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抽象思維的局限性及教學(xué)對(duì)策
[作者] 宜春師專數(shù)學(xué)系 郭森明
[內(nèi)容]
我們將客觀對(duì)象的其它特征拋棄，而僅取出它的空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究，便得到了數(shù)學(xué)的抽象形式，這就是數(shù)學(xué)的抽象性。高度的抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)之一。
鑒于初中生的年齡特點(diǎn)、思維特征以及認(rèn)知結(jié)構(gòu)，他們的抽象思維具有一定的局限性，這就要求教師在教學(xué)中應(yīng)該采取相應(yīng)的對(duì)策，以利于教學(xué)質(zhì)量的提高。下面結(jié)合義務(wù)教育教科書內(nèi)容談?wù)勥@方面的認(rèn)識(shí)。
１．依賴具體的材料初中生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，對(duì)一些抽象結(jié)論的接受，往往需要從具體的實(shí)例出發(fā)，表現(xiàn)對(duì)具體材料的依賴性。
數(shù)學(xué)盡管抽象，但有廣泛的具體性。在教學(xué)中，教師完全可以憑借十分具體的素材作為模型，列舉足夠數(shù)量的實(shí)例，或者讓學(xué)生自己通過觀察、試驗(yàn)，動(dòng)手量量、畫畫、做做，再總結(jié)得到結(jié)論或者猜想。
義務(wù)教育教科書很重視實(shí)例的教學(xué)作用。例如，通過列舉溫度、海拔高度、水庫(kù)水位、物體運(yùn)動(dòng)、商品的重量和大小等多個(gè)實(shí)例，在學(xué)生對(duì)“相反意義的量”有了感知的基礎(chǔ)上，才引入正、負(fù)數(shù)的概念。這樣做，學(xué)生是樂于接受，也易于接受的，再如通過與分?jǐn)?shù)運(yùn)算相對(duì)比，讓學(xué)生理解和掌握分式運(yùn)算。皮亞杰認(rèn)為：“傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的缺點(diǎn)，在于往往口頭上講解，而不是從實(shí)際操作開始數(shù)學(xué)教學(xué)�！弊寣W(xué)生實(shí)踐操作是針對(duì)學(xué)生“對(duì)具體素材的依賴”這一思維的局限性提出的。有經(jīng)驗(yàn)的教師都會(huì)要學(xué)生自己親手將三角形紙片的兩個(gè)角剪下拼在第三個(gè)角的頂點(diǎn)處，從而抽象出三角形內(nèi)角和的定理。即使是對(duì)一些沒有確定結(jié)論要我們進(jìn)行探索的抽象問題，只要能“動(dòng)手操作”，就不妨一試，問題可能會(huì)變得具體、簡(jiǎn)單。義務(wù)教育初中幾何第二冊(cè)中有一道“想一想”的問題：以３根火柴為邊，可以組成一個(gè)三角形，用６根火柴能組成４個(gè)三角形嗎？由“火柴”很容易激發(fā)學(xué)生動(dòng)手操作，經(jīng)過在桌面上和在空間中的操作實(shí)驗(yàn)，學(xué)生有了實(shí)感，也就不難得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
在教學(xué)中，我們會(huì)碰到有些概念、規(guī)律并不一定都是從具體實(shí)例引出的，而是現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)過運(yùn)算、推演的結(jié)果，縱然如此，教師還要恰當(dāng)選擇實(shí)例，作為理解抽象概念和規(guī)律的補(bǔ)充。
由此可見，從具體實(shí)例出發(fā)，是學(xué)生思維特點(diǎn)的需要，也符合抽象性和具體性的基本關(guān)系，有利于學(xué)生理解抽象結(jié)論。從具體出發(fā)，并不是遷就學(xué)生思維的局限性，而是有其積極意義的。
２．具體和抽象割裂不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象結(jié)論只是形式地掌握，帶有片面性、局限性，記住的只是結(jié)論的條文，而不是掌握其實(shí)質(zhì)。例如，學(xué)生往往對(duì)“絕對(duì)值”這一概念形式上認(rèn)識(shí)。由于訓(xùn)練了一定數(shù)量的求具體數(shù)的絕對(duì)值的練習(xí)題，就把絕對(duì)值看成是“將數(shù)前面符號(hào)去掉就是該數(shù)的絕對(duì)值”，致使以后遇到｜－ａ｜就認(rèn)為｜－ａ｜＝ａ。義務(wù)教育初中代數(shù)講絕對(duì)值，是采用幾何意義———距離而定義的，如果只是停留在對(duì)“距離”的理解（不進(jìn)行再抽象），那么抽象的式的絕對(duì)值應(yīng)該表示什么就難以解決了。
具體和抽象的割裂還表現(xiàn)在學(xué)生局限于教師列舉過的具體內(nèi)容或者類型十分相近的內(nèi)容，不會(huì)作出簡(jiǎn)單的推廣。
要防止具體和抽象的割裂，教師一方面要善于從具體素材出發(fā)，引出概念，揭示規(guī)律，選擇具體素材要有典型性、全面性。在感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性分析，通過分析、比較、概括，使具體向抽象轉(zhuǎn)化。另一方面，更要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用抽象理論去認(rèn)識(shí)、檢驗(yàn)具體素材，使抽象理論具體化。例如，義務(wù)教育初中代數(shù)教材，將具體的２、３、－７、３２、π等數(shù)寫成小數(shù)的形式，讓學(xué)生觀察這些小數(shù)的特點(diǎn)，抽象出這一類“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”為無(wú)理數(shù)，從而我們可以根據(jù)無(wú)理數(shù)的本質(zhì)特征（即概念的內(nèi)涵）去檢驗(yàn)２３、４＋２也是無(wú)理數(shù)，而形式上相同的４、－３２７就不是無(wú)理數(shù)。
由此說來(lái)，在教學(xué)中，我們要從具體內(nèi)容出發(fā)，再上升到抽象理論，再一次上升到更豐富、更廣泛的具體內(nèi)容。
３．抽象能力較弱初中生獨(dú)立抽象問題的能力較弱，不會(huì)從具體的問題中抽象出有關(guān)的數(shù)量關(guān)系。有的學(xué)生知道３２－１、５２－１、７２－１，都能被８整除，卻抽象不出當(dāng)ｎ是奇數(shù)時(shí)ｎ２－１能被８整除。四邊形被一條對(duì)角線分成兩個(gè)三角形，五邊形被由同一頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線分成三個(gè)三角形，卻抽象不出ｎ邊形的情形，從而推導(dǎo)ｎ邊形的內(nèi)角和公式也會(huì)感到困難。
在教學(xué)中，有意識(shí)地讓學(xué)生從一些具體數(shù)量中觀察和抽象出它們的關(guān)系是有益的。下面兩題不失為訓(xùn)練學(xué)生抽象能力的好題，這就是義務(wù)教育初中代數(shù)第一冊(cè)（上）Ｐ３９Ｂ組第３題與第４題。第三題通過觀察表格中的和Ｓ以及加數(shù)的個(gè)數(shù)ｎ的規(guī)律，抽象出從１開始連續(xù)ｎ個(gè)奇數(shù)相加的和是ｓ＝ｎ２；第４題則通過觀察三角形點(diǎn)圖，抽象出每個(gè)圖形的總的點(diǎn)數(shù)ｓ和三角形每條邊（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）上點(diǎn)數(shù)ｎ的關(guān)系式是：ｓ＝３ｎ－３。
在具體到抽象的過程中，以觀察為基礎(chǔ)，還要運(yùn)用分析、比較、綜合、概括、歸納、演繹等邏輯方法，這是關(guān)鍵。我們常說的發(fā)現(xiàn)法，就體現(xiàn)了“觀察→分析、綜合、歸納、類比→抽象、概括→證明”這一認(rèn)識(shí)過程。義務(wù)教育初中幾何對(duì)“平行四邊形”的教學(xué)是先講平行四邊形定義，再講性質(zhì)，最后講判定定理，這是傳統(tǒng)的編排順序，有的教師先組織學(xué)生觀察圖形或模型，總結(jié)出平行四邊形的全部本質(zhì)屬性（即是教材中作為定義的平行四邊形的本質(zhì)屬性以及作為性質(zhì)和判定的本質(zhì)屬性），然后讓學(xué)生分析應(yīng)該選擇哪一本質(zhì)屬性作為定義，哪些屬性作為性質(zhì)，哪些屬性作為判定定理，最后一一完成定義和定理的表述及證明。這一過程實(shí)際上融匯了觀察實(shí)驗(yàn)與邏輯方法這兩種方法。因此，有針對(duì)性地進(jìn)行邏輯方法的訓(xùn)練，有助于發(fā)展學(xué)生的抽象能力。
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