對一道思考題及其“答案”的思考

    人教版小學(xué)實(shí)驗(yàn)課本《數(shù)學(xué)》第六冊第１４４頁有這樣一道思考題：
    “在釘子板上圍圖形。通過３個(gè)釘子可圍幾種不同的形狀？通過４個(gè)釘子可以圍幾種不同的形狀？”
    （附圖 {圖}）
    對這道題，“教參”（人教版《小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊教師教學(xué)用書》）給的答案（下稱“參考答案”）是：
    “通過３個(gè)釘子：三角形（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。其中可能有等腰三角形，但不可能圍 出等邊三角形。）
    通過４個(gè)釘子：四邊形（一般四邊形、正方形、長方形、平行四邊形等。）
    以上每種圖形，由于大小不同，可能會有很多，只要學(xué)生圍出即可�！�
    下面談一談，筆者對上述思考題及參考答案的幾點(diǎn)思考。
    思考一 參考答案對不對？
    筆者認(rèn)為，參考答案是有毛病的。因?yàn)椋旱谝�，小學(xué)三年級學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)“直（銳、鈍）角三角形”和 “等腰（等邊）三角形”等概念（這些概念是四年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容）。因此他們是看不懂上述參考答案的。第二 、參考答案對“不同的形狀”的含義有曲解之嫌。我們知道，形狀相同（或不同）的圖形一般是指相似（或不 相似）的圖形，因此，對思考題所提“可以圍幾種不同的形狀”的問題，就應(yīng)該理解為“可以圍幾種不相似的 圖形”。而不應(yīng)該理解為“可以圍幾種不同類別的圖形”（因?yàn)橥�類別的圖形不一定同形狀。例如，圖１中的 ３個(gè)三角形是同屬“鈍角三角形”這一類圖形的，但卻不相似即不同形狀）。容易看出，參考答案就是這后一 種理解的產(chǎn)物，這樣的答案是難以令人置信的。第三、對思考題所提“可以圍幾種不同的形狀”的問題，理當(dāng) 以確切的數(shù)據(jù)給予回答，但參考答案最后卻以“可能會有很多”一言以蔽之，這也是不妥的。
    思考二 不同形狀知多少？
    前述思考題是一個(gè)頗為復(fù)雜的問題。下面我們來看，通過３個(gè)釘子可以圍幾種不同形狀即不相似的三角形 。
    為敘述方便，我們把釘子板上的釘子記為點(diǎn)Ａ［，ｉｊ］（下標(biāo)ｉ和ｊ分別為行序號和列序號，ｉ＝１， ２，…６，ｊ＝１，２，…，６。如點(diǎn)Ａ［，３２］即表示位于第三行第二列的那個(gè)釘子），并把同行（列） 相鄰兩點(diǎn)間距離設(shè)為“１”。
    可以看出，所圍三角形可分為下列幾類：
    （Ⅰ）短邊長為１的三角形
    （附圖 {圖}）
    這類三角形為數(shù)甚多是顯然的。我們關(guān)心的是：它們共有幾種不同的形狀？這可以通過尋找“代表”（每 一種形狀找一個(gè)三角形充當(dāng)“代表”）的途徑來解決。這個(gè)尋找“代表”的工作是一項(xiàng)十分細(xì)致且設(shè)計(jì)性很強(qiáng) 的工作（要保證所尋“代表”不漏不重）。此處，我們可以取以線段Ａ［，１１］Ａ［，２１］為邊、圖２中 的任一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形為“代表”。容易看出，這樣的代表共有１０個(gè)，它們是互不相似即形狀 互不相同的。并且，在短邊長為１的這一類三角形中，已不再存在形狀不同于這１０個(gè)“代表”的其它三角形 了。由此可知，這類三角形共有１０種不同的形狀。
    （附圖 {圖}）
    在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共也能找到１０個(gè)（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１２］為邊、圖 ３中任一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形以及△Ａ［，２２］Ａ［，４１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２２］Ａ［ ，６１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２３］Ａ［，５１］Ａ［，１４］、△Ａ［，２４］Ａ［，６１］Ａ［，１ ５］）。因此，這類三角形也有１０種不同的形狀。
    （附圖 {圖}）
    在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共有１２個(gè)（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１３］為邊、圖４中任 一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形以及△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］、△Ａ［，１４］Ａ［，２２ ］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，３１］Ａ［，２４］、△Ａ［，２４］Ａ［，４１］Ａ［，１６］） 。因此，這類三角形共有１２種不同的形狀。
    （附圖 {圖}）
    在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共有７個(gè)（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１４］為邊、圖５中任一 加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形以及△Ａ［，１５］Ａ［，２２］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，２３］ Ａ［，５１］）。因此，這類三角形共有７種不同的形狀。
    （附圖 {圖}）
    在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共有３個(gè)（以線段）Ａ［，３１］Ａ［，１４］為邊、圖６中任 一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形）。因此，這類三角形共３種不同的形狀。
    （附圖 {圖}）
    在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共也有３個(gè)（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１５］為邊、圖７中任 一加圈點(diǎn)“⊙”為頂點(diǎn)的三角形）。
    （Ⅶ）短邊長為５的三角形
    （附圖 {圖}）
    這類三角形只有一種形狀，圖８中的三角形是它們的“代表”。
    容易看出，通過３個(gè)釘子的三角形只有上述七類。在這七類三角形中，我們一共找到了（１０＋１０＋１ ２＋７＋３＋３＋１）即４６個(gè)“代表”�，F(xiàn)在的問題是：在這４６個(gè)代表中，盡管“同類代表”（產(chǎn)生于上 述某一類三角形中的代表）的形狀是互異的，但那些“不同類代表”（產(chǎn)生于上述某幾類三角形中的代表）的 形狀是否互異呢？細(xì)細(xì)審察可以發(fā)現(xiàn)：上述（Ⅲ）中的代表△Ａ［，１３］Ａ［，２１］Ａ［，４２］、△Ａ ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］分別與（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，２２］、△ Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，３２］相似；（Ⅴ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，３１］Ａ［，６３］和 （Ⅵ）中的代表△Ａ［，１５］Ａ［，２１］Ａ［，６２］均與（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］ Ａ［，２２］相似。因此，就上述七類三角形之總體而言，不同形狀的代表應(yīng)該是（４６—４）即４２個(gè)。
    至此即知，通過３個(gè)釘子一共可以圍４２種不同形狀的三角形。
    通過４個(gè)釘子圍圖形，情況會更復(fù)雜一些，此處就不細(xì)述了。
    思考三 如何處置這道題
    由上述討論顯而易見，將前述思考題編排在小學(xué)三年級課本中是絕對不合適的。那么，這道題究竟如何處 置為宜呢？筆者覺得，下列幾點(diǎn)意見是值得考慮的。
    （１）保持原題的文字部分，而將示意圖中的點(diǎn)由３６個(gè)改變?yōu)椋箓�(gè)（三行三列）。將這一改編題仍舊放 在前述課本的第１４４頁作思考題；
    （２）不改變示意圖，而將原題所提問題改變?yōu)椤巴ㄟ^３（或４）個(gè)釘子可以圍出哪幾類三角（或四邊） 形？”將這一改編題放在四年級第七冊課本“練習(xí)四十一”的末尾（此時(shí)，學(xué)生剛好學(xué)習(xí)了“三角形的分類” 、一般四邊形和幾種特殊四邊形等內(nèi)容）作思考題為宜；
    （３）不改變示意圖，將原題中“不同的形狀”之文字改變?yōu)椤盎ゲ幌嗨频膱D形”之文字，這一改編題（ 實(shí)為原題，文字上的一點(diǎn)變動(dòng)旨在使題意明朗而避免爭議）只能編排到某些中學(xué)（甚至大學(xué)）課外讀物上去才算適宜。

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