數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 15篇

　　作為一名默默奉獻(xiàn)的教育工作者，總歸要編寫教案，編寫教案有利于我們弄通教材內(nèi)容，進(jìn)而選擇科學(xué)、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。怎樣寫教案才更能起到其作用呢？下面是小編為大家收集的數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 ，僅供參考，大家一起來看看吧。

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 1

　　一、教學(xué)目標(biāo)：

　　1.掌握用待定系數(shù)法求三角函數(shù)解析式的方法；

　　2.培養(yǎng)學(xué)生用已有的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；

　　3.能用計(jì)算機(jī)處理有關(guān)的近似計(jì)算問題.

　　二、重點(diǎn)難點(diǎn)：

　　重點(diǎn)是待定系數(shù)法求三角函數(shù)解析式;

　　難點(diǎn)是選擇合理數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.

　　三、教學(xué)過程：

　　【創(chuàng)設(shè)情境】

　　三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.

　　【自主學(xué)習(xí)探索研究】

　　1．學(xué)生自學(xué)完成P42例1

　　點(diǎn)O為做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開始計(jì)時(shí).

　�。�1）求物體對(duì)平衡位置的位移x(cm)和時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系；

　�。�2）求該物體在t=5s時(shí)的位置.

　�。ń處熯M(jìn)行適當(dāng)?shù)?評(píng)析.并回答下列問題：據(jù)物理常識(shí)，應(yīng)選擇怎樣的函數(shù)式模擬物體的運(yùn)動(dòng)；怎樣求和初相位θ；第二問中的“t=5s時(shí)的位置”與函數(shù)式有何關(guān)系？）

　　2．講解p43例2(題目加已改變)

　　2．講析P44例3

　　海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮是返回海洋.下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.

　　（1）選用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時(shí)的近似數(shù)值.

　�。�2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？

　�。�3）若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

　　問題：

　�。�1）選擇怎樣的數(shù)學(xué)模型反映該實(shí)際問題？

　�。�2）圖表中的最大值與三角函數(shù)的哪個(gè)量有關(guān)？

　�。�3）函數(shù)的周期為多少？

　　（4）“吃水深度”對(duì)應(yīng)函數(shù)中的哪個(gè)字母？

　　3．學(xué)生完成課本P45的練習(xí)1，3并評(píng)析.

　　【提煉總結(jié)】

　　從以上問題可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，而待定系數(shù)法是三角函數(shù)中確定函數(shù)解析式最重要的方法.三角函數(shù)知識(shí)作為數(shù)學(xué)工具之一，在以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常有所涉及.學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)，通過學(xué)習(xí)我們逐步提高自己分析問題解決問題的能力.

　　四、布置作業(yè)：

　　P46習(xí)題1.3第14、15題

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 2

　　●知識(shí)梳理

　　函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面：

　　1.函數(shù)內(nèi)容本身的相互綜合，如函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象等方面知識(shí)的綜合.

　　2.函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的綜合，如方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等方面的內(nèi)容與函數(shù)的綜合.這是高考主要考查的內(nèi)容.

　　3.函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用問題的綜合.

　　●點(diǎn)擊雙基

　　1.已知函數(shù)f(x)=lg(2x-b)(b為常數(shù))，若x[1，+)時(shí)，f(x)0恒成立，則

　　A.b1 B.b1 C.b1 D.b=1

　　解析：當(dāng)x[1，+)時(shí)，f(x)0，從而2x-b1，即b2x-1.而x[1，+)時(shí)，2x-1單調(diào)增加，

　　b2-1=1.

　　答案：A

　　2.若f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)和B(3，-1)，則不等式|f(x+1)-1|2的解集是___________________.

　　解析：由|f(x+1)-1|2得-2

　　又f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象過點(diǎn)A(0，3)，B(3，-1)，

　　f(3)

　　答案：(-1，2)

　　●典例剖析

　　【例1】 取第一象限內(nèi)的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，使1，x1，x2，2依次成等差數(shù)列，1，y1，y2，2依次成等比數(shù)列，則點(diǎn)P1、P2與射線l:y=x(x0)的關(guān)系為

　　A.點(diǎn)P1、P2都在l的上方 B.點(diǎn)P1、P2都在l上

　　C.點(diǎn)P1在l的下方，P2在l的上方 D.點(diǎn)P1、P2都在l的下方

　　剖析：x1= +1= ，x2=1+ = ，y1=1 = ，y2= ，∵y1

　　P1、P2都在l的下方.

　　答案：D

　　【例2】 已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(2)=0，g(x)是R上的奇函數(shù)，且對(duì)于xR，都有g(shù)(x)=f(x-1)，求f(20xx)的值.

　　解：由g(x)=f(x-1)，xR，得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，

　　故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=

　　g(x-3)=f(x-4)，也即f(x+4)=f(x)，xR.

　　f(x)為周期函數(shù)，其周期T=4.

　　f(20xx)=f(4500+2)=f(2)=0.

　　評(píng)述：應(yīng)靈活掌握和運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì).

　　【例3】 函數(shù)f(x)= (m0)，x1、x2R，當(dāng)x1+x2=1時(shí)，f(x1)+f(x2)= .

　　(1)求m的值;

　　(2)數(shù)列{an}，已知an=f(0)+f( )+f( )++f( )+f(1)，求an.

　　解：(1)由f(x1)+f(x2)= ，得 + = ，

　　4 +4 +2m= [4 +m(4 +4 )+m2].

　　∵x1+x2=1，(2-m)(4 +4 )=(m-2)2.

　　4 +4 =2-m或2-m=0.

　　∵4 +4 2 =2 =4，

　　而m0時(shí)2-m2，4 +4 2-m.

　　m=2.

　　(2)∵an=f(0)+f( )+f( )++f( )+f(1)，an=f(1)+f( )+ f( )++f( )+f(0).

　　2an=[f(0)+f(1)]+[f( )+f( )]++[f(1)+f(0)]= + ++ = .

　　an= .

　　深化拓展

　　用函數(shù)的思想處理方程、不等式、數(shù)列等問題是一重要的思想方法.

　　【例4】 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x、yR，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(1)=-2.

　　(1)證明f(x)是奇函數(shù);

　　(2)證明f(x)在R上是減函數(shù);

　　(3)求f(x)在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值.

　　(1)證明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)，f(x)+ f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0.從而有f(x)+f(-x)=0.

　　f(-x)=-f(x).f(x)是奇函數(shù).

　　(2)證明：任取x1、x2R，且x10.f(x2-x1)0.

　　-f(x2-x1)0，即f(x1)f(x2)，從而f(x)在R上是減函數(shù).

　　(3)解：由于f(x)在R上是減函數(shù)，故f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，最小值是f(3).由f(1)=-2，得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3(-2)=-6，f(-3)=-f(3)=6.從而最大值是6，最小值是-6.

　　深化拓展

　　對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，定義運(yùn)算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊的運(yùn)算是通常的加法和乘法運(yùn)算.現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x*m=x，試求m的`值.

　　提示：由1*2=3，2*3=4，得

　　b=2+2c，a=-1-6c.

　　又由x*m=ax+bm+cmx=x對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，

　　b=0=2+2c.

　　c=-1.(-1-6c)+cm=1.

　　-1+6-m=1.m=4.

　　答案：4.

　　●闖關(guān)訓(xùn)練

　　夯實(shí)基礎(chǔ)

　　1.已知y=f(x)在定義域[1，3]上為單調(diào)減函數(shù)，值域?yàn)閇4，7]，若它存在反函數(shù)，則反函數(shù)在其定義域上

　　A.單調(diào)遞減且最大值為7 B.單調(diào)遞增且最大值為7

　　C.單調(diào)遞減且最大值為3 D.單調(diào)遞增且最大值為3

　　解析：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義區(qū)間上有相同的增減性，f-1(x)的值域是[1，3].

　　答案：C

　　2.關(guān)于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值是___________________.

　　解析：作函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象，如下圖.

　　由圖象知直線y=1與y=|x2-4x+3|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此a=1.

　　答案：1

　　3.若存在常數(shù)p0，使得函數(shù)f(x)滿足f(px)=f(px- )(xR)，則f(x)的一個(gè)正周期為__________.

　　解析：由f(px)=f(px- )，

　　令px=u，f(u)=f(u- )=f[(u+ )- ]，T= 或 的整數(shù)倍.

　　答案： (或 的整數(shù)倍)

　　4.已知關(guān)于x的方程sin2x-2sinx-a=0有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

　　解：a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.

　　∵-11，0(sinx-1)24.

　　a的范圍是[-1，3].

　　5.記函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)锳，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a1)的定義域?yàn)锽.

　　(1)求A;

　　(2)若B A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　解：(1)由2- 0，得 0，

　　x-1或x1，即A=(-，-1)[1，+).

　　(2)由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)0.

　　∵a1，a+12a.B=(2a，a+1).

　　∵B A，2a1或a+1-1，即a 或a-2.

　　而a1， 1或a-2.

　　故當(dāng)B A時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-，-2][ ，1).

　　培養(yǎng)能力

　　6.(理)已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b0，cR).

　　若f(x)的定義域?yàn)閇-1，0]時(shí)，值域也是[-1，0]，符合上述條件的函數(shù)f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表達(dá)式;若不存在，請(qǐng)說明理由.

　　解：設(shè)符合條件的f(x)存在，

　　∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=- ，

　　又b0，- 0.

　　①當(dāng)- 0，即01時(shí)，

　　函數(shù)x=- 有最小值-1，則

　　或 (舍去).

　�、诋�(dāng)-1- ，即12時(shí)，則

　　(舍去)或 (舍去).

　�、郛�(dāng)- -1，即b2時(shí)，函數(shù)在[-1，0]上單調(diào)遞增，則 解得

　　綜上所述，符合條件的函數(shù)有兩個(gè)，

　　f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.

　　(文)已知二次函數(shù)f(x)=x2+(b+1)x+c(b0，cR).

　　若f(x)的定義域?yàn)閇-1，0]時(shí)，值域也是[-1，0]，符合上述條件的函數(shù)f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表達(dá)式;若不存在，請(qǐng)說明理由.

　　解：∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是

　　x=- ，又b0，- - .

　　設(shè)符合條件的f(x)存在，

　�、佼�(dāng)- -1時(shí)，即b1時(shí)，函數(shù)f(x)在[-1，0]上單調(diào)遞增，則

　　②當(dāng)-1- ，即01時(shí)，則

　　(舍去).

　　綜上所述，符合條件的函數(shù)為f(x)=x2+2x.

　　7.已知函數(shù)f(x)=x+ 的定義域?yàn)?0，+)，且f(2)=2+ .設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N.

　　(1)求a的值.

　　(2)問：|PM||PN|是否為定值?若是，則求出該定值;若不是，請(qǐng)說明理由.

　　(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值.

　　解：(1)∵f(2)=2+ =2+ ，a= .

　　(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則有y0=x0+ ，x00，由點(diǎn)到直線的距離公式可知，|PM|= = ，|PN|=x0，有|PM||PN|=1，即|PM||PN|為定值，這個(gè)值為1.

　　(3)由題意可設(shè)M(t，t)，可知N(0，y0).

　　∵PM與直線y=x垂直，kPM1=-1，即 =-1.解得t= (x0+y0).

　　又y0=x0+ ，t=x0+ .

　　S△OPM= + ，S△OPN= x02+ .

　　S四邊形OMPN=S△OPM+S△OPN= (x02+ )+ 1+ .

　　當(dāng)且僅當(dāng)x0=1時(shí)，等號(hào)成立.

　　此時(shí)四邊形OMPN的面積有最小值1+ .

　　探究創(chuàng)新

　　8.有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行切割、焊接成一個(gè)長方體形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計(jì)).有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作了如下設(shè)計(jì)：如圖(a)，在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形，剩余部分圍成一個(gè)長方體，該長方體的高為小正方形邊長，如圖(b).

　　(1)請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積V1;

　　(2)由于上述設(shè)計(jì)存在缺陷(材料有所浪費(fèi))，請(qǐng)你重新設(shè)計(jì)切、焊方法，使材料浪費(fèi)減少，而且所得長方體容器的容積V2V1.

　　解：(1)設(shè)切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x，高為x，

　　V1=(4-2x)2x=4(x3-4x2+4x)(0

　　V1=4(3x2-8x+4).

　　令V1=0，得x1= ，x2=2(舍去).

　　而V1=12(x- )(x-2)，

　　又當(dāng)x 時(shí)，V10;當(dāng)

　　當(dāng)x= 時(shí)，V1取最大值 .

　　(2)重新設(shè)計(jì)方案如下：

　　如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長為1的小正方形;如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間;如圖③，將圖②焊成長方體容器.

　　新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V2=321=6，顯然V2V1.

　　故第二種方案符合要求.

　　●思悟小結(jié)

　　1.函數(shù)知識(shí)可深可淺，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)掌握好分寸，如二次函數(shù)問題應(yīng)高度重視，其他如分類討論、探索性問題屬熱點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng).

　　2.數(shù)形結(jié)合思想貫穿于函數(shù)研究的各個(gè)領(lǐng)域的全部過程中，掌握了這一點(diǎn)，將會(huì)體會(huì)到函數(shù)問題既千姿百態(tài)，又有章可循.

　　●教師下載中心

　　教學(xué)點(diǎn)睛

　　數(shù)形結(jié)合和數(shù)形轉(zhuǎn)化是解決本章問題的重要思想方法，應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握用函數(shù)的圖象及方程的曲線去處理函數(shù)、方程、不等式等問題.

　　拓展題例

　　【例1】 設(shè)f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對(duì)任意a、b[-1，1]，當(dāng)a+b0時(shí)，都有 0.

　　(1)若ab，比較f(a)與f(b)的大小;

　　(2)解不等式f(x- )

　　(3)記P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-c2)}，且PQ= ，求c的取值范圍.

　　解：設(shè)-1x1

　　0.

　　∵x1-x20，f(x1)+f(-x2)0.

　　f(x1)-f(-x2).

　　又f(x)是奇函數(shù)，f(-x2)=-f(x2).

　　f(x1)

　　f(x)是增函數(shù).

　　(1)∵ab，f(a)f(b).

　　(2)由f(x- )

　　- .

　　不等式的解集為{x|- }.

　　(3)由-11，得-1+c1+c，

　　P={x|-1+c1+c}.

　　由-11，得-1+c21+c2，

　　Q={x|-1+c21+c2}.

　　∵PQ= ，

　　1+c-1+c2或-1+c1+c2，

　　解得c2或c-1.

　　【例2】已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)=x+ +2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0，1)對(duì)稱.

　　(1)求f(x)的解析式;

　　(2)(文)若g(x)=f(x)x+ax，且g(x)在區(qū)間(0，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　(理)若g(x)=f(x)+ ，且g(x)在區(qū)間(0，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　解：(1)設(shè)f(x)圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(0，1)的對(duì)稱點(diǎn)(-x，2-y)在h(x)的圖象上.

　　2-y=-x+ +2.

　　y=x+ ，即f(x)=x+ .

　　(2)(文)g(x)=(x+ )x+ax，

　　即g(x)=x2+ax+1.

　　g(x)在(0，2]上遞減 - 2，

　　a-4.

　　(理)g(x)=x+ .

　　∵g(x)=1- ，g(x)在(0，2]上遞減，

　　1- 0在x(0，2]時(shí)恒成立，

　　即ax2-1在x(0，2]時(shí)恒成立.

　　∵x(0，2]時(shí)，(x2-1)max=3，

　　a3.

　　【例3】在4月份(共30天)，有一新款服裝投放某專賣店銷售，日銷售量(單位：件)f(n)關(guān)于時(shí)間n(130，nN*)的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，其中函數(shù)f(n)圖象中的點(diǎn)位于斜率為5和-3的兩條直線上，兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且第m天日銷售量最大.

　　(1)求f(n)的表達(dá)式，及前m天的銷售總數(shù);

　　(2)按規(guī)律，當(dāng)該專賣店銷售總數(shù)超過400件時(shí)，社會(huì)上流行該服裝，而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時(shí)，該服裝的流行會(huì)消失.試問該服裝在社會(huì)上流行的天數(shù)是否會(huì)超過10天?并說明理由.

　　解：(1)由圖形知，當(dāng)1m且nN*時(shí)，f(n)=5n-3.

　　由f(m)=57，得m=12.

　　f(n)=

　　前12天的銷售總量為

　　5(1+2+3++12)-312=354件.

　　(2)第13天的銷售量為f(13)=-313+93=54件，而354+54400，

　　從第14天開始銷售總量超過400件，即開始流行.

　　設(shè)第n天的日銷售量開始低于30件(1221.

　　從第22天開始日銷售量低于30件，

　　即流行時(shí)間為14號(hào)至21號(hào).

　　該服裝流行時(shí)間不超過10天.

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 3

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1．理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)三要素．共3頁，當(dāng)前第1頁123

　　2．通過對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)的認(rèn)識(shí)與使用，使學(xué)生在符號(hào)表示方面的能力得以提高．

　　3．通過函數(shù)定義由變量觀點(diǎn)向映射觀點(diǎn)得過渡，使學(xué)生能從發(fā)展與聯(lián)系的角度看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

　　教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念；

　　難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)的認(rèn)識(shí)與使用．

　　教學(xué)用具：

　　投影儀

　　教學(xué)方法：

　　自學(xué)研究與啟發(fā)討論式．

　　教學(xué)過程：

　　一、復(fù)習(xí)與引入

　　今天我們研究的內(nèi)容是函數(shù)的概念．函數(shù)并不象前面學(xué)習(xí)的集合，映射一樣我們一無所知，而是比較熟悉，所以我先找同學(xué)說說對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，如函數(shù)是什么?學(xué)過什么函數(shù)?

　　(要求學(xué)生盡量用自己的話描述初中函數(shù)的定義，并試舉出各類學(xué)過的函數(shù)例子)

　　學(xué)生舉出如等，待學(xué)生說完定義后教師打出投影片，給出定義之后教師也舉一個(gè)例子，問學(xué)生．

　　提問1．是函數(shù)嗎?

　　(由學(xué)生討論，發(fā)表各自的意見，有的認(rèn)為它不是函數(shù)，理由是沒有兩個(gè)變量，也有的認(rèn)為是函數(shù)，理由是可以可做．)

　　教師由此指出我們爭論的焦點(diǎn)，其實(shí)就是函數(shù)定義的不完善的地方，這也正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎(chǔ)上從更高的觀點(diǎn)，將它完善與深化．

　　二、新課

　　現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們打開書翻到第50頁，從這開始閱讀有關(guān)的內(nèi)容，再回答我的問題．(約2-3分鐘或開始提問)

　　提問2．新的`函數(shù)的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下．

　　學(xué)生的回答往往是把書上的定義念一遍，教師可以板書的形式寫出定義，但還要引導(dǎo)形式發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì)．

　　(板書)2．2函數(shù)

　　一、函數(shù)的概念

　　1．定義：如果a，b都是非空的數(shù)集，那么a到b的映射就叫做a到b的函數(shù)，記作．其中原象集合a稱為定義域，象集c稱為值域．

　　問題3：映射與函數(shù)有何關(guān)系?(函數(shù)一定是映射嗎?映射一定是函數(shù)嗎?)

　　引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是特殊的映射，特殊在集合a，b必是非空的數(shù)集．

　　2．本質(zhì)：函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射．(板書)

　　然后讓學(xué)生試回答剛才關(guān)于是不是函數(shù)的問題，要求從映射的角度解釋．

　　此時(shí)學(xué)生可以清楚的看到滿足映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義，故是一個(gè)函數(shù)，這樣解釋就很自然．

　　教師繼續(xù)把問題引向深入，提出在映射的觀點(diǎn)下如何解釋是個(gè)函數(shù)?

　　從映射角度看可以是其中定義域是，值域是．

　　從剛才的分析可以看出，映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義更具一般性，更能揭示函數(shù)的本質(zhì)．這也是我們后面要對(duì)函數(shù)進(jìn)行理論研究的一種需要．所以我們著重從映射角度再來認(rèn)識(shí)函數(shù)．

　　3．函數(shù)的三要素及其作用(板書)

　　函數(shù)是映射，自然是由三件事構(gòu)成的一個(gè)整體，分別稱為定義域．值域和對(duì)應(yīng)法則．當(dāng)我們認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)時(shí)，應(yīng)從這三方面去了解認(rèn)識(shí)它．

　　例1以下關(guān)系式表示函數(shù)嗎?為什么?

　　(1)；(2)．

　　解：(1)由有意義得，解得．由于定義域是空集，故它不能表示函數(shù)．

　　(2)由有意義得，解得．定義域?yàn)椋�值域�(yàn)椋?/p>

　　由以上兩題可以看出三要素的作用

　　(1)判斷一個(gè)函數(shù)關(guān)系是否存在．(板書)

　　例2下列各函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)．共3頁，當(dāng)前第2頁123

　　(1)；(2) (3)；(4)．

　　解：先認(rèn)清，它是(定義域)到(值域)的映射，其中

　�。�

　　再看(1)定義域?yàn)榍遥�是不同的�?2)定義域?yàn)�，是不同的�?/p>

　　(4)，法則是不同的；

　　而(3)定義域是，值域是，法則是乘2減1，與完全相同．

　　求解后要求學(xué)生明確判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同應(yīng)看定義域和對(duì)應(yīng)法則完全一致，這時(shí)三要素的又一作用．

　　(2)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同．（板書）

　　下面我們研究一下如何表示函數(shù)，以前我們學(xué)習(xí)時(shí)雖然會(huì)表示函數(shù)，但沒有相系統(tǒng)研究函數(shù)的表示法，其實(shí)表示法有很多，不過首先應(yīng)從函數(shù)記號(hào)說起．

　　4．對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解(板書)

　　首先讓學(xué)生知道與的含義是一樣的，它們都表示是的函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)值，連接的紐帶是法則，所以這個(gè)符號(hào)本身也說明函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體．下面我們舉例說明．

　　例3已知函數(shù)試求(板書)

　　分析：首先讓學(xué)生認(rèn)清的含義，要求學(xué)生能從變量觀點(diǎn)和映射觀點(diǎn)解釋，再進(jìn)行計(jì)算．

　　含義1：當(dāng)自變量取3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即；

　　含義2：定義域中原象3的象，根據(jù)求象的方法知．而應(yīng)表示原象的象，即．

　　計(jì)算之后，要求學(xué)生了解與的區(qū)別，是常量，而是變量，只是中一個(gè)特殊值．

　　最后指出在剛才的題目中是用一個(gè)具體的解析式表示的，而以后研究的函數(shù)不一定能用一個(gè)解析式表示，此時(shí)我們需要用其他的方法表示，具體的方法下節(jié)課再進(jìn)一步研究．

　　三、小結(jié)

　　1.函數(shù)的定義

　　2.對(duì)函數(shù)三要素的認(rèn)識(shí)

　　3.對(duì)函數(shù)符號(hào)的認(rèn)識(shí)

　　四、作業(yè)：略

　　五、板書設(shè)計(jì)

　　2．2函數(shù)例1．例3．

　　一.函數(shù)的概念

　　1.定義

　　2.本質(zhì)例2．小結(jié)：

　　3.函數(shù)三要素的認(rèn)識(shí)及作用

　　4.對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解

　　探究活動(dòng)

　　函數(shù)在數(shù)學(xué)及實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，在我們身邊就存在著很多與函數(shù)有關(guān)的問題如在我們身邊就有不少分段函數(shù)的實(shí)例，下面就是一個(gè)生活中的分段函數(shù)．

　　夏天，大家都喜歡吃西瓜，而西瓜的價(jià)格往往與西瓜的重量相關(guān)．某人到一個(gè)水果店去買西瓜，價(jià)格表上寫的是：6斤以下，每斤0．4元．6斤以上9斤以下，每斤0．5元，9斤以上，每斤0．6元．此人挑了一個(gè)西瓜，稱重后店主說5元1角，1角就不要了，給5元吧，可這位聰明的顧客馬上說，你不僅沒少要，反而多收了我錢，當(dāng)顧客講出理由，店主只好承認(rèn)了錯(cuò)誤，照實(shí)收了錢．

　　同學(xué)們，你知道顧客是怎樣店主坑人了呢?其實(shí)這樣的數(shù)學(xué)問題在我們身邊有很多，只要你注意觀察，積累，并學(xué)以至用，就能成為一個(gè)聰明人，因?yàn)?strong>數(shù)學(xué)可以使人聰明起來．

　　答案：

　　若西瓜重9斤以下則最多應(yīng)付4.5元,若西瓜重9斤以上,則最少也要5.4元,不可能出現(xiàn)5.1元這樣的價(jià)錢,所以店主坑人了．

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 4

　　一、課前準(zhǔn)備：

　　【自主梳理】

　　1.對(duì)數(shù)：

　　(1) 一般地，如果 ，那么實(shí)數(shù) 叫做________________，記為________，其中 叫做對(duì)數(shù)的_______， 叫做________.

　　(2)以10為底的對(duì)數(shù)記為________，以 為底的對(duì)數(shù)記為_______.

　　(3) ， .

　　2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

　　(1)如果 ，那么 ，

　　.

　　(2)對(duì)數(shù)的換底公式： .

　　3.對(duì)數(shù)函數(shù)：

　　一般地，我們把函數(shù)____________叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是______.

　　4.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：

　　a1 0

　　圖象性

　　質(zhì) 定義域：___________

　　值域：_____________

　　過點(diǎn)(1，0)，即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

　　x(0，1)時(shí)_________

　　x(1，+)時(shí)________ x(0，1)時(shí)_________

　　x(1，+)時(shí)________

　　在___________上是增函數(shù) 在__________上是減函數(shù)

　　【自我檢測(cè)】

　　1. 的定義域?yàn)開________.

　　2.化簡： .

　　3.不等式 的解集為________________.

　　4.利用對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算： .

　　5.函數(shù) 的奇偶性是____________.

　　6.對(duì)于任意的 ，若函數(shù) ，則 與 的大小關(guān)系是___________________________.

　　二、課堂活動(dòng)：

　　【例1】填空題：

　　(1) .

　　(2)比較 與 的大小為___________.

　　(3)如果函數(shù) ，那么 的最大值是_____________.

　　(4)函數(shù) 的奇偶性是___________.

　　【例2】求函數(shù) 的定義域和值域.

　　【例3】已知函數(shù) 滿足 .

　　(1)求 的解析式;

　　(2)判斷 的奇偶性;

　　(3)解不等式 .

　　課堂小結(jié)

　　三、課后作業(yè)

　　1. .略

　　2.函數(shù) 的定義域?yàn)開______________.

　　3.函數(shù) 的值域是_____________.

　　4.若 ，則 的取值范圍是_____________.

　　5.設(shè) 則 的.大小關(guān)系是_____________.

　　6.設(shè)函數(shù) ，若 ，則 的取值范圍為_________________.

　　7.當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，則 的取值范圍為______________.

　　8.函數(shù) 在區(qū)間 上的值域?yàn)?，則 的最小值為____________.

　　9.已知 .

　　(1)求 的定義域;

　　(2)判斷 的奇偶性并予以證明;

　　(3)求使 的 的取值范圍.

　　10.對(duì)于函數(shù) ，回答下列問題：

　　(1)若 的定義域?yàn)?，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;

　　(2)若 的值域?yàn)?，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;

　　(3)若函數(shù) 在 內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

　　四、糾錯(cuò)分析

　　錯(cuò)題卡 題 號(hào) 錯(cuò) 題 原 因 分 析

　　高二數(shù)學(xué)教案：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

　　一、課前準(zhǔn)備：

　　【自主梳理】

　　1.對(duì)數(shù)

　　(1)以 為底的 的對(duì)數(shù)， ，底數(shù)，真數(shù).

　　(2) ， .

　　(3)0，1.

　　2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

　　(1) ， , .

　　(2) .

　　3.對(duì)數(shù)函數(shù)

　　， .

　　4.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

　　a1 0

　　圖象性質(zhì) 定義域：(0，+)

　　值域：R

　　過點(diǎn)(1，0)，即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

　　x(0，1)時(shí)y0

　　x(1，+)時(shí)y0 x(0，1)時(shí)y0

　　x(1，+)時(shí)y0

　　在(0，+)上是增函數(shù) 在(0，+)上是減函數(shù)

　　【自我檢測(cè)】

　　1. 2. 3.

　　4. 5.奇函數(shù) 6. .

　　二、課堂活動(dòng)：

　　【例1】填空題：

　　(1)3.

　　(2) .

　　(3)0.

　　(4)奇函數(shù).

　　【例2】解：由 得 .所以函數(shù) 的定義域是(0，1).

　　因?yàn)?，所以，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 的值域?yàn)?;當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 的值域?yàn)?.

　　【例3】解：(1) ，所以 .

　　(2)定義域(-3，3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以

　　，所以 為奇函數(shù).

　　(3) ，所以當(dāng) 時(shí)， 解得

　　當(dāng) 時(shí)， 解得 .

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 5

　　教材分析：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型．高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時(shí)還用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，高中階段更注重函數(shù)模型化的思想．

　　教學(xué)目的：

　�。�1）通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；

　�。�2）了解構(gòu)成函數(shù)的要素；

　�。�3）會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；

　　（4）能夠正確使用“區(qū)間”的符號(hào)表示某些函數(shù)的定義域；

　　教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)的模型化思想，用合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)；

　　教學(xué)難點(diǎn)：符號(hào)“y=f(x)”的含義，函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示；

　　教學(xué)過程：

　　一、引入課題

　　1.復(fù)習(xí)初中所學(xué)函數(shù)的概念，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的模型化思想；

　　2.閱讀課本引例，體會(huì)函數(shù)是描述客觀事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型的思想：

　�。�1）炮彈的射高與時(shí)間的變化關(guān)系問題；

　�。�2）南極臭氧空洞面積與時(shí)間的'變化關(guān)系問題；

　　（3）“八五”計(jì)劃以來我國城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時(shí)間的變化關(guān)系問題

　　備用實(shí)例：

　　我國xxxx年4月份非典疫情統(tǒng)計(jì)：

　　日期222324252627282930

　　新增確診病例數(shù)1061058910311312698152101

　　3.引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用集合與對(duì)應(yīng)的語言描述各個(gè)實(shí)例中兩個(gè)變量間的依賴關(guān)系；

　　4.根據(jù)初中所學(xué)函數(shù)的概念，判斷各個(gè)實(shí)例中的兩個(gè)變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系．

　　二、新課教學(xué)

　�。ㄒ唬┖瘮�(shù)的有關(guān)概念

　　1．函數(shù)的概念：

　　設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function）．

　　記作：y=f(x)，x∈A．

　　其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域（range）．

　　注意：

　　○1“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

　　○2函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x．

　　2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：

　　定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

　　3．區(qū)間的概念

　�。�1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

　�。�2）無窮區(qū)間；

　�。�3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

　　4．一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域討論

　�。ㄓ蓪W(xué)生完成，師生共同分析講評(píng)）

　　（二）典型例題

　　1．求函數(shù)定義域

　　課本P20例1

　　解：（略）

　　說明：

　　○1函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定，如果課前三個(gè)實(shí)例；

　　○2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；

　　○3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．

　　鞏固練習(xí)：課本P22第1題

　　2．判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)

　　課本P21例2

　　解：（略）

　　說明：

　　○1構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥�一函�?shù)）

　　○2兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

　　鞏固練習(xí)：

　　○1課本P22第2題

　　○2判斷下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個(gè)函數(shù)，說明理由？

　�。�1）f(x)=(x－1)0；g(x)=1

　�。�2）f(x)=x；g(x)=

　　（3）f(x)=x2；f(x)=(x+1)2

　�。�4）f(x)=|x|；g(x)=

　�。ㄈ�）課堂練習(xí)

　　求下列函數(shù)的定義域

　�。�1）

　�。�2）

　�。�3）

　�。�4）

　　（5）

　�。�6）

　　三、歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想

　　從具體實(shí)例引入了函數(shù)的的概念，用集合與對(duì)應(yīng)的語言描述了函數(shù)的定義及其相關(guān)概念，介紹了求函數(shù)定義域和判斷同一函數(shù)的典型題目，引入了區(qū)間的概念來表示集合。

　　四、作業(yè)布置

　　課本P28習(xí)題1．2（A組）第1—7題（B組）第1題

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 6

　　第二十四教時(shí)

　　教材：倍角公式，推導(dǎo)和差化積及積化和差公式

　　目的：繼續(xù)復(fù)習(xí)鞏固倍角公式，加強(qiáng)對(duì)公式靈活運(yùn)用的訓(xùn)練;同時(shí)，讓學(xué)生推導(dǎo)出和差化積和積化和差公式，并對(duì)此有所了解。

　　過程：

　　一、 復(fù)習(xí)倍角公式、半角公式和萬能公式的推導(dǎo)過程：

　　例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 +

　　(《教學(xué)與測(cè)試》P115 例三)

　　解：

　　又∵tan2 0，tan 0 ，

　　2 + =

　　例二、 已知sin cos = ， ，求 和tan的值

　　解：∵sin cos =

　　化簡得：

　　∵ 即

　　二、 積化和差公式的推導(dǎo)

　　sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]

　　sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]

　　cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]

　　cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]

　　這套公式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，不要求記憶，它的.優(yōu)點(diǎn)在于將積式化為和差，有利于簡化計(jì)算。(在告知公式前提下)

　　例三、 求證：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32

　　證：左邊 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2

　　= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2

　　= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2

　　= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)

　　= cos22cos22 = cos32 = 右邊

　　原式得證

　　三、 和差化積公式的推導(dǎo)

　　若令 + = ， = ，則 ， 代入得：

　　這套公式稱為和差化積公式，其特點(diǎn)是同名的正(余)弦才能使用，它與積化和差公式相輔相成，配合使用。

　　例四、 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值

　　解：∵cos cos = ， ①

　　sin sin = ， ②

　　四、 小結(jié)：和差化積，積化和差

　　五、 作業(yè)：《課課練》P3637 例題推薦 13

　　P3839 例題推薦 13

　　P40 例題推薦 13

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 7

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1.進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決對(duì)數(shù)型函數(shù)的常見問題.

　　2.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，以及分析推理的能力.

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)向?qū)��?shù)型函數(shù)的演變延伸.

　　教學(xué)過程：

　　一、問題情境

　　1.復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

　　2.回答下列問題.

　　(1)函數(shù)y=log2x的值域是 ;

　　(2)函數(shù)y=log2x(x≥1)的值域是 ;

　　(3)函數(shù)y=log2x(0

　　3.情境問題.

　　函數(shù)y=log2(x2+2x+2)的定義域和值域分別如何求呢?

　　二、學(xué)生活動(dòng)

　　探究完成情境問題.

　　三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

　　例1 求函數(shù)y=log2(x2+2x+2)的定義域和值域.

　　練習(xí)：

　　(1)已知函數(shù)y=log2x的值域是[-2，3]，則x的范圍是________________.

　　(2)函數(shù) ，x(0，8]的值域是 .

　　(3)函數(shù)y=log (x2-6x+17)的值域 .

　　(4)函數(shù) 的值域是_______________.

　　例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

　　(1)f (x)=lg (2)f (x)=ln( -x)

　　例3 已知loga 0.75>1，試求實(shí)數(shù)a 取值范圍.

　　例4 已知函數(shù)y=loga(1-ax)(a>0，a≠1).

　　(1)求函數(shù)的定義域與值域;

　　(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

　　練習(xí)：

　　1.下列函數(shù)(1) y=x-1;(2) y=log2(x-1);(3) y= ;(4)y=lnx，其中值域?yàn)镽的有 (請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

　　2.函數(shù)y=lg( -1)的.圖象關(guān)于 對(duì)稱.

　　3.已知函數(shù) (a>0，a≠1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么實(shí)數(shù)m= .

　　4.求函數(shù) ，其中x [ ，9]的值域.

　　四、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)

　　(1)借助于對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域與值域;

　　(2)換元法;

　　(3)能畫出較復(fù)雜函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)(數(shù)形結(jié)合).

　　五、作業(yè)

　　課本P70～71-4，5，10，11.

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 8

　　教材：已知三角函數(shù)值求角(反正弦，反余弦函數(shù))

　　目的：要求學(xué)生初步(了解)理解反正弦、反余弦函數(shù)的意義，會(huì)由已知角的正弦值、余弦值求出 范圍內(nèi)的角，并能用反正弦，反余弦的符號(hào)表示角或角的集合。

　　過程：

　　一、簡單理解反正弦，反余弦函數(shù)的意義。

　　由

　　1在R上無反函數(shù)。

　　2在 上， x與y是一一對(duì)應(yīng)的，且區(qū)間 比較簡單

　　在 上， 的反函數(shù)稱作反正弦函數(shù)，

　　記作 ，(奇函數(shù))。

　　同理，由

　　在 上， 的反函數(shù)稱作反余弦函數(shù)，

　　記作

　　二、已知三角函數(shù)求角

　　首先應(yīng)弄清：已知角求三角函數(shù)值是單值的。

　　已知三角函數(shù)值求角是多值的。

　　例一、1、已知 ，求x

　　解： 在 上正弦函數(shù)是單調(diào)遞增的'，且符合條件的角只有一個(gè)

　　(即 )

　　2、已知

　　解： ， 是第一或第二象限角。

　　即( )。

　　3、已知

　　解： x是第三或第四象限角。

　　(即 或 )

　　這里用到 是奇函數(shù)。

　　例二、1、已知 ，求

　　解：在 上余弦函數(shù) 是單調(diào)遞減的，

　　且符合條件的角只有一個(gè)

　　2、已知 ，且 ，求x的值。

　　解： ， x是第二或第三象限角。

　　3、已知 ，求x的值。

　　解：由上題： 。

　　介紹：∵

　　上題

　　例三、(見課本P74-P75)略。

　　三、小結(jié)：求角的多值性

　　法則：1、先決定角的象限。

　　2、如果函數(shù)值是正值，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角x;

　　如果函數(shù)值是負(fù)值，則先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角x，

　　3、由誘導(dǎo)公式，求出符合條件的其它象限的角。

　　四、作業(yè)：

　　P76-77 練習(xí) 3

　　習(xí)題4.11 1，2，3，4中有關(guān)部分。

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 9

　　一.學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　1.經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問題情境分析確定二次函數(shù)表達(dá)式的過程，體會(huì)二次函數(shù)意義。

　　2.了解二次函數(shù)關(guān)系式，會(huì)確定二次函數(shù)關(guān)系式中各項(xiàng)的系數(shù)。

　　二.知識(shí)導(dǎo)學(xué)

　�。ㄒ唬┣榫皩�(dǎo)學(xué)

　　1．一粒石子投入水中，激起的波紋不斷向外擴(kuò)展，擴(kuò)大的圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式是 。

　　2．用16米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,怎樣圍可使小兔的活動(dòng)范圍較大?

　　設(shè)長方形的長為x 米，則寬為 米，如果將面積記為y平方米，那么變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 .

　　3．要給邊長為x米的正方形房間鋪設(shè)地板，已知某種地板的價(jià)格為每平方米240元，踢腳線的價(jià)格為每米30元，如果其他費(fèi)用為1000元，門寬0.8米，那么總費(fèi)用y為多少元？

　　在這個(gè)問題中，地板的費(fèi)用與 有關(guān)，為 元,踢腳線的費(fèi)用與 有關(guān)，為 元；其他費(fèi)用固定不變?yōu)?元，所以總費(fèi)用y（元）與x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式是 。

　�。ǘ�）歸納提高。

　　上述函數(shù)函數(shù)關(guān)系有哪些共同之處？它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的關(guān)系式有什么不同？

　　一般地，我們稱 表示的函數(shù)為二次函數(shù)。其中 是自變量， 函數(shù)。

　　一般地，二次函數(shù) 中自變量x的取值范圍是 ，你能說出上述三個(gè)問題中自變量的取值范圍嗎？

　�。ㄈ�）典例分析

　　例1、判斷：下列函數(shù)是否為二次函數(shù)，如果是，指出其中常數(shù)a.b.c的值.

　　(1) y＝1— (2)y＝x(x－5) (3)y＝ － x＋1 (4) y＝3x(2－x)＋ 3x2

　　(5)y＝ (6) y＝ (7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c

　　例2．當(dāng)k為何值時(shí)，函數(shù) 為二次函數(shù)？

　　例3．寫出下列各函數(shù)關(guān)系，并判斷它們是什么類型的函數(shù)．

　�、耪�方體的表面積S（cm2）與棱長a（cm）之間的函數(shù)關(guān)系；

　�、茍A的面積y（cm2）與它的周長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系；

　�、悄撤N儲(chǔ)蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不計(jì)利息，求本息和y（元）與所存年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系；

　　⑷菱形的兩條對(duì)角線的和為26cm，求菱形的面積S（cm2）與一對(duì)角線長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系．

　　三.鞏固拓展

　　1.已知函數(shù) 是二次函數(shù)，求m的值.

　　2. 已知二次函數(shù) ，當(dāng)x=3時(shí)，y= -5，當(dāng)x= -5時(shí)，求y的值．

　　3.一個(gè)長方形的長是寬的1.6倍，寫出這個(gè)長方形的面積S與寬x之間函數(shù)關(guān)系式。

　　4.一個(gè)圓柱的高與底面直徑相等，試寫出它的表面積S與底面半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式

　　5.用一根長為40 cm的鐵絲圍成一個(gè)半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的函數(shù)關(guān)系式．這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)嗎？請(qǐng)寫出半徑r的取值范圍．

　　6. 一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個(gè)半圓，下部是一個(gè)矩形，矩形的一邊長2.5 m．

　　⑴求隧道截面的面積S（m2）關(guān)于上部半圓半徑r（m）的函數(shù)關(guān)系式；

　�、魄螽�(dāng)上部半圓半徑為2 m時(shí)的截面面積．（π取3.14，結(jié)果精確到0.1 m2）

　　課堂練習(xí):

　　1.判斷下列函數(shù)是否是二次函數(shù),若是,請(qǐng)指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。

　�。�1）y=2-3x2; (2)y=x2+2x3; (3)y= ; (4)y= .

　　2.寫出多項(xiàng)式的.對(duì)角線的條數(shù)d與邊數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系式。

　　3.某產(chǎn)品年產(chǎn)量為30臺(tái)，計(jì)劃今后每年比上一年的產(chǎn)量增長x%，試寫出兩年后的產(chǎn)量y（臺(tái)）與x的函數(shù)關(guān)系式。

　　4.圓柱的高h(yuǎn)(cm)是常量，寫出圓柱的體積v(cm3)與底面周長C(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式。

　　課外作業(yè)：

　　A級(jí)：

　　1.下列函數(shù)：（1）y=3x2+ +1;(2)y= x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x- ,屬于二次函數(shù)的

　　是 (填序號(hào)).

　　2.函數(shù)y=(a-b)x2+ax+b是二次函數(shù)的條件為 .

　　3.下列函數(shù)關(guān)系中,滿足二次函數(shù)關(guān)系的是( )

　　A.圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系; B.在彈性限度內(nèi),彈簧的長度與所掛物體質(zhì)量的關(guān)系;

　　C.圓柱的高一定時(shí),圓柱的體積與底面半徑的關(guān)系;

　　D.距離一定時(shí),汽車行駛的速度與時(shí)間之間的關(guān)系.

　　4.某超市1月份的營業(yè)額為200萬元,2、3月份營業(yè)額的月平均增長率為x，求第一季度營業(yè)額y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式.

　　B級(jí)：

　　5、一塊直角三角尺的形狀與尺寸如圖，若圓孔的半徑為 ，三角尺的厚度為16，求這塊三角尺的體積V與n的函數(shù)關(guān)系式.

　　6.某地區(qū)原有20個(gè)養(yǎng)殖場，平均每個(gè)養(yǎng)殖場養(yǎng)奶牛20xx頭。后來由于市場原因，決定減少養(yǎng)殖場的數(shù)量，當(dāng)養(yǎng)殖場每減少1個(gè)時(shí)，平均每個(gè)養(yǎng)殖場的奶牛數(shù)將增加300頭。如果養(yǎng)殖場減少x個(gè)，求該地區(qū)奶牛總數(shù)y（頭）與x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式。

　　C級(jí)：

　　7.圓的半徑為2cm，假設(shè)半徑增加xcm 時(shí)，圓的面積增加到y(tǒng)(cm2).

　　(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

　�。�2）當(dāng)圓的半徑分別增加1cm、 時(shí)，圓的面積分別增加多少？

　　（3）當(dāng)圓的面積為5πcm2時(shí)，其半徑增加了多少?

　　8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).

　　(1)證明y是x的二次函數(shù)；

　　(2)當(dāng)k=-2時(shí)，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 10

　　教學(xué)目標(biāo)：

　�、僬莆諏�(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

　�、趹�(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以解決：對(duì)數(shù)的大小比較，求復(fù)

　　合函數(shù)的定義域、值 域及單調(diào)性。

　�、� 注重函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想的滲透，提高

　　解題能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用。

　　教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

　　⒈復(fù)習(xí)提問：對(duì)數(shù)函數(shù)的'概念及性質(zhì)。

　　⒉開始正課

　　1 比較數(shù)的大小

　　例 1 比較下列各組數(shù)的大小。

　�、舕oga5。1 ，loga5。9 (a>0，a≠1)

　�、苐og0。50。6 ，logЛ0。5 ，lnЛ

　　師：請(qǐng)同學(xué)們觀察一下⑴中這兩個(gè)對(duì)數(shù)有何特征？

　　生：這兩個(gè)對(duì)數(shù)底相等。

　　師：那么對(duì)于兩個(gè)底相等的對(duì)數(shù)如何比大��？

　　生：可構(gòu)造一個(gè)以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小。

　　師：對(duì)，請(qǐng)敘述一下這道題的解題過程。

　　生：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底的大�。寒�(dāng)0

　　調(diào)遞減，所以loga5。1>loga5。9 ；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax單調(diào)遞

　　增，所以loga5。1

　　板書：

　　解：Ⅰ）當(dāng)0

　　∵5。1<5。9 1="">loga5。9

　�、颍┊�(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax在（0，+∞）上是增函數(shù)，

　　∵5。1<5。9 ∴l(xiāng)oga5。1

　　師：請(qǐng)同學(xué)們觀察一下⑵中這三個(gè)對(duì)數(shù)有何特征？

　　生：這三個(gè)對(duì)數(shù)底、真數(shù)都不相等。

　　師：那么對(duì)于這三個(gè)對(duì)數(shù)如何比大��？

　　生：找“中間量”， log0。50。6>0，lnЛ>0，logЛ0。5<0；lnл>1，log0。50。6<1，所以logЛ0。5< log0。50。6< lnЛ。

　　板書：略。

　　師：比較對(duì)數(shù)值的大小常用方法：①構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，直接利用對(duì)數(shù)函

　　數(shù) 的單調(diào)性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對(duì)數(shù)

　　函數(shù)圖象的位置關(guān)系來比大小。

　　2 函數(shù)的定義域， 值 域及單調(diào)性。

　　例 2 ⑴求函數(shù)y=的定義域。

　�、平獠坏仁絣og0。2(x2+2x-3)>log0。2(3x+3)

　　師：如何來求⑴中函數(shù)的定義域？（提示：求函數(shù)的定義域，就是要

　　使函數(shù)有意義。若函數(shù)中含有分母，分母不為零；有偶次根式，

　　被開方式大于或等于零；若函數(shù)中有對(duì)數(shù)的形式，則真數(shù)大于

　　零，如果函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)以上幾種情況，就要全部考慮進(jìn)去，求

　　它們共同作用的結(jié)果。）

　　生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0。8x-1≥0，且真數(shù)x>0。

　　板書：

　　解：∵ 2x-1≠0 x≠0。5

　　log0。8x-1≥0 ， x≤0。8

　　x>0 x>0

　　∴x(0，0。5)∪(0。5，0。8〕

　　師：接下來我們一起來解這個(gè)不等式。

　　分析：要解這個(gè)不等式，首先要使這個(gè)不等式有意義，即真數(shù)大于零，

　　再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解。

　　師：請(qǐng)你寫一下這道題的解題過程。

　　生：<板書>

　　解： x2+2x-3>0 x<-3 x="">1

　　(3x+3)>0 ， x>-1

　　x2+2x-3<(3x+3) -2

　　不等式的解為：1

　　⒊小結(jié)

　　這堂課主要講解如何應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些問題，希望能通過這堂課使同學(xué)們對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想加以應(yīng)用，提高解題能力。

　　⒋作業(yè)

　�、沤獠坏仁�

　　①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1)，(a為常數(shù))

　�、埔阎�函數(shù)y=loga(x2-2x)，(a>0，a≠1)

　�、偾笏�的單調(diào)區(qū)間；②當(dāng)0

　�、且阎�函數(shù)y=loga (a>0， b>0， 且 a≠1)

　�、偾笏�的定義域；②討論它的奇偶性;

　�、塾懻撍�的單調(diào)性。

　　⑷已知函數(shù)y=loga(ax-1) (a>0，a≠1)，

　�、偾笏�的定義域；

　�、诋�(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值大于1；

　�、塾懻撍�的單調(diào)性。

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 11

　　通過學(xué)生的討論，使學(xué)生更清楚以下事實(shí)：

　　(1)分解因式與整式的乘法是一種互逆關(guān)系;

　　(2)分解因式的結(jié)果要以積的形式表示;

　　(3)每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來的多項(xiàng)式 的次數(shù);

　　(4)必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式不能再分解為止。

　　活動(dòng)5：應(yīng)用新知

　　例題學(xué)習(xí)：

　　P166例1、例2(略)

　　在教師的`引導(dǎo)下，學(xué)生應(yīng)用提公因式法共同完成例題。

　　讓學(xué)生進(jìn)一步理解提公因式法進(jìn)行因式分解。

　　活動(dòng)6：課堂練習(xí)

　　1.P167練習(xí);

　　2. 看誰連得準(zhǔn)

　　x2-y2 (x+1)2

　　9-25 x 2 y(x -y)

　　x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)

　　xy-y2 (x+y)(x-y)

　　3.下列哪些變形是因式分解，為什么?

　　(1)(a+3)(a -3)= a 2-9

　　(2)a 2-4=( a +2)( a -2)

　　(3)a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1

　　(4)2πR+2πr=2π(R+r)

　　學(xué)生自主完成練習(xí)。

　　通過學(xué)生的反饋練習(xí)，使教師能全面了解學(xué)生對(duì)因式分解意義的理解是否到位，以便教師能及時(shí)地進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。

　　活動(dòng)7：課堂小結(jié)

　　從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)?掌握了哪些方法?明白了哪些道理?

　　學(xué)生發(fā)言。

　　通過學(xué)生的回顧與反思，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)因式分解意義的理解，進(jìn)一步清楚地了解分解因式與整式的乘法的互逆關(guān)系，加深對(duì)類比的數(shù)學(xué)思想的理解。

　　活動(dòng)8：課后作業(yè)

　　課本P170習(xí)題的第1、4大題。

　　學(xué)生自主完成

　　通過作業(yè)的鞏固對(duì)因式分解，特別是提公因式法理解并學(xué)會(huì)應(yīng)用。

　　板書設(shè)計(jì)(需要一直留在黑板上主板書)

　　15.4.1提公因式法 例題

　　1.因式分解的定義

　　2.提公因式法

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 12

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1.進(jìn)一步理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);

　　2.能較熟練地運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決指數(shù)函數(shù)的平移問題;

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用;

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　指數(shù)函數(shù)圖象的平移變換.

　　教學(xué)過程：

　　一、情境創(chuàng)設(shè)

　　1.復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)

　　練習(xí)：函數(shù)y=ax(a0且a1)的定義域是_____，值域是______，函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)坐標(biāo)為 .若a1，則當(dāng)x0時(shí)，y 1;而當(dāng)x0時(shí)，y 1.若00時(shí)，y 1;而當(dāng)x0時(shí)，y 1.

　　2.情境問題：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)除了比較大小，還有什么作用呢?我們知道對(duì)任意的a0且a1，函數(shù)y=ax的圖象恒過(0，1)，那么對(duì)任意的a0且a1，函數(shù)y=a2x1的圖象恒過哪一個(gè)定點(diǎn)呢?

　　二、數(shù)學(xué)應(yīng)用與建構(gòu)

　　例1 解不等式：

　　(1) ; (2) ;

　　(3) ; (4) .

　　小結(jié)：解關(guān)于指數(shù)的不等式與判斷幾個(gè)指數(shù)值的大小一樣，是指數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是底數(shù)所在的范圍.

　　例2 說明下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖：

　　(1) ; (2) ; (3) ; (4) .

　　小結(jié)：指數(shù)函數(shù)的平移規(guī)律：y=f(x)左右平移 y=f(x+k)(當(dāng)k0時(shí)，向左平移，反之向右平移)，上下平移 y=f(x)+h(當(dāng)h0時(shí)，向上平移，反之向下平移).

　　練習(xí)：

　　(1)將函數(shù)f (x)=3x的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，可以得到函數(shù) 的圖象.

　　(2)將函數(shù)f (x)=3x的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，可以得到函數(shù) 的圖象.

　　(3)將函數(shù) 圖象先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位所得函數(shù)的解析式是 .

　　(4)對(duì)任意的a0且a1，函數(shù)y=a2x1的圖象恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是 .函數(shù)y=a2x-1的圖象恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是 .

　　小結(jié)：指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)往往是解決問題的突破口!定點(diǎn)與單調(diào)性相結(jié)合，就可以構(gòu)造出函數(shù)的簡圖，從而許多問題就可以找到解決的突破口.

　　(5)如何利用函數(shù)f(x)=2x的圖象，作出函數(shù)y=2x和y=2|x2|的圖象?

　　(6)如何利用函數(shù)f(x)=2x的圖象，作出函數(shù)y=|2x-1|的圖象?

　　小結(jié)：函數(shù)圖象的對(duì)稱變換規(guī)律.

　　例3 已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的`奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x)=1-2x，試畫出此函數(shù)的圖象.

　　例4 求函數(shù) 的最小值以及取得最小值時(shí)的x值.

　　小結(jié)：復(fù)合函數(shù)常常需要換元來求解其最值.

　　練習(xí)：

　　(1)函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則a等于 ;

　　(2)函數(shù)y=2x的值域?yàn)?;

　　(3)設(shè)a0且a1，如果y=a2x+2ax-1在[-1，1]上的最大值為14，求a的值;

　　(4)當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)=(a2-1)x的值總大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　三、小結(jié)

　　1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;

　　2.指數(shù)型函數(shù)的定點(diǎn)問題;

　　3.指數(shù)型函數(shù)的草圖及其變換規(guī)律.

　　四、作業(yè)：

　　課本P55-6，7.

　　五、課后探究

　　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，1)，則函數(shù) 的定義域?yàn)?.

　　(2)對(duì)于任意的x1，x2R ，若函數(shù)f(x)=2x ，試比較 的大小.

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 13

　　三維目標(biāo)

　　一、知識(shí)與技能

　　1．能靈活列反比例函數(shù)表達(dá)式解決一些實(shí)際問題．

　　2．能綜合利用物理杠桿知識(shí)、反比例函數(shù)的知識(shí)解決一些實(shí)際問題．

　　二、過程與方法

　　1．經(jīng)歷分析實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而解決問題．

　　2． 體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高運(yùn)用代數(shù)方法解決問題的能力．

　　三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

　　1．積極參與交流，并積極發(fā)表意見．

　　2．體驗(yàn)反比例函數(shù)是有效地描述物理世界的重要手段，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題和進(jìn)行交流的重要工具．

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　掌握從物理問題中建構(gòu)反比例函數(shù)模型．

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　從實(shí)際問題中尋找變量之間的關(guān)系，關(guān)鍵是充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析物理問題，建立函數(shù)模型，教學(xué)時(shí)注意分析過程，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．

　　教具準(zhǔn)備

　　多媒體課件．

　　教學(xué)過程

　　一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

　　活動(dòng)1

　　問 屬：在物理學(xué)中，有很多量之間的變化是反比例函數(shù)的關(guān)系，因此，我們可以借助于反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些物理學(xué)中的問題，這也稱為跨學(xué)科應(yīng)用．下面的例子就是其中之一．

　　在某一電路中，保持電壓不變，電流I(安培)和電阻R(歐姆)成反比例，當(dāng)電阻R＝5歐姆時(shí)，電流I＝2安培．

　　(1)求I與R之間的函數(shù)關(guān)系式；

　　(2)當(dāng)電流I＝0.5時(shí)，求電阻R的值．

　　設(shè)計(jì)意圖：

　　運(yùn)用反比例函數(shù)解決物理學(xué)中的一些相關(guān)問題，提高各學(xué)科相互之間的綜合應(yīng)用能力．

　　師生行為：

　　可由學(xué)生獨(dú)立思考，領(lǐng)會(huì)反比例函數(shù)在物理學(xué)中的綜合應(yīng)用．

　　教師應(yīng)給“學(xué)困生”一點(diǎn)物理學(xué)知識(shí)的引導(dǎo)．

　　師：從題目中提供的信息看變量I與R之間的反比例函數(shù)關(guān)系，可設(shè)出其表達(dá)式，再由已知條件(I與R的一對(duì)對(duì)應(yīng)值)得到字母系數(shù)k的值．

　　生：(1)解：設(shè)I＝kR ∵R＝5，I＝2，于是

　　2＝k5 ，所以k＝10，∴I＝10R ．

　　(2) 當(dāng)I＝0.5時(shí)，R＝10I＝100.5 ＝20(歐姆)．

　　師：很好!“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以把地球撬動(dòng)．”這是哪一位科學(xué)家的名言?這里蘊(yùn)涵著什么 樣的原理呢?

　　生：這是古希臘科學(xué)家阿基米德的名言．

　　師：是的．公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿定律”： 若兩物體與支點(diǎn)的距離反比于其重量，則杠桿平衡，通俗一點(diǎn)可以描述為；

　　阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂(如下圖)

　　下面我們就來看一例子．

　　二、講授新課

　　活動(dòng)2

　　小偉欲用撬棍橇動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1200牛頓和0．5米．

　　(1)動(dòng)力F與動(dòng)力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動(dòng)力臂為1.5米時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力?

　　(2)若想使動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半，則動(dòng)力臂至少要加長多少?

　　設(shè)計(jì)意圖：

　　物理學(xué)中的'很多量之間的變化是反比例函數(shù)關(guān)系．因此，在這兒又一次借助反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些物理學(xué)中的問題，即跨學(xué)科綜合應(yīng)用．

　　師生行為：

　　先由學(xué)生根據(jù)“杠桿定律”解決上述問題．

　　教師可引導(dǎo)學(xué)生揭示“杠桿乎衡”與“反比例函數(shù)”之間的關(guān)系．

　　教師在此活動(dòng)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：

　�、賹W(xué)生能否主動(dòng)用“杠桿定律”中杠桿平衡的條件去理解實(shí)際問題，從而建立與反比例函數(shù)的關(guān)系；

　�、趯W(xué)生能否面對(duì)困難，認(rèn)真思考，尋找解題的途徑；

　�、蹖W(xué)生能否積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)和物理有著濃厚的興趣．

　　師：“撬動(dòng)石頭”就意味著達(dá)到了“杠桿平衡”，因此可用“杠桿定律”來解決此問題．

　　生：解：(1)根據(jù)“杠桿定律” 有

　　Fl＝1200×0.5．得F ＝600l

　　當(dāng)l＝1.5時(shí)，F(xiàn)＝6001.5 ＝400．

　　因此，撬動(dòng)石頭至少需要400牛頓的力．

　　(2)若想使動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半，即不超過200牛，根據(jù)“杠桿定律”有

　　Fl＝600，

　　l＝600F ．

　　當(dāng)F＝400×12 ＝200時(shí)，

　　l＝600200 ＝3．

　　3－1.5＝1.5(米)

　　因此，若想用力不超過400牛頓的一半，則動(dòng)力臂至少要如長1.5米．

　　生：也可用不等式來解，如下：

　　Fl＝600，F(xiàn)＝600l ．

　　而F≤400×12 ＝200時(shí)．

　　600l ≤200

　　l≥3．

　　所以l－1.5≥3－1.5＝1.5．

　　即若想用力不超過400牛頓的一半，則動(dòng)力臂至少要加長1.5米．

　　生：還可由函數(shù)圖象，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求出．

　　師：很棒!請(qǐng)同學(xué)們下去親自畫出圖象完成，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考下列問題：

　　用反比例函數(shù)的知識(shí)解釋：在我們使用橇棍時(shí)，為什么動(dòng)力臂越長越省力?

　　生：因?yàn)樽枇�和阻力臂不變，設(shè)動(dòng)力臂為l，動(dòng)力為F，阻力×阻力臂＝k(常數(shù)且k＞0)，所以根據(jù)“杠桿定理”得Fl＝k，即F＝kl (k為常數(shù)且k＞0)

　　根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＞O時(shí)，在第一象限F隨l的增大而減小，即動(dòng)力臂越長越省力．

　　師：其實(shí)反比例函數(shù)在實(shí)際運(yùn)用中非常廣泛．例如在解決經(jīng)濟(jì)預(yù)算問題中的應(yīng)用．

　　活動(dòng)3

　　問題：某地上年度電價(jià)為0.8元，年用電量為1億度，本年度計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0.55～0.75元之間，經(jīng)測(cè)算，若電價(jià)調(diào)至x元，則本年度新增用電量y(億度)與(x－0．4)元成反比例．又當(dāng)x＝0．65元時(shí)，y＝0.8．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每度電的成本價(jià)0.3元，電價(jià)調(diào)至0.6元，請(qǐng)你預(yù)算一下本年度電力部門的純收人多少?

　　設(shè)計(jì)意圖：

　　在生活中各部門，經(jīng)常遇到經(jīng)濟(jì)預(yù)算等問題，有時(shí)關(guān)系到因素之間是反比例函數(shù)關(guān)系，對(duì)于此類問題我們往往由題目提供的信息得到變量之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而用函數(shù)關(guān)系式解決一個(gè)具體問題．

　　師生行為：

　　由學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組內(nèi)討論完成．

　　教師應(yīng)給予“學(xué)困生”以一定的幫助．

　　生：解：(1)∵y與x －0．4成反比例，

　　∴設(shè)y＝kx－0.4 (k≠0)．

　　把x＝0.65，y＝0.8代入y＝kx－0.4 ，得

　　k0.65－0.4 ＝0.8．

　　解得k＝0.2，

　　∴y＝0.2x－0.4＝15x－2

　　∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y＝15x－2

　　(2)根據(jù)題意，本年度電力部門的純收入為

　　(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3(1＋15x－2 )＝0.3(1＋10.6×5－2 )＝0.3×2＝0.6(億元)

　　答：本年度的純收人為0.6億元，

　　師生共析：

　　(1)由題目提供的信息知y與(x－0.4)之間是反比例函數(shù)關(guān)系，把x－0.4看成一個(gè)變量，于是可設(shè)出表達(dá)式，再由題目的條件x＝0.65時(shí)，y＝0.8得出字母系數(shù)的值；

　　(2)純收入＝總收入－總成本．

　　三、鞏固提高

　　活動(dòng)4

　　一定質(zhì)量的二氧化碳?xì)怏w，其體積y(m3)是密度ρ(kg／m3)的反比例函數(shù)，請(qǐng)根據(jù)下圖中的已知條件求出當(dāng)密度ρ＝1.1 kg／m3時(shí)二氧化碳?xì)怏w的體積V的值．

　　設(shè)計(jì)意圖：

　　進(jìn)一步體現(xiàn)物理和反比例函數(shù)的關(guān)系．

　　師生行為

　　由學(xué)生獨(dú)立完成，教師講評(píng)．

　　師：若要求出ρ＝1.1 kg／m3時(shí)，V的值，首先V和ρ的函數(shù)關(guān)系．

　　生：V和ρ的反比例函數(shù)關(guān)系為：V＝990ρ ．

　　生：當(dāng)ρ＝1.1kg／m3根據(jù)V＝990ρ ，得

　　V＝990ρ ＝9901.1 ＝900(m3)．

　　所以當(dāng)密度ρ＝1. 1 kg／m3時(shí)二氧化碳?xì)怏w的氣體為900m3．

　　四、課時(shí)小結(jié)

　　活動(dòng)5

　　你對(duì)本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)?重點(diǎn)掌握利用函數(shù)關(guān)系解實(shí)際問題，首先列出函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出解 析式，再根據(jù)解析式解得．

　　設(shè)計(jì)意圖：

　　這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)機(jī)會(huì)，并為程度不同的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會(huì)，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，從而使小結(jié)不流于形式而具有實(shí)效性．

　　師生行為：

　　學(xué)生可分小組活動(dòng)，在小組內(nèi)交流收獲， 然后由小組代表在全班交流．

　　教師組織學(xué)生小結(jié)．

　　反比例函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系非常緊密，特別是為討論物理中的一些量之間的關(guān)系打下了良好的基礎(chǔ)．用數(shù)學(xué)模型的解釋物理量之間的關(guān)系淺顯易懂，同時(shí)不僅要注意跨學(xué)科間的綜合，而本學(xué)科知識(shí)間的整合也尤為重要，例如方程、不等式、函數(shù)之間的不可分割的關(guān)系．

　　板書設(shè)計(jì)

　　17．2 實(shí)際問題與反比例函數(shù)(三)

　　1．

　　2．用反比例函數(shù)的知識(shí)解釋：在我們使 用撬棍時(shí)，為什么動(dòng) 力臂越長越省力?

　　設(shè)阻力為F1，阻力臂長為l1，所以F1×l1＝k(k為常數(shù)且k＞0)．動(dòng)力和動(dòng)力臂分別為F，l．則根據(jù)杠桿定理，

　　Fl＝k 即F＝kl (k＞0且k為常數(shù))．

　　由此可知F是l的反比例函數(shù)，并且當(dāng)k＞0時(shí)，F(xiàn)隨l的增大而減�。�

　　活動(dòng)與探究

　　學(xué)校準(zhǔn)備在校園內(nèi)修建一個(gè)矩形的綠化帶，矩形的面積為定值，它的一邊y與另一邊x之間的函數(shù)關(guān)系式如下圖所示．

　　(1)綠化帶面積是多少?你能寫出這一函數(shù)表達(dá)式嗎?

　　(2)完成下表，并回答問題：如果該綠化帶的長不得超過40m，那么它的寬應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?

　　x(m) 10 20 30 40

　　y(m)

　　過程：點(diǎn)A(40，10)在反比例函數(shù)圖象上說明點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)表達(dá)式，代入可求得反比例函數(shù)k的值．

　　結(jié)果：(1)綠化帶面積為10×40＝400(m2)

　　設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx ，

　　∵圖象經(jīng)過點(diǎn)A(40，10)把x＝40，y＝10代入，得10＝k40 ，解得，k＝400．

　　∴函數(shù)表達(dá)式為y＝400x ．

　　(2)把x＝10，20，30，40代入表達(dá)式中，求得y分別為40，20，403 ，10．從圖中可以看出。若長不超過40m，則它的寬應(yīng)大于等于10m。

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 14

　　一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

　　1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)。(實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))

　　2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：方程f(x)=0 有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)

　　3、零點(diǎn)定理：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的，并且有f(a)f(b)0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)至少有一個(gè)零點(diǎn)c，使得f( c)=0,此時(shí)c也是方程 f(x)=0 的根。

　　4、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)：

　　(1) (代數(shù)法)求方程f(x)=0 的實(shí)數(shù)根;

　　(2) (幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=f(x)的'圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

　　5、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

　　1)△0，方程f(x)=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

　　2)△=0，方程f(x)=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

　　3)△0，方程f(x)=0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).

　　二、二分法

　　1、概念：對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。

　　2、用二分法求方程近似解的步驟:

　　⑴確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確度ε;

　　⑵求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;

　�、怯�(jì)算f(c),

　　①若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn);

　�、谌鬴(a)f(c)0,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c))

　�、廴鬴(c)f(b)0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c,b))

　　(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a-b|ε,則得到零點(diǎn)近似值為a(或b);否則重復(fù)⑵~⑷

　　三、函數(shù)的應(yīng)用：

　　(1)評(píng)價(jià)模型： 給定模型利用學(xué)過的知識(shí)解模型驗(yàn)證是否符合實(shí)際情況。

　　(2)幾個(gè)增長函數(shù)模型：一次函數(shù)：y=ax+b(a0)

　　指數(shù)函數(shù)：y=ax(a1) 指數(shù)型函數(shù)： y=kax(k1)

　　冪函數(shù)： y=xn( nN*) 對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logax(a1)

　　二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a0)

　　增長快慢：V(ax)V(xn)V(logax)

　　解不等式 (1) log2x x2 (2) log2x 2x

　　(3)分段函數(shù)的應(yīng)用：注意端點(diǎn)不能重復(fù)取，求函數(shù)值先判斷自變量所在的區(qū)間。

　　(4)二次函數(shù)模型： y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函數(shù)的定義域，在求函數(shù)的對(duì)稱軸，看它在不在定義域內(nèi)，在的話代進(jìn)求出最值，不在的話，將定義域內(nèi)離對(duì)稱軸最近的點(diǎn)代進(jìn)求最值。

　　(5)數(shù)學(xué)建模：

數(shù)學(xué)函數(shù)的教案 15

　　一、教學(xué)目的

　　1．使學(xué)生初步理解二次函數(shù)的概念。

　　2．使學(xué)生會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象。

　　3．使學(xué)生結(jié)合y=ax2的圖象初步理解拋物線及其有關(guān)的概念。

　　二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：對(duì)二次函數(shù)概念的初步理解。

　　難點(diǎn)：會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象。

　　三、教學(xué)過程

　　復(fù)習(xí)提問

　　1．在下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？

　�。�1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x—5；（4）y=x2 — 2。

　　2．什么是一無二次方程？

　　3．怎樣用找點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象？

　　新課

　　1．由具體問題引出二次函數(shù)的定義。

　�。�1）已知圓的面積是Scm2，圓的半徑是Rcm，寫出空上圓的面積S與半徑R之間的函數(shù)關(guān)系式。

　　（2）已知一個(gè)矩形的'周長是60m，一邊長是Lm，寫出這個(gè)矩形的面積S（m2）與這個(gè)矩形的一邊長L之間的函數(shù)關(guān)系式。

　�。�3）農(nóng)機(jī)廠第一個(gè)月水泵的產(chǎn)量為50臺(tái)，第三個(gè)月的產(chǎn)量y（臺(tái)）與月平均增長率x之間的函數(shù)關(guān)系如何表示？

　　解：（1）函數(shù)解析式是S=πR2；

　�。�2）函數(shù)析式是S=30L—L2；

　�。�3）函數(shù)解析式是y=50（1+x）2，即

　　y=50x2+100x+50。

　　由以上三例啟發(fā)學(xué)生歸納出：

　�。�1）函數(shù)解析式均為整式；

　　（2）處變量的最高次數(shù)是2。

　　我們說三個(gè)式子都表示的是二次函數(shù)。

　　一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c沒有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，請(qǐng)注意這里b，c沒有限制，而a≠0。

　　2．畫二次函數(shù)y=x2的圖象。

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