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動作是智慧的根源
——現(xiàn)代小學數(shù)學課堂教學的心理學依據(jù)一、引言
近半個世紀以來，皮亞杰心理學影響著世界各國的中小學教學，尤其是中小學數(shù)學教學。皮亞杰指出：“ 動作是智慧的根源”，①任何靜態(tài)的數(shù)學概念都隱含著認知主體的內(nèi)在動作，數(shù)學運算是一種廣義的動作。② 這些觀念為數(shù)學課堂教學所采納，目前小學數(shù)學普遍采取動手操作（或以直觀方式演示有關(guān)操作）的方法。
然而，對于這些在教學實踐領(lǐng)域中早已被采用的觀念與方法，卻缺乏深入的研究，許多問題都停留在知其 然不知其所以然的層面——我們知道數(shù)學運算是一種廣義的動作；但它除了是一種動作之外，還存在哪些區(qū)別 于一般動作的規(guī)定性？同樣我們也知道“動作操作”會增進兒童的數(shù)學知識與智慧；但能否認為任意的動手操 作都有益于兒童智慧的發(fā)展？在數(shù)學課堂教學中如何指導兒童動手操作？
本文試圖就以上問題作些探討，以期引起更深入的研究，并期望對進一步改進小學數(shù)學課堂教學有所裨益 。
二、數(shù)學運算的內(nèi)在規(guī)定性
1.反身性 數(shù)學運算“甚至在其較高的表現(xiàn)中，也是正在采取行動與協(xié)調(diào)行動，不過是以一種內(nèi)在的與反 省的形式進行的罷了……”③這里“反省”與反身、反思是同義的。
皮亞杰將個體認知活動劃歸為兩類。一類是對客體的認識；另一類是對主體自身動作所進行的反思。前者 帶來關(guān)于客體的知識；后者帶來數(shù)理邏輯知識。
［實例］一個兒童擺弄10個石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度�！爸� 量”與“光滑度”是關(guān)于對象（石子）本身的知識。此外，兒童還有另一類動作，他將10個石子排列成不同的 形狀，沿著不同的方向點數(shù)它們，其總數(shù)“10”總是不變的。這里，兒童將手指一一地（不重復也不遺漏）點 向10個石子，是具體動作；從這種具體動作中認識到總數(shù)“10”總是不變，則是一種反思，是反過來對自身的 具體動作進行思考。具體動作可以有很多種（可以從不同的石子開始，可以沿著不同的方向進行），但總數(shù)的 “10”卻是恒定的。只有通過反思，體會到這種“恒定”，兒童才真正學會了計數(shù)。
這里我們看到兒童進行數(shù)學操作與運算離不開具體動作，但具體動作之后的反思比具體動作本身更為重要 。兒童能一一地點數(shù)石子，我們也能訓練一只小雞——地啄石子，但小雞不會了解“10”這個數(shù)，因為它沒有 反思。
數(shù)學運算因其反身性，還呈現(xiàn)出一種層次性與相對性。高一級的運算是對低一級的運算所進行的反思、協(xié) 調(diào)與轉(zhuǎn)換。乘法是對加法的“運算”；乘方又是對乘法的“運算”。
2.可逆性 “運算是一種可以逆行的行動，即它能向一個方向進行，也能向相反的方向進行。”④我們可 以把1和2相加得到3；反過來， 也可以用3減2而還原為1。任何一種運算，總有一個與之對應的逆運算。
學生用減法驗算加法（或反過來用加法驗算減法），用除法驗算乘法（或反過來用乘法驗算除法），就是 因為這些運算是可以“逆行”的。對于“合”（加或乘）的結(jié)果，我們可以用“分”的動作（減或除）使其還 原到初始狀態(tài)。
可逆性可以區(qū)分為兩類，一類是反演可逆（1＋2＝3，反過來3 －2＝1）；一類是互反可逆（6比2多4，反 過來2比6少4）。 前者表現(xiàn)為相反的操作；后者表現(xiàn)為次序的逆向轉(zhuǎn)換。
3.結(jié)合性 運算“是可以繞道迂回的，通過兩種不同的方法可以獲得相同的結(jié)果”。⑤這就是所謂結(jié)合性 。具體到小學數(shù)學教學中，結(jié)合性體現(xiàn)在兩個方面。
其一，體現(xiàn)在運算定律方面：3＋4＝4＋3（加法的交換律）；3 ×（4＋5）＝3×4＋3×5（乘法的分配律 ）。這里，每個等式兩邊是不同途徑的運算，但其運算結(jié)果卻是恒等的；其二，體現(xiàn)在問題解決的一題多解方 面。
問題：男生和女生共植樹450棵，已知每個同學植樹5棵，有男生46人。問：女生多少人？
對于這一問題可以先求出女生植樹多少棵，再除以5， 得出女生人數(shù)：（450－5×46）÷5＝44（人）；也 可以先求兩個班共有多少人，再減去男生46人，得出女生的人數(shù)：450÷5－46＝44（人）。兩種解法，具體途 徑不同，但結(jié)果一樣。
至此，我們將可逆性與結(jié)合性綜合起來考察，則會發(fā)現(xiàn)數(shù)學運算總是隱含著某些“不變的因素”。反演可 逆是以相反的運算（如：以減法來驗算加法）使其還原為初始不變的狀態(tài)�；シ纯赡媸且环N相互轉(zhuǎn)換，6比2多 4，2比6少4，這里差集“4”是不變的。在運算規(guī)則里， 運算途徑改變了，但運算結(jié)果不變。在問題解決中， 具體解法可以各異，但答案是唯一（不變）的。
我們說，數(shù)學運算是一種轉(zhuǎn)換。在這種轉(zhuǎn)換過程中，并非所有的東西都發(fā)生了改變，總是隱含著某種不變 的因素。正是“不變因素”的存在，才使轉(zhuǎn)換成為可能。
4.結(jié)構(gòu)性 結(jié)構(gòu)性運算，就其現(xiàn)實的存在方式而言，“包括復雜的運算體系，而不是被看作先于這些體系 成分的那些孤立的運算�！雹迶�(shù)學運算總是以結(jié)構(gòu)化的整體的方式而存在。首先，每一種數(shù)學運算本身就是一 個結(jié)構(gòu)化的動作。加法包括“合”的動作，也包括計其總數(shù)據(jù)的動作（這在學齡前兒童的實物操作中，可觀察 到；小學一年級兒童，因熟練而逐漸簡約化）；其次，各種運算聯(lián)合起來，又構(gòu)成一個大的結(jié)構(gòu)，加是“合” 的動作，減是“分”的動作；乘是加（或合）的簡便運算，除是減（或分）的簡便運算；加減互為逆運算，乘 除互為逆運算。這許多關(guān)系，使四則運算聯(lián)合成一個大的整體。
三、課堂教學中，指導學生動手操作應注意的問題
在明確了數(shù)學運算的內(nèi)在規(guī)定性之后，我們將依照這些規(guī)定性，提出在課堂教學中指導兒童動手操作應注 意的問題。
1.引起反省 從以上分析中我們了解到，數(shù)學運算是一種反思，具體動作之后的反思比具體動作更為重要 。具體到課堂教學中，我們在指導學生動作操作時，不應停留在為操作而操作的層面；而應引導學生對其操作 進行思索。以分數(shù)概念的教學為例，通常的教法是將分數(shù)的具體“操作”和盤托出、呈現(xiàn)給學生。如：將一個 餅平均分成兩塊，每塊是它的1／2。這樣的做法只能讓學生照葫蘆畫瓢一樣地模仿，而不能調(diào)動學生內(nèi)部的思 考過程。
一般而言，分數(shù)是小學生數(shù)概念的一次大的擴展。此前，兒童能用加減法層面的“差集”（6比2多4）或乘 除法層面的“倍數(shù)”（6是2的3倍）來表示二數(shù)比較關(guān)系。在倍數(shù)中，比較量一般大于（或等于）標準量；分數(shù) 的引進是要解決一個全新的問題：當比較量不足一個標準量時，如何表示二數(shù)關(guān)系。
關(guān)于分數(shù)概念，這里設計了一種與通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起學生思考。
關(guān)于“分數(shù)概念”的課堂設計：
準備：在黑板上用不同顏色的粉筆畫好三條長度不同的線段，準備一根60厘米長的木棒（無刻度），線段 長度分別是木棒的3倍、1倍、 1／3。
木棒────
白線：─────────── ────────白線長度是木棒長度的3倍
紅線：──────── 紅線長度是木棒長度的1倍
綠線：─ 綠線長度是木棒長度的？
教師［演示］：用木棒分別量白線與紅線，并板述；然后量綠線，提問。
教師：綠線長度是木棒長度的多少？
學生：……沒有一棒長。
教師：沒有“一棒”長，怎么表示？
學生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和綠線都量一量。
教師：（量得綠線長20厘米，木棒長60厘米）那么，綠線長度是木棒長度的多少？
60厘米
學生：木棒是綠線的3倍。
教師：這是我們以前學過的“倍數(shù)”；現(xiàn)在，我們反過來說：以木棒為標準，綠線是木棒的多少？
［演示］比著綠線將木棒3等分（用粉筆在木棒上畫刻度）
［繼續(xù)提問］現(xiàn)在想一想，怎樣表示“綠線是木棒的多少？”）
……
導出：將木棒3等份，綠線是3份中的1份。
進而導出：綠線是木棒的1／3。
并將“倍數(shù)”與“分數(shù)”統(tǒng)一起來：都可表示兩個數(shù)的比較。
這種方案較之于“和般托出”直接告訴學生的教法，更能調(diào)動學生積極的思考過程。也只有進行這樣的思 考，兒童才能真正明確分析所蘊含的內(nèi)部操作。
將有關(guān)“操作”和盤托出，不注重激起學生“反思”的教法，與兩種不恰當?shù)挠^念有關(guān)。其一是把數(shù)學運 算等同于具體動作；其二是認為內(nèi)在運算是對外在動作的簡單模仿。其實，數(shù)學運算應該包括三個呈遞進關(guān)系 的成分：（1）具體操作；（2）對具體操作的反省與反思； （3）在反思過程中進行某種轉(zhuǎn)換或重組。
轉(zhuǎn)換是對具體動作的轉(zhuǎn)換，重組是對原有的、已習得的操作的重組。兒童在接觸到分數(shù)之前，已學會了“ 比較”（一個數(shù)是另一個數(shù)據(jù)的幾倍）與“等分”（除法）�，F(xiàn)在面臨新的問題：比較量不足一個標準量。在 上述方案中，問題解決的過程，是學生積極思考的過程，也是重組原有“比較”與“等分”等內(nèi)部操作而構(gòu)成 分類操作的過程（分數(shù)的內(nèi)部操作包括：比較二數(shù)；等分標準量等）。
2.體會“必然” 在上一小節(jié)中，我們強調(diào)在讓學生動作操作的同時，應引導他們對具體動作進行反思， 并在反思過程中進行轉(zhuǎn)換與重組。但數(shù)學運算還具備可逆性與結(jié)合性的特征也就是說在轉(zhuǎn)換過程中，并非所有 的因素都發(fā)生改變，而總隱含著某種不變的因素。由于某些不變因素的存在，數(shù)學運算顯示出一種必然性。1＋ 2一定等于3；3×5 一定等于15；π＝3.1415…是圓周與直徑的比率，不是人為規(guī)定的；在兩個班共同植樹的實 例中，解法不同而得數(shù)是不變的。
對數(shù)學運算的必然性的認識，往往是一種不自覺的“必然之感”。這種必然之感的獲得，是兒童形成數(shù)學 運算的標志。
指導學生認識數(shù)學運算的必然性，可利用日常的實例。數(shù)學運算往往都有其現(xiàn)實原型，而且有些原型能明 晰地表征相應運算的涵義。如：教乘法口訣時，可讓學生數(shù)一數(shù)一面窗子的格數(shù)。如果豎著有4行， 每行5格， 那么就是5×4＝20格。 四五二十的口訣就存在于我們對這扇窗子的計數(shù)活動之中。它不是人為的任意編出的口 訣，而是“必然”的。
3.融會貫通 數(shù)學運算是以結(jié)構(gòu)的方式而存在的。結(jié)構(gòu)化不是將不同的運算（或操作）簡單地拼湊成一個 整體，而是要消除各種運算（或操作）之間的“矛盾”、以達到相互協(xié)調(diào)。
“關(guān)于‘分數(shù)概念’的課堂設計”將分數(shù)概念放在數(shù)概念的擴展（從倍數(shù)到分數(shù)的擴展）之中，具體設計 了一個問題情境：比較量不足一個標準量（此前，在“倍數(shù)”中，比較量總是大于或等于一個標準量），如何 表示二數(shù)關(guān)系。學生面對這一“矛盾”、積極思考。消解矛盾的過程，同時也是各種操作（倍數(shù)與分數(shù)）協(xié)調(diào) 、統(tǒng)一而融會貫通的過程。
四、結(jié)語
綜上，可以明確：（一）對小學生而言，數(shù)學運算既包括具體的動手操作，也包括對動手操作的思索。后 者比前者更為重要。（二）數(shù)學運算總是隱含著“不變的因素”，具體體現(xiàn)在逆向運算、 逆向轉(zhuǎn)換（6比2多4 ，那么2比6少4）、運算規(guī)則以及問題解決的一題多解等方面。（三）數(shù)學運算總是以結(jié)構(gòu)化的方式而存在。
在于數(shù)學運算的內(nèi)在規(guī)定性，本文提出（一）課堂教學中，在指導學生動手操作（或演示有關(guān)操作）時， 應引起“反省”。小學兒童離不開具體動作的支持，但對具體動作的思索更為重要。（二）在指導學生動手操 作的過程中，讓學生體會到“必然”之感，必然之感的獲得，是數(shù)學運算形成的標志。（三）在動作操作過程 中，指導學生通過思考，將各種運算聯(lián)成整體，融會貫通。
①②⑤⑥皮亞杰：《智慧心理學》，中國社會科學出版社1992年版，第33頁；第18—19頁。第36頁；第42 頁。
③皮亞杰：《教育科學與兒童心理學》，教育文化出版社1981年版，第30頁。
④皮亞杰：《發(fā)生認識論》，《教育研究》，1979年第3期， 第91頁。
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