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讓靜止的圖形動(dòng)起來
——六年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)課紀(jì)實(shí)(北京市順義縣第二教師進(jìn)修學(xué)校 周愛東 賈福祿 設(shè)計(jì)
北京市順義縣馬坡中心小學(xué) 獻(xiàn)臣 執(zhí)教)
教學(xué)內(nèi)容 幾何圖形的面積計(jì)算
教學(xué)目標(biāo)
1.培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力,使學(xué)生有意識(shí)地把題目的條件看活,用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)解答幾何圖形的題目。
2.滲透“事物之間是互相聯(lián)系的,可以互相轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn)。
教學(xué)過程
一、出示準(zhǔn)備題
用同樣大小的正方形瓷磚鋪一個(gè)正方形的地面,兩條對(duì)角線上鋪黑的,其它地方鋪白色的,如圖所示。如 果鋪滿這塊地面共用101 塊黑色的瓷磚,那么白色瓷磚用了多少塊?
(附圖 {圖})
1.學(xué)生讀題、提出問題、弄清題意。
2.師:這是以前我們研究過的一個(gè)問題,請(qǐng)大家回想一下,當(dāng)時(shí)我們是用什么方法來研究解答這個(gè)問題的 ?
生:我們是在一個(gè)5×5的網(wǎng)格內(nèi),沿兩條對(duì)角線方向擺放硬幣,用硬幣代表黑色瓷磚。再通過旋轉(zhuǎn)、平移 的方法,改變硬幣的擺放位置,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,來解答這個(gè)問題的。
3.生:獨(dú)立操作,解答問題。
①操作:
(附圖 {圖})
②指名說操作過程。
先在兩條對(duì)角線上放滿硬幣(如圖1)共放了9枚硬幣;然后旋轉(zhuǎn)每條對(duì)角線上的硬幣,使其進(jìn)入到5×5網(wǎng) 格中的行與列中(如圖2), 在旋轉(zhuǎn)過程中,硬幣的擺放位置發(fā)生了改變,但是枚數(shù)沒有變;最后再將硬幣平 移到兩條邊上(如圖3)。 此時(shí)沒有擺放硬幣的小格由原來的被分成四塊,而合并成了一塊,且恰好組成了一 個(gè)正方形,其邊長(zhǎng)恰好與原來大正方形的邊長(zhǎng)相差1。
③解答準(zhǔn)備題:
同樣道理我們可以通過旋轉(zhuǎn)、平移兩次動(dòng)態(tài)處理,把題中兩條對(duì)角線上的黑色瓷磚移到兩條邊上(如圖) 。在這一轉(zhuǎn)化過程中瓷磚的擺放位置發(fā)生了變化,但數(shù)量都沒有變。此時(shí)便容易求解:
(附圖 {圖})
(101+1)÷2=51(大正方形每邊瓷磚數(shù))
51-1=50(白色正方形每邊瓷磚數(shù))
50[2]=2500(塊)
答:白色瓷磚共用了2500塊。
4.教師小結(jié)導(dǎo)入新課:
剛才,我們?cè)谘芯窟@個(gè)問題時(shí),是通過旋轉(zhuǎn)和平移把對(duì)角線上的瓷磚移到了邊上,也就是把題目的條件看 活了。用動(dòng)態(tài)的思維來考慮問題,這種動(dòng)態(tài)解答問題的方法,在解答幾何圖形題時(shí)是常常用到的。今天,我們 就用動(dòng)態(tài)考慮問題的方法,來研究幾道幾何圖形的問題(板書課題:讓靜止的圖形動(dòng)起來)。
二、新授
3
(二)1.例1 圖中三角形AED的面積占梯形ABCD面積的─,且AB
7
=5cm、BC=8cm,求三角形AED的面積?
(附圖 {圖})
①指名讀題。
3
②簡(jiǎn)要分析:三角形AED的面積占梯形ABCD面積的─,也可以理解
7
梯形ABCD面積是7份,三角形AED面積占3份, 兩個(gè)空白三角形面積的和占4份,AB是梯形和三角形的高,要 求三角形AED的面積,知道了高,需要先求出底AD的長(zhǎng)。
空白面積:三角形面積=4∶3
③引導(dǎo)解答
師:在梯形ABCD中,你能否畫出一個(gè)與AED面積相等的三角形來?這樣的三角形可以畫出多少個(gè)?
讓學(xué)生獨(dú)立思考,使他們體會(huì)到這樣的三角形可以畫出無數(shù)個(gè),只要在BC邊上任取一點(diǎn),和AD連起來所構(gòu) 成的三角形就知道和AED 的面積相等,因?yàn)樗鼈兪峭椎雀叩娜切巍?
師:通過上述分析,我們就可以把E點(diǎn)理解成為一個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”, 它可以沿BC邊來回移動(dòng)。在移的過程中三 角形AED的形狀發(fā)生了變化, 但面積不變。那么大家想一想,我們把點(diǎn)移到哪里,圖形就更簡(jiǎn)單,題目就更容 易解答呢?
(附圖 {圖})
生:將E點(diǎn)移到B或C點(diǎn)處。
師:畫出E點(diǎn)移到C點(diǎn)時(shí)的圖形(見右圖)并提問題:三角形ABC 的面積與原來兩個(gè)空白三角形面積是否相 等?為什么?
生:相等。因?yàn)橐苿?dòng)E點(diǎn)的過程中,梯形面積沒有變, 陰影三角形AED的面積也沒有變,所以三角形ABC的 面積與原來兩個(gè)空白三角形面積的和相等。
生解答:
方法1 陰影部分與空白部分的面積分別是3份和4份, 它們的高相
8×3
等,所以底是3份BC就是4份,因?yàn)锽C=8cm,所以AD=─=6cm, 三角
4
形AED的面積是:6×5÷2=15(cm[2])。
1 3 3
方法2 8×5×─÷(1-─)×─=15(cm[2])
2 7 7
師小結(jié):這道題,我們除了把E點(diǎn)移到B點(diǎn)或C點(diǎn), 還可以移到一個(gè)特殊的點(diǎn)上,來解答,而且也可以通過 添加輔助線的方法求解,這些解法留給大家在課下進(jìn)行研究。
在解答這道題的過程中,我們通過點(diǎn)的移動(dòng),尋找到了解題的突破口,可見這種“動(dòng)態(tài)考慮問題”的思想 可以使解題的方法更靈活,更巧妙。這種解題思路還有更廣泛的應(yīng)用呢,下面我們來看例2。
例2 有紅黃綠三塊大小一樣的正方形紙片, 放在一個(gè)盒內(nèi)它們之間相互疊合(如圖,教師備有教具)已 知露在外面的部分中,紅色面積是20,黃色面積是14,綠色面積是10,那么正方形盒的面積是多少?
①指名讀題
②啟發(fā)、引導(dǎo)
師:三張紙片大小一樣,但它們露出的面積卻不同,這是為什么?
生:三張紙片放入正方形盒內(nèi),要互相疊合,由于放置順序不同,露出的面積就不同。
師:誰(shuí)能說一說這三張紙的放置順序。
生:先放綠色的、再放黃色的,最后放紅色的。
師:現(xiàn)在黃色、綠色紙片露出的部分都不是長(zhǎng)方形,你能不能通過改變放置順序,使它們露出的部分變成 長(zhǎng)方形。
生:先放黃色紙片再放綠色的,最后放紅色的。(在學(xué)生說的同時(shí),教師直觀演示將黃色紙片抽出,露出 綠色長(zhǎng)方形,然后再把黃色紙片插入綠色紙片下面,將圖1變成了圖2)
(附圖 {圖})
師:現(xiàn)在黃色、綠色紙片露出的部分都變成了長(zhǎng)方形,請(qǐng)你比較它們的面積是否相等?分別是多長(zhǎng)?
生:面積相等。因?yàn)樗鼈兊拈L(zhǎng)相等,寬都等于正方形盒的邊長(zhǎng)減去小正方形紙片的邊長(zhǎng)也相等,所以面積 相等。它們的面積和沒有變。各自的面積分別是(14+10)÷2=12
師:請(qǐng)大家認(rèn)真觀察,現(xiàn)在這三張紙片,哪個(gè)位置特殊?能否改變它的位置?
生:黃色紙片的位置特殊。因?yàn)榧t色和綠色紙片都有兩條邊和正方形紙盒的邊重合,而黃色紙片只有一條 邊與紙盒的邊重合。我們可以使黃色紙片向左移動(dòng),使它也有兩條邊與紙盒的邊重合。(師演示移動(dòng),得出圖 3。此時(shí)問題已轉(zhuǎn)化成了學(xué)生以前所研究過的問題, 根據(jù)三個(gè)長(zhǎng)方形面積間的倍數(shù)關(guān)系可推出邊長(zhǎng)的份數(shù)關(guān)系 ,便可順利求解。
3
20+12×2+12×─=51.2
5
5[2] 64
或20÷─────=20×─=51.2
(5+3)[2] 25
所以正方形紙盒的面積是51.2。
師:剛才我們解答問題實(shí)際上是走了彎路請(qǐng)大家(對(duì)照?qǐng)D1和圖3,想一想還可以怎樣將圖1轉(zhuǎn)化成圖3?)
(附圖 {圖})
生:直接向左移動(dòng)黃色紙片。
師:直觀演示向左移動(dòng)黃色紙片,并提出問題:請(qǐng)觀察黃色和綠色露出的部分面積各發(fā)生了什么變化?
使學(xué)生體會(huì)到:黃色紙片的面積在減少,綠色紙片的面積在增加,它們的面積和不變。
3.教師小結(jié)。
投影出示上述兩道例題的原圖與轉(zhuǎn)化后的圖的對(duì)比圖。(已脫離了實(shí)際數(shù)據(jù))
(附圖 {圖})
今天我們所研究的兩個(gè)問題,都需要把題目的條件看活,將原題轉(zhuǎn)化后再求解。例1是通過點(diǎn)的移動(dòng), 將 原來分著的空白三角形合并成了一個(gè)三角形。例2是通過面的平移,把復(fù)雜的圖形變成了簡(jiǎn)單圖形, 把原來面 積不等變成了相等。這種“動(dòng)態(tài)考慮問題”的思想可以使我們解題的思路更快捷,解題的方法更靈巧所以希望 同學(xué)們今后能自覺運(yùn)用這種動(dòng)態(tài)思想來解答問題。
三、練習(xí)
已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8cm,寬是4cm,圖中陰影面積是10cm[2], 求CD長(zhǎng)多少厘米?
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