小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中邏輯規(guī)律的引入

逐步發(fā)展學(xué)生初步的邏輯思維能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容科學(xué)地、有意識(shí)地將邏 輯規(guī)律引進(jìn)教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中加以滲透，既有利于小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又能培養(yǎng)他們的初 步邏輯思維能力。
    一、知識(shí)結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系。
    在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的一個(gè)重要途徑。烏辛斯基早 就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來(lái)的知識(shí)體系�！倍�知識(shí)體系因?yàn)槠鋬?nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲 得邏輯意義。數(shù)學(xué)中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學(xué)的邏輯性構(gòu)成的。
    “數(shù)學(xué)作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點(diǎn)是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過(guò)定義引入的 �！边@種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學(xué)內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識(shí)結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的邏輯思維形式中得到 的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識(shí)。如學(xué)習(xí)“能同時(shí)被2、5整除的數(shù)的特征”時(shí)，我們是通 過(guò)演繹推理得到的：
    所有能被2整除的數(shù)的末尾是0、2、4、6、8；
    所有能被5整除的數(shù)的末尾是0、5；
    因此，能同時(shí)被2、5整除的數(shù)的末尾是0。
    數(shù)學(xué)中的這種推理形式一旦被學(xué)生所熟識(shí)，他們又會(huì)運(yùn)用它在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上作出新的判斷和推理。
    學(xué)生知識(shí)的習(xí)得和構(gòu)建，主要依賴(lài)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，去影響和促進(jìn)新的理解、掌握，溝通新上 知識(shí)的互相聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是 新舊知識(shí)建立下位聯(lián)系；二是新舊知識(shí)建立上位聯(lián)系；三是新舊知識(shí)建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結(jié)構(gòu)中的 三類(lèi)推理恰好建立相應(yīng)的聯(lián)系。推理，是從一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷得出新的判斷的過(guò)程。通常有：演繹推理（ 從一般性的前提推出特殊性結(jié)論的推理）；歸納推理（從特殊的前提推出一般結(jié)論的推理）；類(lèi)比推理（從特 殊的前提推出特殊結(jié)論的推理或從一般前提推出一般結(jié)論的推理）。如：教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”時(shí)，先在黑板上出 示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333；1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、29 9÷37=8.081081……等。觀察各式的商學(xué)生們直觀認(rèn)識(shí)到：小數(shù)有有限小數(shù)、無(wú)限小數(shù)之分。進(jìn)而從一組無(wú)限 小數(shù)中，發(fā)現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)屬性，得到了循環(huán)小數(shù)的定義。由兩個(gè)或幾個(gè)單稱(chēng)判斷10.333…的數(shù)字3依次不 斷地重復(fù)出現(xiàn)，2.14242…的數(shù)字42依次不斷重復(fù)出現(xiàn)等，得出一個(gè)新的全稱(chēng)判斷（循環(huán)小數(shù)的定義）是歸納推 理的一種方法。
    在教學(xué)的過(guò)程中，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地把邏輯規(guī)律引入教學(xué)，注意示范、點(diǎn)撥，顯然是有利于發(fā) 展學(xué)生的邏輯思維能力。
    二、邏輯推理在教與學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用。
    1.如果原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識(shí)，新舊知識(shí)建立下位聯(lián)系、新知識(shí)從屬 于舊知識(shí)時(shí)，那么宜適當(dāng)運(yùn)用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論。
    “演繹的實(shí)質(zhì)就是認(rèn)為每一特殊（具體）情況應(yīng)當(dāng)看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對(duì)象的具體 知識(shí)，先要找出這一對(duì)象的類(lèi)（最近的類(lèi)概念），再將這一對(duì)象的類(lèi)的屬性應(yīng)用于哪個(gè)對(duì)象。如：運(yùn)用乘法分 配律簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，學(xué)生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識(shí)為基礎(chǔ)，才能得出：
    999×999+999=999×(999+1)=999000
    這里999×999+999=999×(999+1)是根據(jù)一般性判斷a×c+b×c=(a+b)×c推出的。當(dāng)學(xué)生理解這種推理的順 序，且懂得要使演繹推理正確，首先要前提正確，并學(xué)會(huì)使用這樣的語(yǔ)言：
    只有兩個(gè)約數(shù)（1和它本身）的數(shù)是質(zhì)數(shù)；
    101只有兩個(gè)約數(shù)；
    101是質(zhì)數(shù)。
    那么，符合形式邏輯的演繹法則就初步被學(xué)生所掌握。
    在知識(shí)層面中，這種類(lèi)屬過(guò)程的多次進(jìn)行，就導(dǎo)致知識(shí)不斷產(chǎn)生新的層次，其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴(yán)密，新的 知識(shí)也就會(huì)不斷分化和精確化，就可以逐漸演繹出新的類(lèi)屬性的具體知識(shí)。教學(xué)中正確把握這種結(jié)構(gòu)，用演繹 推理的手段組織學(xué)習(xí)過(guò)程，不但能培養(yǎng)學(xué)生的思考方法，理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的模式辨認(rèn)能力 ，縮短推理過(guò)程，快速找到解題途徑。
    在新舊知識(shí)建立下位聯(lián)系時(shí)，整個(gè)類(lèi)屬過(guò)程可分化為兩種情況。
    (1)當(dāng)新知識(shí)從屬于舊知識(shí)時(shí)，新知識(shí)只是舊知識(shí)的派生物。可以從原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中直接推衍。新知識(shí)可以 直接納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。
    如學(xué)生已學(xué)過(guò)兩位數(shù)的筆算，清晰而穩(wěn)固地掌握了加法的計(jì)算法則，現(xiàn)在要學(xué)三、四位數(shù)的加法，只要讓 學(xué)生思考并回憶兩位數(shù)加法計(jì)算的表象結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥一下三、四位數(shù)加法與兩位數(shù)加法有相同的筆算法則 ，學(xué)生就能順利解決新課題。新知識(shí)很快被舊知識(shí)同化，并使原有筆算法則得到充實(shí)新的知識(shí)獲得意義。雖然 這些知識(shí)的外延得到擴(kuò)大，但內(nèi)涵不變。
    教學(xué)中，掌握這些知識(shí)的內(nèi)涵的邏輯結(jié)構(gòu)，就會(huì)有一個(gè)清晰的教學(xué)思路，就會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用演繹推理的手段 ，與學(xué)生一起愉快地順利地進(jìn)行下位學(xué)習(xí)。就不會(huì)在講三、四位數(shù)加法時(shí)，著眼于竭力以三、四位數(shù)加法為例 證，說(shuō)明加法的計(jì)算法則。
    (2)新知識(shí)類(lèi)屬于原有較高概括性的觀念中，但不能從原有上位觀念中直接派生出來(lái)，而需要對(duì)原有知識(shí)作 部分的改組，才能同化新知識(shí)。新知識(shí)納入原有知識(shí)后，原有知識(shí)得到擴(kuò)展、加深、限制、修飾和精確化。新 舊知識(shí)之間處于相關(guān)類(lèi)屬。這時(shí)，運(yùn)用演繹推理之前，先要對(duì)原有知識(shí)作部分改組，請(qǐng)出一個(gè)“組織者”，再 步步演繹。（為新知識(shí)生長(zhǎng)提供觀念上的“固定點(diǎn)”，增加新舊知識(shí)間的可辨性，充當(dāng)新舊知識(shí)聯(lián)系的“認(rèn)知 橋梁”，奧蘇伯爾稱(chēng)它為“先行組織者”簡(jiǎn)稱(chēng)“組織者”。）
    如學(xué)生已掌握了長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式：S=ab，現(xiàn)在要學(xué)習(xí)正方形的面積計(jì)算公式，這就要對(duì)長(zhǎng)方形進(jìn)行改 組，把它的長(zhǎng)改成與寬相等(a=b)，于是“正方形面積計(jì)算”可被“長(zhǎng)方形面積計(jì)算”同化，當(dāng)a=b時(shí)，S=ab=a ·a=a[2,]。又如教圓面積之前，向?qū)W生演示或讓學(xué)生動(dòng)手操作，把圓適當(dāng)分割后拼成近似長(zhǎng)方形，由長(zhǎng)方形面 積公式導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式。其間以直代曲，是由舊知識(shí)導(dǎo)向新知識(shí)的認(rèn)知橋梁，是由演繹推理構(gòu)建新知識(shí)時(shí) ，找到的觀念上固定點(diǎn)。找到固定點(diǎn)后圓面積的計(jì)算被長(zhǎng)方形面積同化，于是面積計(jì)算規(guī)則從直線(xiàn)封閉圖形的 計(jì)算，推廣到曲線(xiàn)封閉圖形的計(jì)算，擴(kuò)展加深了對(duì)原有面積計(jì)算規(guī)則的認(rèn)識(shí)內(nèi)容，使有關(guān)面積計(jì)算的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu) 趨向精確化。
    2.如果原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)已形成幾個(gè)觀念，要在原有的觀念上學(xué)習(xí)一個(gè)抽象、概括和包容性高于舊知識(shí)的新知 識(shí)，即新舊知識(shí)建立上位聯(lián)系時(shí)，那么適當(dāng)運(yùn)用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結(jié)論。當(dāng)需要 研究某一對(duì)象集時(shí)，先要研究各個(gè)對(duì)象（情況），從中找出整個(gè)對(duì)象集所具有的性質(zhì)，這就是歸納推理。歸納 推理的基礎(chǔ)是觀察和試驗(yàn)，是從具體的、特殊的情況過(guò)渡到一般情況（結(jié)論、推論）。
    教材中關(guān)于概念的形成，運(yùn)算法則和運(yùn)算定律、性質(zhì)得出，一般是通過(guò)歸納推理得到的。如分?jǐn)?shù)的初步認(rèn) 識(shí)。在學(xué)習(xí)前，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有了分?jǐn)?shù)的某些具體經(jīng)驗(yàn)，加上教材提供的和教師列舉的生活實(shí)例和圖形。 如：一個(gè)蘋(píng)果平均分成兩份，每份是它的1/2，一根鋼管平均截成三段，每段是它的1/3，一張紙平均分成4份， 每份是這張紙的1/4……所有這些操作和演示都讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到幾分之一這個(gè)概念。隨后，再認(rèn)識(shí)幾分之幾。這種 不完全的歸納推理，是在考察了問(wèn)題的若干個(gè)具體特例后，從中找出的規(guī)律。（嚴(yán)格地說(shuō)，由不完全歸納法推 理得到的結(jié)論還需要論證，才能判定它的正確性。）
    運(yùn)用歸納推理傳授知識(shí)時(shí)，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取典型的特例，并能夠通過(guò)典型特例的推理得出一 般性的結(jié)論。又要用這個(gè)“一般結(jié)論”，去解決具體特例。在教與學(xué)的進(jìn)程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的 ，它們緊密交織在一起。
    3.如果新舊知識(shí)間既不產(chǎn)生從屬關(guān)系，又不能產(chǎn)生上位關(guān)系，但是新知識(shí)同原有知識(shí)有某種吻合關(guān)系或類(lèi) 比關(guān)系，則新舊知識(shí)間可產(chǎn)生并列關(guān)系。那么可以運(yùn)用類(lèi)比推理。
    教材中，商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分?jǐn)?shù)的乘法等，學(xué)習(xí)這類(lèi)與舊知識(shí)處于 并列結(jié)合關(guān)系的新知識(shí)時(shí)，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類(lèi)比推理 。如五年級(jí)學(xué)習(xí)“一輛卡車(chē)平均每小時(shí)行40千米，0.3小時(shí)行了多少千米？”時(shí)，學(xué)生還無(wú)法根據(jù)小數(shù)乘法的意 義列出此題的解答等式。所以，教學(xué)中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系相類(lèi)推。
    原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，整數(shù)乘法與小數(shù)乘法只是一般的非特殊的并列結(jié)合關(guān)系。新知識(shí)的學(xué)習(xí)，只能利用原 有知識(shí)中的一般的和非特殊的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行同化。
    由于學(xué)生們對(duì)事物間“相同程度”判斷不明確，有時(shí)因?yàn)殄e(cuò)誤的類(lèi)比，即“有害的”類(lèi)比，而造成結(jié)論性 的錯(cuò)誤。如學(xué)了“20朵黃花比18朵紅花多2朵”，也可以說(shuō)成“18朵紅花比黃花少2朵”，就把：“甲數(shù)比乙數(shù) 多20%”就可以說(shuō)成“乙數(shù)比甲數(shù)少20%”。教師應(yīng)當(dāng)及時(shí)指出這些類(lèi)比錯(cuò)誤，同時(shí)讓學(xué)生懂得，由類(lèi)比得出的 結(jié)論必須加以驗(yàn)證，同時(shí)，經(jīng)常作一些類(lèi)比上的選擇或判斷性的練習(xí)，幫助他們不要做錯(cuò)誤的類(lèi)比。
    新舊知識(shí)的三種聯(lián)系與三類(lèi)推理相呼應(yīng)，不是一種巧合，是知識(shí)結(jié)構(gòu)本身科學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)使然。正確地運(yùn) 用邏輯推理的原則可以將學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)分化的程度提高，教師會(huì)不斷注意新知識(shí)的穩(wěn)定性、清晰性，新知識(shí) 的固定點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)更富有科學(xué)意義。

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