在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中全面培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力
要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和水平，必須全面培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力。實(shí)踐表明：在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，重 視和加強(qiáng)多樣化問題方式的設(shè)計(jì)與訓(xùn)練，重視和加強(qiáng)學(xué)生的語言訓(xùn)練和操作活動，就能把學(xué)生的單向思維活動 轉(zhuǎn)變?yōu)槿轿坏乃季S活動，并與學(xué)生的口的活動、手的活動有機(jī)地結(jié)合起來，形成一種綜合的、立體的、整體 活動，充分地挖掘?qū)W生的思維潛力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的全面發(fā)展，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和水平的目的。一、多樣化問題方式的設(shè)計(jì)與訓(xùn)練
提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和水平，必須立足于全面發(fā)展學(xué)生的思維能力，發(fā)揮全腦的功能。而加強(qiáng)多樣化的問 題方式的設(shè)計(jì)與訓(xùn)練，有利于把學(xué)生的單向思維活動轉(zhuǎn)變?yōu)槿轿坏牧Ⅲw思維活動并促進(jìn)其全面發(fā)展。
1.設(shè)計(jì)發(fā)散式問題與訓(xùn)練，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的靈活思維能力。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力靈活與否與發(fā)散思維的 水平有十分密切的關(guān)系。因此，合理地設(shè)計(jì)散式問題，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次地進(jìn)行思考，就可以培養(yǎng)和發(fā) 展學(xué)生的靈活思維能力。如教：“女生相當(dāng)于男生的7／8”這種具有發(fā)散性的應(yīng)用題時(shí)，教師就要有目的地引 導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次地進(jìn)行思考：①男生人數(shù)是女生的8／7；②男生人數(shù)比女生人數(shù)多1／7；③女生人數(shù)比 男生人數(shù)少1／8；④男生人數(shù)是男女生總數(shù)的8／15； ⑤女生人數(shù)是男女生總?cè)藬?shù)的3／15； ⑥男生人數(shù)比女 生人數(shù)多總?cè)藬?shù)的1／15……等等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中， 這類具有發(fā)散性思維的內(nèi)容很多。只要我們認(rèn)真研究 和分析，就能設(shè)計(jì)出許多發(fā)散式的問題，借以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的靈活思維能力。
2.設(shè)計(jì)陷井式問題與訓(xùn)練，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的批判思維能力。學(xué)生的創(chuàng)造能力與批判思維能力密切相關(guān)， 教師要十分注重學(xué)生的批判思維能力的培養(yǎng)與提高。比如在講三角形的內(nèi)角和是180度以后， 教師可以設(shè)計(jì)這 樣的問題：“因?yàn)橐粋�(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，那么， 把這個(gè)三角分成兩個(gè)小三角形，那么，每個(gè)小三角形 的內(nèi)角和就是180°÷2＝90°，正確嗎？”有的學(xué)生就可能回答：是正確的，而忘記了三角形的內(nèi)角和與三角 形的大小無關(guān)這一道理。教師組織學(xué)生對這些錯(cuò)例進(jìn)行分析就可以加深他們對三角形內(nèi)角和及其面積公式的正 確理解，從而培養(yǎng)和提高了學(xué)生的批判思維能力。
3.設(shè)計(jì)互逆式問題與訓(xùn)練，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的反向思維能力。學(xué)生思維能力的靈活性，與學(xué)生的反向思維 能力相關(guān)聯(lián)。為了培養(yǎng)和提高學(xué)生的反向思維能力，教師在教“小數(shù)點(diǎn)位置移動引起小數(shù)大小的變化”這個(gè)問 題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生對小數(shù)點(diǎn)位置移動引起小數(shù)大小的變化進(jìn)行觀察、比較，得出結(jié)論：“小數(shù)點(diǎn)向右移動一 位、兩位、三位……原來的數(shù)就會擴(kuò)大10倍、100倍、1000倍……”，那么， 反過來又會怎樣呢？學(xué)生會很快 地回答：“小數(shù)點(diǎn)向左移動一位、兩位、三位……原來的數(shù)就會縮小10倍、100倍、1000倍……�！痹陬惔说乃� 維訓(xùn)練中， 學(xué)生的思維活動始終處在順向和反向的積極調(diào)度的過程之中，得到良好的逆向思維的訓(xùn)練。
4.設(shè)計(jì)變式問題與訓(xùn)練，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的概括抽象思維能力。變式問題，指的是同一個(gè)道理，可以從不 同的角度去提問題。如引導(dǎo)學(xué)生分析如下三個(gè)方面的問題，以及它們之間的關(guān)系：①完成一件工作，甲要1／2 小時(shí)，乙要1／3小時(shí)，如果甲乙兩人合作，需要多少小時(shí)完成；②一列快車從甲地到乙地要6小時(shí)，一列慢車從 乙地到甲地要8小時(shí)，現(xiàn)在兩車分別從甲乙兩地同時(shí)相向而行，幾小時(shí)可以相遇？③學(xué)校用筆經(jīng)費(fèi)添置課桌椅， 可購40張單人課桌或60把課椅，現(xiàn)在要課桌椅配套添置，這筆錢可購置多少套？這幾道題從表面上看，它們分 別是工程問題、行程問題和單價(jià)、總價(jià)、數(shù)量問題，學(xué)生在對它們進(jìn)行仔細(xì)地分析和比較后，就可以概括抽象 出它們之間的共同道理及其相互關(guān)系，并能以此解答和推及其它與之相關(guān)的其它數(shù)學(xué)問題。
5.設(shè)計(jì)導(dǎo)向式問題與訓(xùn)練、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的敏捷思維能力。學(xué)生思維的敏捷性的發(fā)展，與教師設(shè)計(jì)的導(dǎo) 向式問題是否恰當(dāng)有十分密切的關(guān)系。例如，教師在復(fù)習(xí)除數(shù)是整數(shù)除法和商不變性質(zhì)以后轉(zhuǎn)入新課，在講授 新課：“小數(shù)點(diǎn)的除法”時(shí)，就可以設(shè)計(jì)出導(dǎo)向式的問題：“除數(shù)0.14是小數(shù)，能不能把它變成整數(shù)，而其商 的大小不變呢？這一導(dǎo)向式問題的提出，學(xué)生完全可以根據(jù)商不變的性質(zhì)把除數(shù)0.14和被除數(shù)3.22同時(shí)擴(kuò)大10 0倍， 迅速地將除數(shù)是小數(shù)的除法是整數(shù)的除法來進(jìn)行計(jì)算。
6.設(shè)計(jì)相近式問題與訓(xùn)練，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的類比思維能力。要使學(xué)生的新知識與原有知識結(jié)構(gòu)得到發(fā)展 與提高，還必須加強(qiáng)學(xué)生的類比思維能力的培養(yǎng)與提高。如講授“異分母分?jǐn)?shù)加減法”之前，必須復(fù)習(xí)一下整 數(shù)加減法、小數(shù)加減和同分母分?jǐn)?shù)加減法的內(nèi)容，并把它們歸屬到一個(gè)知識整體中去。然后引導(dǎo)他們概括出加 減式題都必須計(jì)數(shù)單位（或分?jǐn)?shù)單位）相同才能直接相加減的道理。在講新課時(shí)，可以設(shè)計(jì)出相近式問題：① 異分母分?jǐn)?shù)加減法能直接相加減嗎？為什么？②異分母分?jǐn)?shù)加減法首先要怎樣？③怎樣把異分母分?jǐn)?shù)化成同分 母分?jǐn)?shù)？通過這種相近式的問題地逐一思考，學(xué)生就會很自然地進(jìn)行類比思維：異分母分?jǐn)?shù)相加減→分?jǐn)?shù)單位 不同不能直接加減→化成同分母分?jǐn)?shù)→通分→相加減。
7.設(shè)計(jì)探究式問題，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。創(chuàng)造性思維能力是指學(xué)生重新組織已有知識、經(jīng)驗(yàn) ，提出新的解題方案或程序，并創(chuàng)造新的思維成果。如獨(dú)特的見解、新穎的解法等等，都是創(chuàng)造性思維的突出 標(biāo)志。而這些創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生都不同程度地來源于教師設(shè)計(jì)的探究式問題的啟示與導(dǎo)引。如教師可讓學(xué)生去 思考：“有兩根同樣長的鋼材，第一根用去它的2／5，第二根用2／5米，剩下的那一段長？為什么？”這道題 按“常規(guī)”解，要求剩下的鋼材哪一段長，必須先知道兩根鋼材原來有多長與分別用去多少米。但鋼材原長不 知道，這題似乎不能解了。這時(shí)教師就應(yīng)設(shè)計(jì)探究式問題來啟發(fā)學(xué)生，在怎樣的條件下，用去鋼材會一樣長？ 又在怎樣的條件下，用去的鋼材不一樣長？這種探究式問題的提出，就能充分地調(diào)動學(xué)生探索問題的積極性， 促使學(xué)生去積極思考和探索，最后找到了解答此問題的新穎方案。
二、加強(qiáng)學(xué)生的語言訓(xùn)練
思維是語言的內(nèi)容，而語言是思維的外在表現(xiàn)形式。加強(qiáng)學(xué)生語言訓(xùn)練，不僅能提高學(xué)生的口頭表達(dá)能力 ，而且有利于促進(jìn)學(xué)生的思維能力的發(fā)展。
1.加強(qiáng)學(xué)生對自己解題步驟和思路的解說訓(xùn)練。如教師在引導(dǎo)學(xué)生做一般應(yīng)用題時(shí)，可先讓學(xué)生審理，指 出它的已知條件和所求，并分析題中的數(shù)量關(guān)系，有理有據(jù)地確定解題思路，然后要求學(xué)生用清楚、準(zhǔn)確和有 條理的語言把它表達(dá)出來。如在引導(dǎo)學(xué)生做“美霞服裝加工廠計(jì)劃做670套衣服，已經(jīng)做了4.5天，平均每天做 82套，剩下的要在3.5 天里做完，平均每天做多少套？”這道應(yīng)用題時(shí)，可以先讓學(xué)生審題，指出已知條件和 所求。學(xué)生經(jīng)過分析后指出：“670套”是總的工作量，“4.5天”是已經(jīng)完成的工作時(shí)間，“82 套”是開始工 作時(shí)的工作效率。“3.5天”是剩下的工作量時(shí)間，這些都是本題的已知條件。 而本題所求，即是剩下的工作 所使用的工作效率。接著要求學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系，確定解題思路，即第一步，求已經(jīng)完成的工作量，根 據(jù)工作總量等于工作效率乘以工作時(shí)間，所以列式是82×4.5＝369（套）；第二步，是求剩下的工作量， 用總 的工作量減去已完成的工作量， 列式是670減去已經(jīng)完成的工作量，求出的剩余的工作量； 第三步是求平均每 天做多少套，即剩余的工作量所用的工作效率，列式是：剩下的工作總量除以3.5天，求出的結(jié)果就是剩下的平 均每天做多少套。 最后要求學(xué)生把解這道應(yīng)用題的整個(gè)步驟和思路用清楚、準(zhǔn)確的語言有條有理地口述出來。 這就可以把語言的訓(xùn)練與促進(jìn)學(xué)生的思維能力的發(fā)展巧妙地結(jié)合起來。
2.加強(qiáng)學(xué)生解說他人解題思路的訓(xùn)練。教師在引導(dǎo)學(xué)生做應(yīng)用題時(shí)，還要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析和解說他人 解答應(yīng)用題的思路，才能拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性。例如，“一個(gè)班有45個(gè)學(xué)生，有一 天帶圓珠筆的10人，帶鋼筆的42人，兩種筆都沒帶的有1人， 問兩種筆都帶的有多少人？”這道應(yīng)用題，他人 有三種列式：
①10＋42－（45－1）＝8（人）
②10－〔（45－1）－42〕＝8（人）
③42－〔（45－1）－10〕＝8（人）
在要求學(xué)生根據(jù)上述各算式分析和解說他人解題思路的時(shí)候，一定要根據(jù)自己對題目的理解，根據(jù)題中的 已知條件和所求的問題，結(jié)合算式正確解說每一種解題思路，即做題的人是怎樣想的？在進(jìn)行這種訓(xùn)練時(shí)，有 一定的難度，但我們可以把一個(gè)班劃分為若干小組，進(jìn)行討論式的解說。即在共同討論的基礎(chǔ)上，以個(gè)人解說 為主，他人給以糾正和補(bǔ)充，直到解說清楚、明白、準(zhǔn)確為止。這種集體和個(gè)人相結(jié)合的解說，不僅克服了多 數(shù)學(xué)生做題只求一解的惰性，而且有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，擴(kuò)大學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生思維的廣 闊性。
3.學(xué)會和加強(qiáng)解說學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練。重視學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和加強(qiáng)解說學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，可以把學(xué)生思維能 力的發(fā)展推向一個(gè)更高的境界。比如在上幾何平面圖的面積公式的推導(dǎo)時(shí)，可先進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，即讓學(xué) 生先復(fù)習(xí)已學(xué)過的有關(guān)知識，再通過直觀操作推導(dǎo)出新的公式，最后讓學(xué)生解說清楚這種推導(dǎo)方法及其道理。 例如，教師在講授三角形的面積公式的推導(dǎo)時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平行四邊形的面積公式，然后讓學(xué)生用剪好的 兩個(gè)同底同高完全相等的三角形進(jìn)行直觀操作拼成一個(gè)平行四邊形。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：三角形的底和高跟拼成的平行 四邊形的底和高完全相等，三角形的面積正好是平行四邊形面積的一半。從而推導(dǎo)出三角形的面積等于平行四 邊形面積的一半，即平行四邊形的底乘以高÷2。最后，再要求學(xué)生解說清楚這種解題方法及其為什么要除以2 的道理。這不僅教給了學(xué)生以舊識新的十分重要的學(xué)習(xí)方法，而且還把學(xué)生的思維能力的發(fā)展推向了一個(gè)更高 的層次，“進(jìn)入自尋信息的境界”。
三、加強(qiáng)學(xué)生操作活動訓(xùn)練與指導(dǎo)
古語有云“心靈手巧�！闭f明了手和腦之間相互制約、相互促進(jìn)的內(nèi)在聯(lián)系。因而加強(qiáng)學(xué)生的操作訓(xùn)練和 指導(dǎo)，不但可以發(fā)展學(xué)生動手操作的能力，而且可以發(fā)展學(xué)生的思維能力。其具體做法有如下三個(gè)方面：
1.引導(dǎo)學(xué)生操作，探索新知。教師在教學(xué)中要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)操作程序和方法 ，展現(xiàn)知識的形成過程，突出重點(diǎn)、突破難關(guān)，使學(xué)生獲得新知，促進(jìn)思維能力的發(fā)展。如在講授“三角形內(nèi) 角和”時(shí)，可以采用激疑法，讓學(xué)生分別畫一個(gè)直角、鈍角、銳角三角形，并量出每個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù) ，寫在相應(yīng)的角上。然后讓學(xué)生任意報(bào)出三角形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，教師便很快說出第三個(gè)角的度數(shù)，這將激 使學(xué)生對探索新知識產(chǎn)生強(qiáng)烈的欲望。在此基礎(chǔ)上，再通過學(xué)生算一算（把三個(gè)內(nèi)角度數(shù)相加）、拼一拼（把 三個(gè)內(nèi)角撕下來拼在一起）、折一折（把三個(gè)內(nèi)角折成一個(gè)半角）等等的操作過程，就能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識到 三角形的內(nèi)角和是180度。 為了進(jìn)一步加深學(xué)生對新知識的理解，還可以讓學(xué)生動手把一個(gè)大三角形剪成兩個(gè) 小三角形，讓學(xué)生回答這兩個(gè)小三角的內(nèi)角和分別是多少度？使深刻認(rèn)識三角形的內(nèi)角和與三角形的大小無關(guān) 的道理。這個(gè)過程，實(shí)質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生把動手操作的過程內(nèi)化為思維活動的過程，從而實(shí)現(xiàn)該過程的質(zhì)的飛躍， 促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。
2.指導(dǎo)學(xué)生操作，化新為舊。在數(shù)學(xué)中，教師要善于抓住知識的生長點(diǎn)、連接點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生從已知出發(fā)， 通過操作尋找出解決新問題的途徑。例如在講授“梯形面積”時(shí)，可要求每一個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備兩個(gè)大小相同的梯形 ，并引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生利用自己掌握的平面圖形（長方形、正方形、三角形、平行四邊形）的面積公式，通過直 觀操作推導(dǎo)出梯形的面積公式。這種直觀操作的推導(dǎo)分為三步：第一步，啟發(fā)學(xué)生把梯形拼成或剪成已學(xué)過的 平面圖（拼成平行四邊形或剪成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形）；第二步再引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較原梯形 的各元素與拼剪后得到的平面圖形各元素之間的關(guān)系，以及它們與面積之間的關(guān)系；第三步再啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生 利用已學(xué)過的平面圖形的面積公式，通過直觀操作，推導(dǎo)出梯形的面積公式。通過以上這種有序的操作，學(xué)生 手腦并用，不僅可以推導(dǎo)出梯形的面積公式，而且可以促使學(xué)生推理能力的提高。
3.借助操作活動，揭示規(guī)律。在教學(xué)中教師還可以通過指導(dǎo)學(xué)生操作來揭示知識的規(guī)律。例如在講授分?jǐn)?shù) 的基本性質(zhì)時(shí)，可以要求每個(gè)學(xué)生用六張大小相同的長方形紙條，分別用陰影表示它的3／4、6／8、 9／12， 然后剪下來，重疊在一起，學(xué)生就可以發(fā)現(xiàn)：雖然三張長方形紙條平均分的份數(shù)和所取的份數(shù)各不相同，但剪 下的部分是相等的。接著還可以讓學(xué)生用剪好的三個(gè)等圓分別取各圖的1／2、4／8、6／12， 再將所取得的部 分涂上顏色，學(xué)生又會發(fā)現(xiàn)與上相同的情況。接著，教師出示如下幾組算式讓學(xué)生填空：
3 3×（ ） 6 3 3×（ ） 9
①──＝─────＝── ──＝─────＝──
4 4×（ ） 8 4 4×（ ） 12
6 6÷（ ） 3 9 9÷（ ） 3
②──＝─────＝── ──＝─────＝──
8 8÷（ ） 4 12 4÷（ ） 4
1 1×（ ） 4 1 1×（ ） 6
③──＝─────＝── ──＝─────＝──
2 2×（ ） 8 2 2×（ ） 12
4 4÷（ ） 1 6 6 ÷（ ） 1
④──＝─────＝── ──＝─────＝──
8 8÷（ ） 2 12 12÷（ ） 2
由此，教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對上述幾組算式進(jìn)行觀察、比較、分析，就會比較順利地概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) 的結(jié)論。通過操作揭示知識的規(guī)律性，不但有助于學(xué)生對知識的理解和鞏固，還為學(xué)生思維的準(zhǔn)確性、靈活性的訓(xùn)練提供了良好的機(jī)會。
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