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一堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)探究課——“探索勾股定理”教學(xué)案例
浙江金華市磐安縣 尖山鎮(zhèn)中 陳永平“嗬，這堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)探究課真是意想不到！沒(méi)想到新課程熏染出來(lái)的學(xué)生動(dòng)手操作能力這么強(qiáng)，想象力那么豐富，不可小看他們……”一旦我回味起那堂課，耳邊止不住地響起我當(dāng)時(shí)贊嘆的話。那堂課我雖沒(méi)有完成預(yù)設(shè)目標(biāo)，但同學(xué)們的動(dòng)手操作能力和想象力出乎我的意料，令我驚喜、喟嘆！
那是2005學(xué)年的第一堂課——1.1探索勾股定理（北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)）。我很擔(dān)心學(xué)生對(duì)這節(jié)內(nèi)容缺乏直觀認(rèn)識(shí)，生怕學(xué)生第一節(jié)課就遇到困難，失去信心。我精心地設(shè)計(jì)了教學(xué)方案，一遍又遍地溫習(xí)本堂課的兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)和同學(xué)們一起探索勾股定理的來(lái)歷，為學(xué)生提供合情推理的意識(shí)，讓學(xué)生感知直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系；第二環(huán)節(jié)鞏固勾股定理，為激發(fā)興趣，讓學(xué)生富有激情地應(yīng)用勾股定理，設(shè)計(jì)了精彩的富有生活氣息的數(shù)學(xué)實(shí)例，制作了多個(gè)全等的直角三角形和大小相同、不同的正方形，并把課堂移到了多媒體教室……。
第一環(huán)節(jié)按照預(yù)設(shè)學(xué)生積極地探索著：
1、數(shù)格子
觀察圖1－1
正方形A中含有_____個(gè)小方格，即A的面積是_____個(gè)單位面積；
正方形B中含有_____個(gè)小方格，即B的面積是_____個(gè)單位面積；
正方形C中含有_____個(gè)小方格，即C的面積是_____個(gè)單位面積。
觀察圖1－2，
正方形A，B，C中各含有多少個(gè)小方格？
正方形A，B，C的面積各是多少？
（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）
再觀察圖1－3、圖1－4
2、議一議
（1）你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？
（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？
（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度。（2）中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？
通過(guò)以上兩個(gè)步驟學(xué)生經(jīng)歷了勾股定理的探究過(guò)程，很快發(fā)現(xiàn)了勾股定理：
如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 ，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
3、拼圖驗(yàn)證
用4個(gè)全等的直角三角形拼成如下圖形，通過(guò)討論學(xué)生很快驗(yàn)證了勾股定理：
由面積計(jì)算可得
展開(kāi)得
化間得
我正準(zhǔn)備過(guò)度到第二環(huán)節(jié)時(shí)……�！袄蠋�，把圖中的直角三角形翻轉(zhuǎn)一下，也可驗(yàn)證勾股定理。”一個(gè)學(xué)生一邊說(shuō)，一邊已走上講臺(tái)。這是平時(shí)被我養(yǎng)成的一個(gè)“壞習(xí)慣”，在學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)了什么問(wèn)題，未經(jīng)老師同意就可上講臺(tái)表演。這個(gè)學(xué)生是班里的“大炮”，直性子，頭腦靈活，反映速度敏捷，他叫張挺挺。他拿著手中拼成的圖形先展示給全班學(xué)生，并哧哧哧地在黑板上畫(huà)出了下列圖形，寫(xiě)上了驗(yàn)證過(guò)程。
由面積計(jì)算可得
展開(kāi)得
化簡(jiǎn)得
他那嫻熟的技巧我不禁暗暗叫絕，一陣掌聲響起，得到了大家稱(chēng)贊。
“還可以這樣拼�！睌�(shù)學(xué)課代表張慧慧那清脆的聲音在教室想起，她性格有點(diǎn)犟，有較強(qiáng)的管理能力，我班數(shù)學(xué)成績(jī)之所以不錯(cuò)，也有她的一份功勞。我本想不叫她，但想到她平時(shí)每堂課都非要表現(xiàn)一回（班內(nèi)學(xué)生積極發(fā)言離不開(kāi)她的帶頭作用），否則心理就不舒坦的樣子。為不影響她第一堂課的積極性，于是，我還是請(qǐng)她上來(lái)。
“將兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)梯形就可以驗(yàn)證，一邊說(shuō)一邊已畫(huà)出了圖形，并寫(xiě)上了驗(yàn)證過(guò)程：
由面積計(jì)算可得
展開(kāi)得
化簡(jiǎn)得
展示后興奮地說(shuō)：“這是美國(guó)總統(tǒng)的拼證法�！币痪湓捯萌嗤瑢W(xué)哄堂大笑�！皝y說(shuō)，她亂說(shuō)”，同學(xué)們七嘴八舌的議論著，表示不信�！安�！這是我在網(wǎng)上學(xué)到的，昨天晚上我為了把今天的數(shù)學(xué)課學(xué)好，先預(yù)習(xí)了課本，后又查了電腦，剛才老師拼的圖是古代一位印度人的拼證法，張挺挺拼的圖實(shí)際上是我國(guó)古代趙爽的拼證法”她又委屈又自豪地說(shuō)。
聽(tīng)到慧慧同學(xué)如此肯定的語(yǔ)句，同學(xué)們驚訝了，但從他們的眼神中看出還是半信半疑，當(dāng)我點(diǎn)頭肯定她的說(shuō)法時(shí)，張挺挺跳了起來(lái)大聲喊道：“我是趙爽！”當(dāng)時(shí)的他那興奮的情景真是無(wú)法想象，全體同學(xué)那熱烈的掌聲時(shí)常在我的腦海里響著。我心中暗喜：一位剛進(jìn)入初二的學(xué)生竟知道了這么許多，有這樣的鉆研精神，真令人贊賞、敬佩。
此時(shí)，時(shí)間已過(guò)去了一大半，可班內(nèi)這陣勢(shì)，這氣氛，真使我無(wú)法轉(zhuǎn)向第二個(gè)環(huán)節(jié)。我猛然想起，這不就是培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力嗎？這種生成的機(jī)遇若不抓住，何等的可惜。于是，我順?biāo)浦郏骸斑�有別的拼法嗎？”
平時(shí)言語(yǔ)不多的胡碧瑩上來(lái)了。她一口氣流利地?cái)⑹隽艘韵逻^(guò)程：
把圖甲中的4個(gè)直角三角形移位，成為圖乙。因?yàn)閳D甲與圖乙兩個(gè)大正方形的面積相等，所以：
甲正方形的面積
乙正方形的面積
∴
甲 乙
她展示后，把眼睛的視線投向了張慧慧，意思是說(shuō)，這又是古代什么人拼的？張慧慧沒(méi)有回答上來(lái)。我告訴她說(shuō)：這是我國(guó)西周開(kāi)國(guó)時(shí)期的“商高”發(fā)現(xiàn)的。此時(shí)，同學(xué)們大聲地喊出：“胡碧瑩是商高”！喜悅的胡碧瑩帶者對(duì)老師敬佩的笑容回到了座位。
頑皮的張漢陽(yáng)、張剛彪同時(shí)走上了講臺(tái)，又引發(fā)了同學(xué)們的哄堂大笑，他們不約而同地模仿胡碧瑩方法，將張挺挺拼成的圖作了如下移位：
用同樣的方法驗(yàn)證了勾股定理。
同學(xué)們還在熱烈的探索著，不知誰(shuí)叫了一聲“下課了”！我看了一下手表，已超過(guò)2分多鐘了……
于是，我趕緊“急剎車(chē)”，鼓勵(lì)一番后說(shuō)：“人類(lèi)對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)，少說(shuō)也有5000多年，到目前為止已有400多種驗(yàn)證方法，我們本節(jié)課探索的只是幾種方法，而我國(guó)是發(fā)現(xiàn)勾股定理最早的國(guó)家之一。”
��！“勾股定理”真有趣！我國(guó)的古人真棒！隨著一聲聲喜悅的贊嘆聲轉(zhuǎn)向了下一堂課。
教學(xué)反思
這的確是一堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)探究課，我原本準(zhǔn)備先探索、驗(yàn)證勾股定理，接著鞏固應(yīng)用，時(shí)間分配各一半。誰(shuí)知學(xué)生卻發(fā)現(xiàn)了這么許多驗(yàn)證勾股定理的拼證法，讓我實(shí)在始料不及，現(xiàn)在回憶起來(lái)慶幸當(dāng)時(shí)調(diào)整教學(xué)思路，改變教學(xué)方式，圍繞學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題展開(kāi)探究。本案例滿(mǎn)足了學(xué)生的探究欲望，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給了學(xué)生，生成了新型的師生關(guān)系，讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神和動(dòng)手操作能力，給了我和學(xué)生許多意想不到的收獲。
1、滿(mǎn)足學(xué)生的探究欲望
新課程強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，預(yù)設(shè)是為了更好的生成。蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“教育的技巧并不在于能預(yù)見(jiàn)的細(xì)節(jié)，而在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺(jué)中做出了相應(yīng)的變動(dòng)”。本案例滿(mǎn)足學(xué)生的探究欲望，針對(duì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行探索，學(xué)生表現(xiàn)出來(lái)的探究熱情空前高漲，課堂氣氛異�；钴S，知識(shí)掌握根深蒂固，而且拼圖和驗(yàn)證的模型比老師預(yù)先設(shè)計(jì)的更有創(chuàng)造性，更能充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)探索以及發(fā)現(xiàn)之后的快感和樂(lè)趣。
2、體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣
蘇霍姆林斯基說(shuō)得好：“教師如果不想方設(shè)法使學(xué)生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，而且是不動(dòng)情感的腦力勞動(dòng)，就會(huì)帶來(lái)疲倦，處于疲倦狀態(tài)下的頭腦，是很難有效地吸收知識(shí)的�！北景咐龔拈_(kāi)頭用數(shù)格子的辦法探究勾股定理，再利用學(xué)生自己通過(guò)拼圖發(fā)現(xiàn)驗(yàn)證勾股定理，處處體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，每時(shí)每刻將學(xué)生吸引在課堂探究之中，心情激奮，興趣濃厚。
3、學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生
以往的學(xué)生常常是一種被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)方式，學(xué)生很少能通過(guò)自己的探索來(lái)獲取知識(shí)；學(xué)生很少有根據(jù)自己的見(jiàn)解發(fā)表看法與意見(jiàn)的機(jī)會(huì)。課堂的一切被老師占有，成了教學(xué)活動(dòng)的控制者。而本案例給學(xué)生提供了自主探索、合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，把課堂還給了學(xué)生，教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)者、組織者和學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的促進(jìn)者、合作者，關(guān)注的是在課堂上學(xué)生做了些什么，說(shuō)了些什么，想了些什么，學(xué)會(huì)了什么和感受了什么，使學(xué)生真正成為課堂活動(dòng)的主人
4、對(duì)教師教學(xué)能力的挑戰(zhàn)
在生成性的課堂中，學(xué)生不少的創(chuàng)新思維常常使教師意想不到，雖然這些竟想不到的問(wèn)題，有時(shí)不一定是最優(yōu)的，但對(duì)學(xué)生而言往往是最有效的，最具有針對(duì)性的，而對(duì)教師而言，要圓滿(mǎn)解答好這些問(wèn)題，對(duì)教師的教學(xué)能力和教學(xué)機(jī)智是一次很好的挑戰(zhàn)，促使教師努力鉆研業(yè)務(wù)，在素質(zhì)提升工程中刻苦學(xué)習(xí)。
5、改變教師的教學(xué)方式
在傳統(tǒng)的教學(xué)論中，“課程”被理解為規(guī)范性的教學(xué)內(nèi)容，具有專(zhuān)制性，是在教學(xué)過(guò)程之前教學(xué)情境之外預(yù)先規(guī)定的，教學(xué)過(guò)程就是忠實(shí)而有效的傳遞過(guò)程。在這種背景下，教師只要把功夫花在課前，課堂上一般很省心，不會(huì)出現(xiàn)什么閃失，很多教師怕學(xué)生的提問(wèn)打亂了自己的教學(xué)方寸，耽誤了教學(xué)進(jìn)程，總是盡可能將學(xué)生的思維壓制在預(yù)先設(shè)計(jì)好的框架內(nèi)，追求一種表面的默契，特別是一些公開(kāi)課上，即使是教師有時(shí)問(wèn)一問(wèn)學(xué)生：還有別的想法和意見(jiàn)嗎？也基本上是一種點(diǎn)綴性的設(shè)問(wèn)，其實(shí)內(nèi)心卻是不情愿出現(xiàn)什么意外，殊不知，這種一味保全教學(xué)環(huán)節(jié)完整的做法，喪失的卻是師生的生命力，主體性的發(fā)揮，如果深層次地想一想，我們?cè)谡n堂上究竟是立足于教會(huì)學(xué)生什么，還是立足于學(xué)生會(huì)學(xué)？本案例只要有心人去細(xì)心領(lǐng)會(huì)，就明白了在新課程理念如何改變教師的教學(xué)方式，把握好教師的教與學(xué)生的學(xué)。
2006年3月
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