什么是“問題解決”

    ——“問題解決與數學教育”之一
    “問題解決”（problem solving）作為美國數學教育界在80 年代的主要口號，現在已經是一個不太陌生 的名詞了。但是，究竟什么是“問題解決”的真正意義？這仍然是一個值得深思的問題。例如，以下是幾種常 見的觀念：
    1.“問題解決”就是指把實際問題引入到數學教學之中，或者說，應當使數學問題具有明顯的現實意義；
    2.“問題解決”就是對于各種解題技巧的強調；
    3.“問題解決”就是指讓學生獨立地去解決問題。
    顯然，這些理解并不完全相同，甚至是互相對立的，而且，這些不同的理解又是如此之多，以致一個美國 數學教育家開玩笑地說，如果問數學教育工作者“什么是‘問題解決’？”7個被提問者將會提供9個不同的解 答。這種情況的出現是無足為奇的，但是，這種現象，顯然就清楚地表明了對于“問題解決”的真正意義進行 澄清的必要性和緊迫性。
    為了對“問題解決”的真正意義作出分析，我們先來對什么是“問題解決”中所說的“問題”作出說明， 這就涉及到了（數學）問題的分類。
    具體地說，由于著眼點的不同，對于數學問題可以作出不同的分類，如按問題是否具有真實意義進行分類 ，或是按問題的求解是否需要一定的創(chuàng)造性進行分類。由于傳統(tǒng)的數學教育嚴重地脫離實際，因此，作為一種 改革，我們就應在數學教學中盡可能地引入更多的具有真實意義的問題，而這對于提高學生應用數學知識的能 力和增強學生學習數學的積極性都是十分重要的；但是，應當強調的是，我們又不應當把“問題解決”中所說 的“問題”唯一地等同于實際問題。特別是那些“非常規(guī)性的問題”（non-routine problem），是需要一定的 創(chuàng)造性才能求解。
    事實上，如果過分地強調（數學）問題的真實意義，我們就會由一個極端走向另一個極端，并取得適得其 反的效果。如，以下是美國數學課本（九年級）中所給出的一個問題：
    一個農民在送雞蛋去市場的路上發(fā)生了車禍，盡管她本人沒有受傷，但所有的雞蛋卻都破損了。由于她事 先參加了保險，因此就前往保險公司索賠，后者要求她說出損失雞蛋的數目，她說她不知道準確的數字，而只 記得以下的事實：當她把雞蛋裝進小盒時，如果成雙地裝則剩下一個；如果三個三個地裝也剩下一個，四個、 五個、六個地裝也是同樣的情況；而當她七個七個地裝時則正好裝完。問：（1）她有多少個雞蛋？（2）這一 問題是否只有一個答案？
    筆者認為，在此，我們可以清楚地看到由于過分強調“聯系實際”所造成的勉強做作，而我們教學中如果 不注意糾正的話，則就必然會取得適得其反的結果，非但不能真正調動學生學習數學的積極性，反而會使他們 感到數學是無意義和毫無用處的。
    其次，應當指出的是，盡管問題的選擇構成了“問題解決”的重要一環(huán)，但又并非是唯一的環(huán)節(jié)。例如， 在選擇出了“適當”的問題以后，還存在這樣的問題，我們應當如何去實行“問題解決”的教學？我們又應通 過“問題解決”的教學達到什么樣的目的？
    事實上，問題的提出與解決從來就是數學教學的一個重要組成部分，但這可能被用作數學知識教學的一種 手段，即，如何通過問題來引入有關的教學內容、并通過問題解決來達到復習、鞏固和檢查的目的（從更廣義 的角度說，我們還可通過“問題解決”來調動學生學習數學的積極性，體現學習數學的重要性，并使學生感受 到科學研究的樂趣）；也可能被認為是一種技能，希望通過大量的解題，使學生掌握各種具體的解題方法和技 巧，顯然，這就是所謂的“題海戰(zhàn)術”。那么，究竟什么是現在所說的“問題解決”的真正意義呢？
    具體地說，與上述的兩種理解不同，“問題解決”應當被看成是一種創(chuàng)造性的活動，是如何綜合地、創(chuàng)造 性地應用所學知識和方法去解決非常規(guī)性的問題。顯然，在這樣的理解下，“問題解決”的核心就并非是各種 特殊的解題方法或技巧，而是一些十分一般的思想方法或思維模式（為了對這兩者作出明確的區(qū)分，在現代的 研究中人們有時就把后者稱為是“高層次的思維方法”。）另外，與對于數學知識的強調相比，“以問題解決 作為學校數學教育的中心”則就更為清楚地體現了數學教育思想的根本性轉變，即是，認為應把幫助學生學會 “數學地思維”，從而提高解決問題的能力作為數學教育的主要目標。
    顯然，正是以上的基本指導思想決定了問題的選擇標準：我們應當集中于所說的“非常規(guī)性問題”，另外 ，這一基本指導思想顯然也就表明了在“問題解決”的教學中我們不能對學生采取“完全放任”的態(tài)度，特別 是不能以問題的解決作為教學的最終目標。事實上，這也正是初學者（或者說，“不好的解題者”）與數學家 （“好的解題者”）在思維方法上的一個重要區(qū)別：前者往往滿足于用某種方法（包括觀察、實驗和猜測）， 求得具體的解答而不去進一步追究相應的解釋，也不去思考是否存在有不同的解法，以及是否可能對所獲得的 結果作出進一步的推廣；與此相反，數學家們并不停止于某個具體問題的解決，而是致力于進一步的思考：在 這些看上去并無聯系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某個統(tǒng)一的數學結構？等等 。從而，為了幫助學生學會“數學地思維”，在“問題解決”的教學中教師也就應當發(fā)揮重要的作用，而不能 將此片面地理解為“讓學生獨立地去解決問題”。
    一般地說，教育思想的轉變決定了“問題解決”的教學應當采取與傳統(tǒng)的數學教學不相同的一種新模式。 例如，以下即是一種可能的新模式。
    第一，在學生以個人或小組為單位具體地從事解題活動前，應組織全班性的討論，以促使學生“弄清問題 ”，在這一階段教師的主要工作有：
    自己或請一位學生朗讀問題，弄清其中的詞匯的意義。
    組織學生進行討論以弄清問題。這主要是：什么是已知的，什么是所要求的。應當注意的是，這時不要提 出太多的問題，以免使學生感到不再有必要自己去對問題進行理解。
    組織學生討論可能的解題方法，注意這時不要對學生的建議作出評價。
    第二，在學生具體地從事解題活動時，教師應在教室中巡回，并采取以下的行動：
    觀察學生的解題行為，并請學生對自己的工作進行說

明。
    如果學生陷入困境，在如何選擇和實施解題策略方面給以一定的啟發(fā)，必要時，應適當重復先前階段中曾 用以弄清題意的問題。
    如果學生獲得了某種解答，要求學生對此進行檢驗。
    對問題作出推廣，以使較早完成者（在時間許可的情況下，則是整個班級）繼續(xù)工作。
    第三，在學生的解題活動結束以后（指已經獲得了解答、并對此進行了檢驗），再次組織全班進行討論：
    對學生所采用的解題方法進行討論，特別是不同方法之間進行比較，讓學生對自己所采用的方法進行“命 名”。
    對剛才所解決的問題與現前曾求解的類似問題進行比較，對問題的推廣進行討論。
    對問題的一些特殊的方面進行討論，諸如不尋常的數據、容易產生“錯誤”的地方、“關鍵詞”等。
    綜上可見，“問題解決”這一口號的提出包含了教育思想乃至教學形式的根本性變化，從而這就是數學教 育中的一次重要的改革運動。

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