左刪失右截?cái)鄶?shù)據(jù)的分位數(shù)的固定寬度序貫置信區(qū)間估計(jì)

　  一、引言
　　在生存分析研究中，一些個(gè)體生存時(shí)間的開(kāi)始點(diǎn)在試驗(yàn)開(kāi)始之前，所以人們無(wú)法觀察到這些個(gè)體在進(jìn)入試驗(yàn)之前的數(shù)據(jù)。這樣所獲得的個(gè)體數(shù)據(jù)就是左截?cái)鄶?shù)據(jù)。如果個(gè)體一旦進(jìn)入試驗(yàn)，人們可能在試驗(yàn)結(jié)束之前未能完全觀察到這個(gè)個(gè)體的全部過(guò)程，因此引起了右刪失的數(shù)據(jù)。這樣的左截?cái)嘤覄h失數(shù)據(jù)是生存分析中常常遇到的數(shù)據(jù)之一。具體地說(shuō)，設(shè)(X,T,Y)表示三維的隨機(jī)變量，其中X為感興趣的隨機(jī)變量，具有連續(xù)的分布函數(shù)F；T是左截?cái)嚯S機(jī)變量具有分布函數(shù)G，以及Y是右刪失隨機(jī)量具有分布L。假定X是與(T,Y)獨(dú)立的，但T和Y可以是相關(guān)的。所謂左截?cái)嘤覄h失數(shù)據(jù)是：如果Z≥T,(Z,T,δ)是可以觀察的，其中Z=X∧Y=min(X,Y)和δ=I(X≤Y)。而當(dāng)Z＜T時(shí)，人們無(wú)法觀察到任何數(shù)據(jù)。不失一般性，設(shè)α≡P(T≤Z)＞0和W表示Z的分布函數(shù)，即有1-W=(1-F)(1-L)。在文中，設(shè)(Z[,i],T[,i],δ[,i])是一列獨(dú)立同分布的觀察樣本且與(Z,T,δ),i=1,2,…,n具有相同的分布。又設(shè)表示分布函數(shù)的累積風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。周知，累積風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)Λ與分布函數(shù)F是一對(duì)一的關(guān)系，具有如下表示式
　　附圖
　　容易證明
　　附圖
　　在左截?cái)嘤覄h失數(shù)據(jù)下，固定寬度的分位數(shù)序貫置信區(qū)間估計(jì)是生存分析中的重要研究對(duì)象之一，一個(gè)例子是基于分位數(shù)估計(jì)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)。有關(guān)的真實(shí)數(shù)據(jù)是心臟病的心率數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見(jiàn)[8]），目的是進(jìn)行它和正常人數(shù)據(jù)的比較，由于沒(méi)有足夠多的數(shù)據(jù)和所獲數(shù)據(jù)的不完全性，難于對(duì)分位數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。因此準(zhǔn)確分類(lèi)也是不可能的。但一個(gè)重要而有效的解決方法是進(jìn)行序貫試驗(yàn)，在給定所要求的精度下，適當(dāng)增加試驗(yàn)樣本。在獨(dú)立同分布情況下，Choudhury,Serfling[9]研究了相類(lèi)似的固定長(zhǎng)度的序貫置信區(qū)間。在右刪失數(shù)據(jù)下，Gijbels,Veraverbeke[10,11]以及Wang,Hettmansperger[12]研究了這樣的置信區(qū)間，Gürler,Stute,Wang[4]考慮了左截?cái)嗟那闆r。
　　在生存分析中，序貫方法是生物統(tǒng)計(jì)中一種廣泛應(yīng)用的方法之一，它的優(yōu)點(diǎn)是節(jié)約成本和試驗(yàn)時(shí)間，在試驗(yàn)中可以由它來(lái)控制所需的時(shí)間和成本進(jìn)行抽樣。在實(shí)際工作中，試驗(yàn)者往往要求在給定的置信水平和滿足一定的精度下，對(duì)所感興趣的量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)和推斷，同時(shí)不要浪費(fèi)太多的資源。因此，此時(shí)的序貫區(qū)間估計(jì)就是一種很好的選擇。具體體現(xiàn)是，人們首先要求統(tǒng)計(jì)推斷滿足一定精度，即是給定固定區(qū)間的長(zhǎng)度，當(dāng)置信水平已知（即給定某個(gè)置信水平）的情況下進(jìn)行抽樣。這些方法在大多數(shù)的應(yīng)用中是很乎合實(shí)際要求的。這就是所謂固定寬度的序貫置信區(qū)間估計(jì)。本文就在這方面進(jìn)行研究。
　　為了證明分位數(shù)的固定寬度序貫置信區(qū)間的漸近性質(zhì)，我們給出一個(gè)擴(kuò)展的p[,n]分位估計(jì)的Bahadur的強(qiáng)表示定理，其中p[,n]可以是一個(gè)隨機(jī)量。當(dāng)ξ[,pn]是ξ[,p]強(qiáng)相合估計(jì)。在某些簡(jiǎn)單的條件下，的Bahadur表示是
　　附圖
　　其中f=F'和R[,n]是剩余項(xiàng)。在下一節(jié)，我們給出剩余項(xiàng)R[,n]的幾乎處處漸近收斂速度，其中是一列收斂于p的隨機(jī)變量。對(duì)于特別的應(yīng)用，p[,n]一般定義為乘積限估計(jì)的漸近方差的泛函。此表示定理在推導(dǎo)分位數(shù)估計(jì)的大樣本性質(zhì)上具有廣泛的應(yīng)用，此結(jié)果是[13]中重要結(jié)果的推廣。為了獲得分位數(shù)的置信區(qū)間估計(jì)，這種推廣是必要的。在此節(jié)的最后，給出相合的漸近方差估計(jì)。為方便，假設(shè)Y和T是非負(fù)的隨機(jī)變量。在本文，我們多次用到如下的積分條件，對(duì)于任意T＜T[,W]，
　　附圖
　　根據(jù)[7]的結(jié)果，我們表述如下的引理
　　引理1.1  假定a[,G]＜a[,W]或a[,G]=a[,W]和(3)成立。當(dāng)a[,W]＜x≤b＜b[,W]，一致地有
　　附圖
　　其中表示概率收斂。
　　在右刪失數(shù)據(jù)下，Cheng[14],Aly,,Horváth[15],Lo,Singh[16]研究了Bahadur表示中剩余項(xiàng)R[,n](p)的幾乎處處收斂速度。Gijbels,Veraverbeke[10,11]給出了Ghosh型的弱表示定理。Zhou[17]考慮了光滑分位數(shù)估計(jì)和給出了其一致Bahadur表示定理。Padgett[18]獲得了些核光滑的分位數(shù)估計(jì)的漸近性質(zhì)。Gürler,Stute,Wang[4]首先考慮了左截?cái)?shù)據(jù)下的分位數(shù)估計(jì)的各種漸近性質(zhì)。
　　  二、Bahadure表示定理及固定長(zhǎng)度置信區(qū)間
　　在這節(jié)，給出分位數(shù)估計(jì)表示式(2)的結(jié)果。為些我們需要如下的條件。
　　條件(i)  對(duì)于T＜T[,W]，
　　附圖
　　附圖
　　雖然f的估計(jì)容易獲得，但是卷入麻煩的窗寬選擇，因此盡量不用其非參數(shù)估計(jì)。使用Y[,i]的次序統(tǒng)計(jì)量可以簡(jiǎn)單地構(gòu)造分位數(shù)的置信區(qū)間，克服使用f的非參數(shù)估計(jì)的窗寬選擇的麻煩。這置信區(qū)間是
　　附圖
　　關(guān)于固定長(zhǎng)度的序貫區(qū)間方法(11)及其所要求的隨機(jī)樣本大小τ，我們?nèi)菀淄茖?dǎo)出如下定理。
　　附圖
　　附圖
　　在這里，我們進(jìn)行一個(gè)小的計(jì)算機(jī)模型試驗(yàn)，目的是在左截?cái)嘤覄h失數(shù)據(jù)下，檢驗(yàn)分位數(shù)估計(jì)序貫方法的有效性，以及在給定精度下，如何有效地進(jìn)行序貫試驗(yàn)，即在更短的試驗(yàn)時(shí)間里，獲得合乎精度要求的分位數(shù)估計(jì)。我們的隨機(jī)試驗(yàn)是在如下的條件下進(jìn)行的。設(shè)(X,T,Y)分別來(lái)自指數(shù)分布的隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)于指數(shù)分布的參數(shù)分別是θ[,1],θ[,2],θ[,3]，它們的值分別取1,1.5,0.25。共進(jìn)行500次試驗(yàn)，每次產(chǎn)生樣本數(shù)分別是100,200和500。因此，在這些設(shè)計(jì)下，被刪失的數(shù)據(jù)占20%而且被截?cái)嗟恼?5%。獲得的結(jié)果如上表。其它參數(shù)的組合下進(jìn)行了同樣的模擬試驗(yàn)，所獲結(jié)果與此情況相似，故略。在此我們僅列出樣本為200的結(jié)果，其它情況略。
　　表中的是指數(shù)分布p-分位數(shù)的估計(jì)，對(duì)于每個(gè)分位數(shù)的序貫估計(jì)分別取3種不同的精度。d[,1]的取法是全樣本下的分位數(shù)估計(jì)值除以1.96,d[,2]是d[,1]的一半。而d[,3]是全樣本估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差乘以1.96的兩倍再除于,n是全部樣本的數(shù)量。sd(Q)(se)指的是標(biāo)準(zhǔn)方差和在括號(hào)里面的是500次分位估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)方差。Bias是估計(jì)相對(duì)誤差。n(d)是序貫方法所使用的樣本數(shù)。Covag是分位數(shù)估計(jì)落入95%的置信區(qū)間的次數(shù)。這個(gè)數(shù)值越靠近95%越好。從表中我們可以看出，序貫估計(jì)是相當(dāng)精確的。同時(shí)，我們可以從下面p-分位數(shù)估計(jì)的直方圖中可以看出，不管是全樣本還是部分樣本的分位數(shù)估計(jì)的分布形狀近似于正態(tài)分布，而且它們是非常相近。最后，從表中看出當(dāng)分位點(diǎn)靠近分布的尾部時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)不足，這主要是在方差估計(jì)中我們使用了(1-p)[2]這個(gè)因子。相信適當(dāng)?shù)男薷母倪M(jìn)這個(gè)估計(jì)。
　　附圖
　　分位點(diǎn)p=0.5，指數(shù)分布p分位數(shù)的真值是0.6928。圖(a)是全樣本分位數(shù)估計(jì)，估計(jì)值是0.690，圖(b)是在區(qū)間長(zhǎng)度的精度為d[,1]=0

.30下，分位數(shù)序貫估計(jì)，估計(jì)值是0.653。圖(c)是在區(qū)間長(zhǎng)度的精度為d[,2]=0.15下，分位數(shù)序貫估計(jì)，估計(jì)值是0.653。圖(d)是在區(qū)間長(zhǎng)度的精度為d[,3]=0.10下，分位數(shù)序貫估計(jì)，估計(jì)值是0.689。
　　  三、定理的證明
　　下面的一些引理具有獨(dú)立的應(yīng)用意義。首先我們擴(kuò)展p-分位數(shù)的定義到p=0和p=1。
　　證  這個(gè)引理的證明與周勇[13]中的引理2類(lèi)似，故略。
　　命題2.1的證明  注意到
　　附圖
　　證  周知，僅要證明對(duì)于某個(gè)d[,0]＞0，有
　　附圖
　　4.由引理3.5，隨機(jī)變量是一致可積的，因此(22)取均值仍成立。最后，因?yàn)橐恢驴煞e性可推得，因此有Eτ＜∞,d＞0。定理2.2獲證。
【責(zé)任編輯】彭非
【參考文獻(xiàn)】
　　1  Tsai  W  Y,Jewell  N  P,Wang  M  C.A  Note  on  the  Product-limit  Estimator  under  Right  Censoring  and  Left  Truncation.Biometrika,1987,74:883-886.
　　2  Kaplan  E  L,Meier  P.Nonparametric  Estimation  from  Incomplete  Observations.J.Amer.
Stat.Assoc.,1958,53:457-481.
　　3  Lynden-Bell  D.A  Method  of  Allowing  for  Known  ObservationalSelection  in  Small  Samples  
Applied  to  3CR  Quasars.Monthly  Notices  Roy.Astronom.Soc.,1971,155:95-118.
　　4  Güler  ,Stute  W,Wang  F  L.Weak  and  Strong  Quantile  Representations  for  
Randomly  Truncated  Data  with  Applications.Statist.Prob.Lett.,1993,17:139-148.
　　5  Zhou  Y.A  Note  on  the  TJW  Product-limit  Estimator  for  Truncated  and  Censored  Data.Statist.Probab.Lett.,1996,26:
381-387.
　　6  Woodroofe  M.Estimating  a  Distribution  Function  with  Truncated  Data.Ann.
Statist.1985,13:163-177.
　　7  Zhou  Y,Pau  Yip.A  Strong  Representation  of  the  Product-limit  Estimator  for  Truncated  and  Censored  Data.J.Multivariate.Anal.,1999,
69(2):261-280.
　　8  Izenman  A.Recent  Developments  in  Nonparametric  Density 
 Estimation.J.Amer.Statist.Assoc.,1991,86:205-224.
　　9  Choudhury  J,Serfling  R  J.Generalized  Order  Statistics,Bahadur  Representations
  and  Sequential  Nonparametric  Fixedwidth  Confidence  Intervals.J.Statist.Plann.
Inference,1988,19:269-282.
　　10  Gijbels  I.Veraverbeke&nbs

p; N.Weak  Asymptotic  Representation  for  Quantiles  of  
the  Product-limit  Estimator.J.Statist.Plann.Inference,1988,18:151-160.
　　11  Gijbels  I,Veraverbeke  N.Sequential  Fixed-width  ConfidenceIntervals  for  Quantiles  in  Presence  of  Censoring.J.Statist.Plann.
Inference,1989,19:213-222.
　　12  Wang  J  L,Hettmansperger  T  P.Two-sample  Inference  for  Median  Survival  Times  Based  on  One-sample  Pro  for  Censored  Survival  Data.J.Amer.Statist.Assoc.,1990,85:529-536.
　　13  周勇.左刪失右截?cái)嗲樾蜗路治缓瘮?shù)的分位估計(jì).應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997,20(3):456-465.
　　(Zhou  Yong.The  Product-limit  Quantile  Estimator  for  Randomly  Truncated  and  Censored  Data.Acta  
Appl.Math.Sinica,1997,20(3):456-465.)
　　14  Cheng  K  F.On  Almost  Sure  Representation  for  Quantiles  of  the  
Product-limit  Estimator  with  Applications.Sankhyā(Ser.A),1984,46:426-443.
　　15  Aly  A  A,  M,Horaáth  L.Strong  Approximation  of  the  Quantile  Process  of  
the  Product-limit  Estimator.J.Mult.Anal.,1985,16:185-210.
　　16  Lo  S  H,Singh  K.The  Product  Limit  Estimator  and  the  Bootstrap:Some
Asymptotic  Representation.Prob.Theory  Related  Fields,1986,71:455-465.
　　17  Zhou  Y.Bahadur-Kiefer  Theorems  for  Kernel  Smooth  Product-limit  Quantile  Estimator.Commun.Statist.Theory  Meth.,1996,24:2815-2828.
　　18  Padgett  W  J.A  Kernel-type  Estimator  of  a  Quantile  Function  from  
Right-censored  Data.J.Amer.Statist.Assoc.,1986,81:215-222.
　　19  Sander  J  M.The  Weak  Convergence  of  Quantiles  of  the  Product-limit  Estimator.Technical  Report  5,Division  of  Biostatistics,Stanford  University,
1975.
　　20  Serfling  R  J.Approxima

tion  Theorems  of  Mathematical  Statistics.New  York:
Wiley,1980.
　　21  Zhu  Y  J.The  Exponential  Bound  of  the  Survival  Function  Estimator  for  
Randomly  Truncated  and  Censored  Data.J.Sys.Scien.Math.,1996,16:260-269.
　　22  Lo  S  H,Mack  Y  P,Wang  J  T.Density  and  Hazard  Rate  Estimation  for 
 Censored  Data  via  Strong  Representations  of  the  Kaplan-Meier  Estimator.Probab.Th.Rel.Field.,1989,80:461-473.

【左刪失右截?cái)鄶?shù)據(jù)的分位數(shù)的固定寬度序貫置信區(qū)間估計(jì)】相關(guān)文章：

左、右08-16

《足走 左 右》08-15

足、走、左、右08-16

熱忱在左，理性在右08-20

19《足 走 左 右》08-15

愛(ài)在左，感恩在右作文08-17

“認(rèn)識(shí)左、右”教學(xué)設(shè)計(jì)08-16

愛(ài)在左,感恩在右作文04-27

左和右教學(xué)反思01-30