法中寫兩個2、三個2？學(xué)生們進(jìn)一步創(chuàng)造為：師：太了不起了。但老師有個問題想請教大家，這三種寫法中都寫了“2”和“9”，能不能把2和9改成8、10或其它數(shù)？為什么？能不能把9寫在其它位置？
通過上面的提問，引導(dǎo)學(xué)生反思，更加清晰地把握住新寫法的關(guān)鍵。并著重讓生2和生3講講為什么這樣寫，促使學(xué)生認(rèn)識到：為保證新寫法不至于像生1 的寫法那樣引起混淆，應(yīng)該在“2”和“9”之間加個符號。
師：除了像生2那樣在2和9之間加個“點”，或者像生3那樣把“2”和“9”隔開些寫以外，你們還想加個什么符號把“2”和“9”聯(lián)系起來？
生：我喜歡★，我想加個★。（請學(xué)生上臺在“2 9”、“9 2”中間加★。）
生：我想加個△。（請學(xué)生上臺在“2 9”、“9 2”中間加△）
……
師：小朋友們想出了這么多有意思的符號。那你們知道數(shù)學(xué)家們想到了什么符號嗎？
用多媒體出示：“你知道嗎？”（由于相同加數(shù)的加法是特殊的加法，所以，三百多年前，一位英國數(shù)學(xué)家想到把“＋”轉(zhuǎn)過來成“×”，用“×”把“2”和“9”聯(lián)系了起來。）
隨后引入乘法算式的讀法以及算式中各部分的名稱。
6．練習(xí)（略）。
7．交流學(xué)習(xí)體會。
思考
是什么讓同一知識點的教學(xué)呈現(xiàn)出了天壤之別的差異？答案是肯定的。當(dāng)我們從文化的視角探究數(shù)學(xué)的內(nèi)涵時，我們不僅看到了數(shù)學(xué)的知識、技能，更看到了內(nèi)隱在數(shù)學(xué)知識里的思想、精神、觀念、價值觀……因此，數(shù)學(xué)教育的過程完全可以成為學(xué)習(xí)者文化素養(yǎng)的養(yǎng)成過程。反思上面的教學(xué)實踐，從文化視角構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)的教育活動，要注意：
1．把數(shù)學(xué)教育看作一種文化活動，教學(xué)要與學(xué)生的生活經(jīng)驗或思考體驗相協(xié)調(diào)。每個民族、每個時代的文化都離不開其借以表現(xiàn)的社會生產(chǎn)和生活的背景。因此，當(dāng)我們把數(shù)學(xué)教育作為一種文化活動來組織時，就要關(guān)注學(xué)生在日常生活的各種情境中，樸素地開展數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗與體會。這些是學(xué)生內(nèi)心世界中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷拓展的文化基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)校數(shù)學(xué)的必要背景。如果脫離了學(xué)生已有的數(shù)學(xué)文化活動的經(jīng)驗和體驗來組織數(shù)學(xué)教育，就很難促進(jìn)學(xué)生的持續(xù)發(fā)展。我們不妨看一位臺灣小學(xué)教師親身體驗的一件事：兩年前，她帶著孩子去吃每客199元的比薩。付帳時，問孩子們：一共要付多少元？上三年級的兒子喊道：要筆和紙記進(jìn)位，沒有筆和紙怎么算？還在幼稚園大班的女兒琢磨了一會兒后，說道：媽媽，你給阿姨600元，她會找你3元。這位老師不由自主地追問道：小妹，你是怎么知道的？女兒說：我是數(shù)的呀！199再過去就是200，200、400、600，三個人要給600元。但這樣阿姨多拿了我們3元，找3元才可以。兩年后的一天，這位老師帶孩子們?nèi)コ悦靠?80元的食品。付帳時，問了兩年前的同樣問題，不料兩個孩子異口同聲地答道：給我紙和筆，沒有紙和筆那就算不出來了。②為什么只差兩年，這位教師的女兒就變得在生活中不會解決問題，而只會在課堂上計算了呢？數(shù)學(xué)教育脫離孩子們已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗恐怕是主要原因。而事實上，數(shù)學(xué)學(xué)科中的許多概念、運算、規(guī)則都是由于現(xiàn)實生活中人類改造自然的實際需要而形成的，是典型的文化創(chuàng)造活動過程，而不是純粹的數(shù)學(xué)知識的更新結(jié)果。因此，一個好的數(shù)學(xué)教師應(yīng)高度重視了解孩子們在日常生活中積累的文化活動經(jīng)驗（要注意，不僅僅是數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗），把它們作為課堂上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的出發(fā)點和必要背景。在“認(rèn)識乘法”的教學(xué)探索中，我們有過失敗的經(jīng)歷。問題就出在沒有激活學(xué)生在日�；顒又幸逊e累起的“用‘點點點’和‘等等’表示還有很多”的經(jīng)驗，直接要求學(xué)生探索“9個2相加”的簡便寫法，結(jié)果學(xué)生普遍感到無從下手。而像上面組織的教學(xué)中，效果就大不一樣，學(xué)生們個個有簡便的寫法。雖然有雷同，但思路一下子跳出了以往寫算式的框框，再創(chuàng)造出“既簡便又表示9個2相加的寫法”就有了可能。與此同時，一個好的數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教育過程中，也要關(guān)注孩子們即時的思考認(rèn)識、情感體驗，以保證數(shù)學(xué)教育和學(xué)生們當(dāng)時的心理活動相協(xié)調(diào)，并捕捉其間的課程生成契機(jī)，提升數(shù)學(xué)教育的文化內(nèi)涵。例如上面的實踐中，學(xué)生寫“9個2 相加”算式時出現(xiàn)的“小動作”，雖然細(xì)微，但卻是學(xué)生原有數(shù)學(xué)文化為適應(yīng)當(dāng)前富有挑戰(zhàn)性的問題解決的需要，而自覺采取的心理調(diào)適行為。因此，讓學(xué)生介紹這些“成功經(jīng)驗”，能促使學(xué)生感受到原有數(shù)學(xué)文化的局限，而產(chǎn)生再創(chuàng)造新文化的情感動力。
2．把數(shù)學(xué)教育看作一種文化活動，要著力構(gòu)建與文化沉淀相匹配的教學(xué)方式。無論何時，文化總帶有歷史性的成分。數(shù)學(xué)作為一門理性的、系統(tǒng)的學(xué)科，從文化的角度看，同樣也離不開歷史的沉淀過程。這一完整的過程至少包括著感知、交流、反思、沉淀等階段，數(shù)學(xué)文化正是在這一過程的循環(huán)往復(fù)中，不斷充實，不斷提升，其精神與思想方法逐漸成為人們采取行動、解決問題的指南。要使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程同時成為數(shù)學(xué)精神與思想方法的文化積累過程，拋棄灌輸、接受式的教學(xué)方式，探索與數(shù)學(xué)文化沉淀過程相匹配的教學(xué)方式是前提。與數(shù)學(xué)文化的歷史沉淀過程相適應(yīng)的教學(xué)方式包括著：在觀察、實驗、內(nèi)省中體驗感知，在同伴合作學(xué)習(xí)中交流碰撞，在與教師、教材、同伴互動中推敲、反思、完善，等等。在上面的教學(xué)中，我們更多地實踐著這樣的方式，即引導(dǎo)學(xué)生在多樣的交流中，不斷反思，逐步提升個體數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)造層次。這種方式的構(gòu)建來自于上面談到的那次失敗的實踐。
翻開數(shù)學(xué)史，我們可以發(fā)現(xiàn)人類認(rèn)識乘法的歷史都經(jīng)歷了多個階段，世界多個國家在符號化的過程中經(jīng)歷了“文辭階段、縮寫階段、符號階段”三個時期。而在那次試教中，我們直接要求學(xué)生創(chuàng)造“既寫得簡便，又表示9個2相加的新寫法”，實質(zhì)上就是要求學(xué)生的認(rèn)識直接達(dá)到“符號階段”的層次。這樣做，既不符合數(shù)學(xué)文化發(fā)展的歷史特點，更不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)果造成學(xué)生的思維顧此失彼，教學(xué)效果大打折扣。因此，在課堂這個特定時空中組織富有文化內(nèi)涵的數(shù)學(xué)教育，不能奢望學(xué)生的認(rèn)識一步到位，而應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)文化發(fā)展的特點和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，組織瞄準(zhǔn)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在不斷的反思中逐漸提升對數(shù)學(xué)文化的感悟?qū)哟巍W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行反思，一方面源于與教師的交往互動，另一方面則源于學(xué)生間數(shù)學(xué)文化的交流溝通。從文化的歷史性看，數(shù)學(xué)不管發(fā)展到怎樣的程度，任何時期的數(shù)學(xué)成就都是不斷站在巨人肩膀上的結(jié)果。這種數(shù)學(xué)文化的發(fā)展規(guī)律反映到數(shù)學(xué)教育過程中，就是斷然不可缺少多樣的討論交流活動，以傳遞孩子們富有個性的理解、感悟，在各種理解的交流碰撞中，共享創(chuàng)造的快樂，豐富各自的思考方法，獲取認(rèn)知的新靈感。如此循環(huán)，直至達(dá)到高層次的再創(chuàng)造。也正是從這個意義上說，課堂情境中學(xué)生高層次的再創(chuàng)造，更多的是指學(xué)生群體的再創(chuàng)造，而不太可能是每個學(xué)生個體的再創(chuàng)造。這就如同乘法的現(xiàn)代表示方法不是英國數(shù)學(xué)家奧特雷德的個人成就，而是世代數(shù)學(xué)家的認(rèn)識結(jié)晶一樣。這啟示我們組織富有文化內(nèi)涵的數(shù)學(xué)教學(xué)，不是要引導(dǎo)每個學(xué)生個體都完全通過自己的思考實現(xiàn)高層次的數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造，而通過交流與借鑒達(dá)到高層次的再創(chuàng)造同樣無可非議。這樣的教學(xué)才更貼近孩子們學(xué)習(xí)的實際情況，才能在課堂情境中獲得實施的可能性。
3．把數(shù)學(xué)教育看作一種文化活動，重要的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)造過程。
從文化視角構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)的教育過程，可以使我們的數(shù)學(xué)教育獲得許多全新的啟迪，但其重點可以放在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)造過程上。這樣做，不僅與此次課程改革的重點是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與實踐能力相一致，而且還可以促進(jìn)學(xué)生獲得多方面的發(fā)展。從數(shù)學(xué)史中我們可以看到，數(shù)學(xué)知識的每一次重要發(fā)展都鮮明地表現(xiàn)為人類數(shù)學(xué)思想的新飛躍，都飽含著人類先哲們向更高文明邁進(jìn)的雄心與艱辛。因此引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)造過程，得到的收獲不僅僅是知識層面的，更重要的是在人心智的其他方面得到啟迪與喚醒。例如，引導(dǎo)學(xué)生全身心地關(guān)注歷史進(jìn)程中知識的命運，從而產(chǎn)生為知識世界中的美好而不懈努力的愿望，獲得數(shù)學(xué)思想上的洗禮，勃發(fā)創(chuàng)新的意識，等等。實際上，如果僅僅就知識的教學(xué)而言，富有文化內(nèi)涵的教學(xué)可能不是種好方法，不僅費時，而且還沒有多少收獲。像上面談到的“認(rèn)識乘法”的新教法中，不管怎樣引導(dǎo)，沒有接觸過乘法的學(xué)生們還是不可能再創(chuàng)造出乘法和乘號。也可能正是這個原因，致使絕大多數(shù)教師認(rèn)為，沒有必要在課堂上讓學(xué)生經(jīng)歷由相同加數(shù)的加法到乘法的歷史過程，不如把“還可以用乘法算”直接告訴學(xué)生。實際上，我們在設(shè)計新教法的初期，也曾深深地思考著這個問題：這樣教價值在哪里？在思索中，我們漸漸地認(rèn)識到，學(xué)生掌握了相同加數(shù)的加法也就具備了學(xué)習(xí)乘法知識的基礎(chǔ)，但“相同加數(shù)的加法”這個知識本身并不具備再生新知識的能力，推動著相同加數(shù)的加法向乘法邁進(jìn)的是符號化的數(shù)學(xué)思想。因此，組織學(xué)生經(jīng)歷乘法知識產(chǎn)生、發(fā)展的歷史進(jìn)程，引導(dǎo)他們通過自己的思索，意識到新寫法的關(guān)鍵要寫個“9”和“2”，把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并用自己的符號把它們聯(lián)系起來，學(xué)生們實實在在地做了回數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)造者。創(chuàng)造的成果只不過由于歷史的原因，而沒有在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)文化體系中留下痕跡。這樣的課程設(shè)計喚醒了孩子們研究者、創(chuàng)造者的角色意識，感悟了數(shù)學(xué)的思想方法，其課程價值已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了知識范疇。新的教學(xué)由于時間的關(guān)系，可能有些學(xué)生對乘法的讀法等知識掌握得不很牢固，但這不妨礙學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)中，把暫時缺失的知識補(bǔ)上。但我們的教學(xué)如果只是引導(dǎo)學(xué)生掌握了知識，那孩子們的一生都不會再經(jīng)歷乘法認(rèn)識逐漸符號化的過程！這是因為當(dāng)孩子們認(rèn)識了乘法后，往往覺得相同加數(shù)的加法用乘法計算是應(yīng)該的、理所當(dāng)然的，不會再去思索怎樣將相同加數(shù)的加法逐漸地符號化。因此，對于現(xiàn)行數(shù)學(xué)體系中已約定俗成的數(shù)學(xué)文化的表現(xiàn)形式，即使最終還是由教師把結(jié)果告訴學(xué)生，還是應(yīng)該要注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)造過程，而且數(shù)學(xué)文化活動的要義是符號化而不是符號本身，是算法化而不是算法本身，是語言描述而不是語言本身，……只有這樣，學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才能獲得創(chuàng)造新文化的意識和能力，才能獲得終身受益的文化力量。
注釋：
①《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗稿），P2，北京師范大學(xué)出版社2001年7月。
②《數(shù)學(xué)文化學(xué)》鄭毓信 王憲昌 蔡仲著，P381，四川教育出版社2001年1月。
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