發(fā)揮計(jì)算機(jī)的潛力 推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革
計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)我們生活的各個(gè)方面都產(chǎn)生了巨大的沖擊，我們很難想象一個(gè)組織機(jī)構(gòu)在運(yùn)做中不使用計(jì)算機(jī)。在百貨商店，帶條形碼掃描儀的計(jì)算機(jī)可以讓我們更快地結(jié)帳；當(dāng)我們?nèi)タ醋闱虮荣悤r(shí)，我們能夠看到計(jì)算機(jī)控制的記分牌；汽車引擎系統(tǒng)和儀器面板都是由計(jì)算機(jī)控制的；有很多人已經(jīng)開始使用個(gè)人計(jì)算機(jī)來管理家庭的日常收支、管理名片、打印信封、給朋友發(fā)送電子郵件、甚至上網(wǎng)玩拱豬游戲。在學(xué)校，計(jì)算機(jī)的普及率也在逐步提高。在美國，1994年底已經(jīng)使用1810萬臺(tái)教育計(jì)算機(jī)，其中620萬臺(tái)直接進(jìn)入了中小學(xué)，98%的中小學(xué)已經(jīng)在不同程度上使用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，全美小學(xué)、初中、高中在校人數(shù)與計(jì)算機(jī)的比率分別為15∶1、14∶1、10∶1。在我國，中小學(xué)計(jì)算機(jī)的普及率也在逐步提高，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，截止1996年，在我國近80萬所中小學(xué)中，已有3~4萬所配置了不同檔次的計(jì)算機(jī)40萬臺(tái)，許多學(xué)校還配備了網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)教室。但實(shí)際上真正在課堂上使用計(jì)算機(jī)的教師卻很少，計(jì)算機(jī)教室成了打字室。這種情況在發(fā)達(dá)國家也是如此。比如日本高中計(jì)算機(jī)普及率達(dá)99.7%，但教師愿意在課堂上使用的也僅占18.7%。造成這種情況有許多原因，如有的教師對(duì)CAI持懷疑態(tài)度，或由于對(duì)新技術(shù)的陌生而不愿意嘗試，還有教學(xué)軟件的缺乏，現(xiàn)有的教學(xué)軟件質(zhì)量不高等。在21世紀(jì)，計(jì)算機(jī)必然在數(shù)學(xué)教育中發(fā)揮重要作用，因此，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分地發(fā)揮計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)，已成為數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化和數(shù)學(xué)教改的現(xiàn)實(shí)課題了。
本文將根據(jù)計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)及它與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)系談?wù)劰P者對(duì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用計(jì)算機(jī)的幾點(diǎn)看法。
一、數(shù)學(xué)教學(xué)中如何更好地應(yīng)用計(jì)算機(jī)
目前，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和教學(xué)軟件數(shù)量的增加，數(shù)學(xué)CAI也在逐步開展，許多地區(qū)、學(xué)校都在進(jìn)行CAI實(shí)驗(yàn)。但是，根據(jù)目前學(xué)校、學(xué)生擁有計(jì)算機(jī)的狀況以及教師對(duì)于計(jì)算機(jī)的熟悉程度，目前的應(yīng)用還只是初步的，利用CAI的數(shù)學(xué)課還是比較少，大多也只是講一講公開課，而缺乏大范圍的、系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)CAI課中，教師該如何組織課堂教學(xué)，如何發(fā)揮主導(dǎo)作用，學(xué)生在CAI課堂上的認(rèn)知過程如何等等，都只有通過實(shí)驗(yàn)才能回答。另外，通過實(shí)驗(yàn)，尋找數(shù)學(xué)CAI的切入點(diǎn)，也是發(fā)展數(shù)學(xué)CAI所必須的。因此，在今后的數(shù)學(xué)課中，有條件的地方應(yīng)盡可能多地使用計(jì)算機(jī)，解決傳統(tǒng)教學(xué)做不好的事情，這應(yīng)作為教學(xué)改革的重要內(nèi)容。下面根據(jù)不同的計(jì)算機(jī)軟件的特點(diǎn)，談?wù)動(dòng)?jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。
1．用計(jì)算機(jī)進(jìn)行課堂演示
在這種模式下，計(jì)算機(jī)作為指導(dǎo)者，是將傳統(tǒng)教學(xué)過程中教師通過黑板、投影片、教具模型等媒體展示的各種信息，由計(jì)算機(jī)加工成文字、圖形、影象等資料，并進(jìn)行一些必要的處理（如動(dòng)畫），將這些資料組織起來。課堂教學(xué)時(shí)，可以將計(jì)算機(jī)與大屏幕投影電視連接起來，也可以在網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)教室中進(jìn)行。利用這種模式進(jìn)行課堂教學(xué)，在較短的時(shí)間內(nèi)，計(jì)算機(jī)使學(xué)生多種感官并用，提高對(duì)信息的吸收率，加深對(duì)知識(shí)的理解，因而可以做到更高密度的知識(shí)傳授，大大提高課堂利用率。
例如，對(duì)于三角形“三線合一”的教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)因較難展現(xiàn)其發(fā)現(xiàn)過程，從而造成學(xué)生對(duì)其不好理解。利用計(jì)算機(jī)，可以在屏幕上作出斜三角形ABC及其角A的平分線、BC邊的垂直平分線和中線，之后用鼠標(biāo)在屏幕上隨意拖動(dòng)點(diǎn)A，利用軟件功能，此時(shí)三角形ABC和“三線”在保持依存關(guān)系的前提下隨之發(fā)生變化。在移動(dòng)的過程中，學(xué)生會(huì)直觀地發(fā)現(xiàn)存在這樣的點(diǎn)A，使得角平分線、垂直平分線和中線三線重合。再如，對(duì)于圓周率的概念的教學(xué)，利用CAI，可以對(duì)圓周進(jìn)行展開，同時(shí)跟蹤測(cè)量圓周長和圓半徑，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓周長與圓半徑的比是一個(gè)定值。由于實(shí)驗(yàn)中圓可以隨意變化，學(xué)生很容易接受π的存在。
利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行課堂演示，通過精心設(shè)計(jì)的動(dòng)畫、插圖和音頻等，可以使抽象深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)以簡(jiǎn)單明了、直觀的形式出現(xiàn)，縮短了客觀事物與學(xué)生之間的距離，更好地幫助學(xué)生思考知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。計(jì)算機(jī)的動(dòng)態(tài)變化可以將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，把運(yùn)動(dòng)和變化展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生由形象的認(rèn)識(shí)提高為抽象的概括，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣會(huì)起到很好的效果。同時(shí)，在這里也應(yīng)注意，計(jì)算機(jī)的演示只能是幫助學(xué)生思考，而不能代替學(xué)生的思考，教師應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)?shù)慕o予提示，結(jié)合計(jì)算機(jī)的演示幫助學(xué)生完成思考過程，形成對(duì)概念的理解。
2．利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)
在信息技術(shù)環(huán)境發(fā)展的背景下，我們傳統(tǒng)的教育思想也應(yīng)當(dāng)發(fā)生轉(zhuǎn)變。發(fā)展以學(xué)生為中心進(jìn)行合作學(xué)習(xí)的思想，發(fā)展以問題共同解決為中心的思想，發(fā)展以培養(yǎng)能力為中心，強(qiáng)調(diào)終身學(xué)習(xí)的思想。問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，所以對(duì)解題的教學(xué)歷來受到教師的重視，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育更是強(qiáng)調(diào)要進(jìn)行“問題解決”，在解決問題過程中鍛煉思維、提高應(yīng)用能力。而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育由于多方面的限制，片面強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)演繹推理的一面，忽視了數(shù)學(xué)作為經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的一面�，F(xiàn)在，計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的處理能力為數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)提供了可能，它的動(dòng)態(tài)情境可以為學(xué)生“做”數(shù)學(xué)提供必要的工具與手段，使學(xué)生可以自主地在“問題空間”里進(jìn)行探索，來做“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。教師可以將更多的探索、分析、思考的任務(wù)交給學(xué)生去完成。
在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，可考慮把學(xué)生分成2~3個(gè)人一個(gè)小組，每組共用一臺(tái)計(jì)算機(jī)。教師提供問題，學(xué)生利用計(jì)算機(jī)提供的環(huán)境，積極思考、討論，動(dòng)手演算，解答這個(gè)問題。教師要深入每一個(gè)小組中參加討論，觀察其進(jìn)程，了解遇到的問題并及時(shí)解答，對(duì)有共性的問題組織全班討論或講解，努力在全班創(chuàng)設(shè)一種研究探索的學(xué)術(shù)氣氛。
例如，幾何畫板提供了一個(gè)十分理想的讓學(xué)生積極的探索問題的“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境，學(xué)生完全可以利用它來做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這樣就能在問題解決過程中理解和掌握抽象的數(shù)學(xué)概念，使得學(xué)生獲得真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而不僅僅是一些抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論。目前，在這方面已經(jīng)有了一些有益的嘗試。如’98全國計(jì)算機(jī)輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課例展評(píng)、交流、研討活動(dòng)中，北京師大附中的一個(gè)課例“求圓內(nèi)接三角形面積的最大值”，就是在電腦網(wǎng)絡(luò)教室里，讓學(xué)生利用幾何畫板，自己在動(dòng)態(tài)變化中觀察靜態(tài)圖形的變化規(guī)律，對(duì)圖形進(jìn)行定量的研究，通過交流、討論，最終得到問題的解答，其中有一個(gè)解法是教師在備課時(shí)也未想到的。1995年夏季學(xué)期，兩個(gè)美國初中二年級(jí)學(xué)生David Goldeheim和Dan Litchfiled應(yīng)用幾何畫板發(fā)現(xiàn)了又一種任意等分線段的方法；東北育才學(xué)校一名學(xué)生發(fā)現(xiàn)了廣義蝴蝶定理。拋開這些問題自身的意義不說，他們處理問題的過程（猜測(cè)，驗(yàn)證，論證），對(duì)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)也是一種啟示。
在這種小組合作學(xué)習(xí)的模式下，教師在教室里的角色更象學(xué)生的輔導(dǎo)者或幫助者。他們?cè)O(shè)置環(huán)境，幫助學(xué)生提出問題并進(jìn)行探索，刺激學(xué)生解答問題，并為學(xué)生提供他們需要使用的工具與資源，以便學(xué)生能夠建構(gòu)知識(shí)。教師不可能──也不應(yīng)該期望──完全掌握與某個(gè)主題有關(guān)的內(nèi)容，他們需要知道的是如何引導(dǎo)學(xué)生，如何問學(xué)生一些探試性的問題，如何使學(xué)生與有關(guān)的資源聯(lián)系起來，如何提供給他們存儲(chǔ)、操縱與分析信息的工具。
3．利用計(jì)算機(jī)復(fù)習(xí)、作業(yè)
在課后，可以利用一些輔導(dǎo)軟件來鞏固和熟練某些已經(jīng)學(xué)會(huì)的知識(shí)和技能。提高學(xué)生完成任務(wù)的速度和準(zhǔn)確性。輔導(dǎo)軟件把計(jì)算機(jī)變成了教師。這種課件不僅提供文字、圖形、動(dòng)畫視頻圖象，還有語音解說和效果音響，文、圖并茂，具有很好的視聽效果。教學(xué)內(nèi)容的組織多按章節(jié)劃分知識(shí)點(diǎn)模塊，學(xué)習(xí)者可以根據(jù)需要自取進(jìn)度，個(gè)別系統(tǒng)逐步深入地學(xué)習(xí)，復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容。這種課件能夠補(bǔ)充課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容和加強(qiáng)概念的學(xué)習(xí)。交互性、及時(shí)反饋和足夠耐心的優(yōu)點(diǎn)使得數(shù)學(xué)輔導(dǎo)課件非常有用。
學(xué)數(shù)學(xué)離不開做題目，利用計(jì)算機(jī)信息容量大的特點(diǎn)，可以做成一些智能題庫，學(xué)生可以用它做題、復(fù)習(xí)知識(shí)。這里所說的題庫的智能化，是指系統(tǒng)能根據(jù)測(cè)試者的應(yīng)答，測(cè)試答題者對(duì)于某些知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，從而智能地調(diào)節(jié)題型、題量，并能在線調(diào)出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理論講解，復(fù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容。在這種模式下，學(xué)生可以充分自主地選擇教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)，并能及時(shí)得到指導(dǎo)，同時(shí)教師也可以利用智能題庫隨意生成程度不同、內(nèi)容不同的電子試卷，對(duì)學(xué)生進(jìn)行多方位的考察。另外，教師還可以記錄學(xué)生一個(gè)時(shí)期（一學(xué)期或一學(xué)年）的測(cè)試情況，列出統(tǒng)計(jì)圖，發(fā)現(xiàn)問題，并有針對(duì)性地進(jìn)行指導(dǎo)。
二、數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革
由于計(jì)算機(jī)本身的優(yōu)勢(shì)，它進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂后，越來越發(fā)揮著重要的作用。同時(shí)也應(yīng)當(dāng)考慮，有了計(jì)算機(jī)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)什么樣的數(shù)學(xué)？
計(jì)算機(jī)科學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)之間可以說是“相互輔助”的關(guān)系，二者相輔相成、共同發(fā)展。幾十年來與計(jì)算機(jī)同步發(fā)展的計(jì)算數(shù)學(xué)包括數(shù)值計(jì)算、符號(hào)演算、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)已有巨大進(jìn)展，這些進(jìn)展反過來又促進(jìn)了計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展。隨著計(jì)算機(jī)日益走入人們的生活，社會(huì)對(duì)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求已經(jīng)從依靠紙筆運(yùn)算轉(zhuǎn)換到有效地、恰當(dāng)?shù)厥褂眉夹g(shù)，能幫助學(xué)生數(shù)學(xué)地深入思考問題、簡(jiǎn)化概括過程，提高學(xué)生解決問題以及在幾何與代數(shù)、代數(shù)與統(tǒng)計(jì)和真實(shí)問題情景與相關(guān)數(shù)學(xué)模型之間建立聯(lián)系的能力。數(shù)學(xué)教育應(yīng)安排更多的時(shí)間讓學(xué)生去思考和理解更本質(zhì)的方面，學(xué)會(huì)提出問題和抽象概括，從而達(dá)到幫助學(xué)生更深入地思考數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)。學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)更重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法及其應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，重視現(xiàn)實(shí)問題的解決。
數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)盡可能地使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)，這應(yīng)當(dāng)作為制定新數(shù)學(xué)課程的原則。目前許多發(fā)達(dá)國家都已這樣去做。全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)(NCTM)早在1980年就建議：在所有年級(jí)中，都應(yīng)充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的作用，并注重將計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)課程結(jié)合為一體。1989年，NCTM又出版了一份《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)》，明確提出了“利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)作為學(xué)、做數(shù)學(xué)的工具”的要求。在美國，全國各地的學(xué)校都正在把計(jì)算機(jī)編程結(jié)合到數(shù)學(xué)課中去，新出版的每一套教材都有BASIC編程的內(nèi)容，相當(dāng)于代數(shù)課程的8%。因此，如何將傳統(tǒng)內(nèi)容進(jìn)行現(xiàn)代處理，將計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)課程結(jié)合為一體，是教材改革的一個(gè)重要問題。
1．調(diào)整、精簡(jiǎn)一些傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，有大量繁雜的運(yùn)算，教學(xué)時(shí)需要花費(fèi)很多時(shí)間、精力來進(jìn)行訓(xùn)練。目前許多軟件包（如mathcad，marhematic，maple）都能完成數(shù)學(xué)里各種各樣的運(yùn)算，mathpert還能在每一步給出提示，引導(dǎo)學(xué)生給出解答。這樣，技術(shù)使得有關(guān)數(shù)學(xué)技能、技巧方面的內(nèi)容越來越不重要，這就使教師和學(xué)生可以從這些繁重的體力勞動(dòng)中解放出來，把繁重的運(yùn)算交給計(jì)算機(jī)。因此，教材中可以適當(dāng)刪減、調(diào)整一些教學(xué)內(nèi)容。例如，查表計(jì)算是否可以取消，是否要那么多偏難的四則運(yùn)算，因式分解和解方程（組）是否要那么多的訓(xùn)練，三角函數(shù)的運(yùn)算可否引入計(jì)算器等等，都是需要考慮的問題。當(dāng)然，并不是不要學(xué)生練習(xí)，而是掌握基本思想、基本方法即可。
數(shù)學(xué)是講授數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)和形本身就是一個(gè)有機(jī)的整體。而在傳統(tǒng)的幾何教學(xué)中，歐氏幾何戰(zhàn)占據(jù)了很大的內(nèi)容，學(xué)生需要用很長的時(shí)間學(xué)習(xí)歐氏幾何，學(xué)習(xí)邏輯論證。我們可能都有這種體會(huì)，就是證明定理就像解四則運(yùn)算難題一樣，是非常難的。固然，這能很好地培養(yǎng)邏輯思維能力，但是，學(xué)生需要培養(yǎng)的思維能力也不僅僅是邏輯思維能力，邏輯論證方法也僅僅是解決幾何問題的一類方法。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)當(dāng)將代數(shù)幾何綜合起來，將幾何問題代數(shù)化，盡早地引入解析幾何的思想。例如，我們可以在直線的概念上介紹數(shù)軸，可以用方程來講直線的平行、垂直等。目前，在新的高中試驗(yàn)教材中引入空間向量去解決立體幾何的問題，就是一個(gè)很好的嘗試。
2．增加一些教學(xué)內(nèi)容
現(xiàn)在學(xué)校的學(xué)生，將來必將走向一個(gè)更加信息化的社會(huì)，因此目前不僅要用現(xiàn)代技術(shù)來改進(jìn)數(shù)學(xué)教育，而且應(yīng)當(dāng)適當(dāng)增加一些教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生將來進(jìn)入技術(shù)社會(huì)做好準(zhǔn)備。
在應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題時(shí)，一般要經(jīng)過這樣的過程：收集信息和數(shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù)，得到數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，得到實(shí)際問題的解決。在我們分析處理數(shù)據(jù)的過程中，需要用到許多離散數(shù)學(xué)的知識(shí)（如統(tǒng)計(jì)、線性方程組、矩陣、圖論、組合數(shù)學(xué)等），因此，應(yīng)當(dāng)將這些知識(shí)引入中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生分析、處理數(shù)據(jù)的能力。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些問題可以考慮讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)上去解決，現(xiàn)在已經(jīng)有一些軟件可以使用。例如利用電子表格（如 EXCEL）等可以完成許多數(shù)學(xué)任務(wù)，如建立方程去解決分組問題，進(jìn)行估算以及檢驗(yàn)一個(gè)變量的變化對(duì)其他變量的影響等。電子表格在幫助學(xué)生探討數(shù)量關(guān)系方面也是一個(gè)有效的工具，教師可以要求學(xué)生研究不同列的值，并總結(jié)出其中的數(shù)量關(guān)系。另外，許多電子表格還有加、減、乘、除、平方根、求和和求平均數(shù)等功能和繪直方圖、曲線圖、散點(diǎn)圖、柱形圖等繪圖工具，這能很好地幫助學(xué)生完成統(tǒng)計(jì)里的學(xué)習(xí)任務(wù)。
在數(shù)學(xué)教材中，可以適當(dāng)滲透一些編程的思想。學(xué)生掌握了解決一個(gè)問題的基本方法后，可以讓學(xué)生編制程序利用計(jì)算機(jī)解決問題，把一個(gè)數(shù)學(xué)問題從一元推廣到多元，從一維推廣到多維。例如，在學(xué)習(xí)方程組時(shí)，學(xué)生可以通過編制程序，來解決一些多元方程組的問題。這樣，學(xué)生就能把主要的精力放在基本方法的學(xué)習(xí)上，而不是更多地去關(guān)注運(yùn)算技巧。
新技術(shù)的應(yīng)用，給我們帶來了更多的便利，但同時(shí)，也引發(fā)我們進(jìn)行更多的思考。計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)教學(xué)，必將引發(fā)一場(chǎng)新的教育革命，并形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)教育前景。廣大數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)當(dāng)成為這場(chǎng)革命的主角。
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