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數(shù)的概念的發(fā)展
教學(xué)目標(biāo)
�。�1）了解數(shù)的概念發(fā)展的過(guò)程和動(dòng)力；
�。�2）了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性和作用；理解i的性質(zhì)．
�。�3）正確對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系；
�。�4）了解數(shù)系從自然數(shù)到有理數(shù)到實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù)擴(kuò)充的基本思想．
教學(xué)建議
1．教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
首先簡(jiǎn)明扼要地對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)集因生產(chǎn)與科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過(guò)程作了概括；然后說(shuō)明，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身來(lái)說(shuō)，也解決了原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，使得某些代數(shù)方程在新的數(shù)集中能夠有解。從而引出虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，接著，將數(shù)的范圍擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，并指出復(fù)數(shù)后來(lái)由于在科學(xué)技術(shù)中得到應(yīng)用而進(jìn)一步發(fā)展。
①?gòu)膶?shí)際生產(chǎn)需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展
自然數(shù) 整數(shù) 有理數(shù) 無(wú)理數(shù)
②從解方程的需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展
負(fù)數(shù) 分?jǐn)?shù) 無(wú)理數(shù) 虛數(shù)
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
�。ㄒ唬┱J(rèn)識(shí)數(shù)的概念的發(fā)展的動(dòng)力
從正整數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動(dòng)力來(lái)自兩個(gè)方面。
�、俳鉀Q實(shí)際問(wèn)題的需要
由于計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)；為了表示具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了整數(shù)；由于測(cè)量的需要產(chǎn)生了有理數(shù)；由于表示量與量的比值（如正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與邊長(zhǎng)的比值）的需要產(chǎn)生了無(wú)理數(shù)（既無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）。
�、诮夥匠痰男枰�。
為了使方程 有解，就引進(jìn)了負(fù)數(shù)；為了使方程 有解，就要引進(jìn)分?jǐn)?shù)；為了使方程 有解，就要引進(jìn)無(wú)理數(shù)。
引進(jìn)無(wú)理數(shù)后，我們已經(jīng)能使方程 永遠(yuǎn)有解，但是，這并沒(méi)有徹底解決問(wèn)題，當(dāng) 時(shí)，方程 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解。為了使方程 （ ）有解，就必須把實(shí)數(shù)概念進(jìn)一步擴(kuò)大，這就必須引進(jìn)新的數(shù)。
�。ǘ┳⒁鈹�(shù)的概念在擴(kuò)大時(shí)要遵循的原則
第一，要能解決實(shí)際問(wèn)題中或數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾�，F(xiàn)在要解決的就是在實(shí)數(shù)集中，方程 無(wú)解這一矛盾。
第二，要盡量地保留原有數(shù)集（現(xiàn)在是實(shí)數(shù)集）的性質(zhì)，特別是它的運(yùn)算性質(zhì)。
（三）正確確認(rèn)識(shí)數(shù)集之間的關(guān)系
�、儆欣頂�(shù)就是一切形如 的數(shù)，其中 ，所以有理數(shù)集實(shí)際就是分?jǐn)?shù)集．
�、凇把h(huán)節(jié)不為0的循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)”．
�、郏欣頂�(shù)｝=｛分?jǐn)?shù)｝=｛循環(huán)小數(shù)｝，｛實(shí)數(shù)｝=｛小數(shù)｝．
�、茏匀粩�(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C之間有如下的包含關(guān)系：
2．教法建議
�。�1）注意知識(shí)的連續(xù)性：數(shù)的發(fā)展過(guò)程是漫長(zhǎng)的，每一次發(fā)展都來(lái)自于生產(chǎn)、生活和計(jì)算等需要，所以在教學(xué)時(shí)要注意使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的發(fā)展的兩個(gè)動(dòng)力．
（2）創(chuàng)造良好的課堂氣氛：由于本節(jié)課要了解擴(kuò)充實(shí)數(shù)集的必要性，所以，教師可以多向?qū)W生介紹一些數(shù)的發(fā)展過(guò)程中的一些科學(xué)史，課堂學(xué)習(xí)的氣氛可以營(yíng)造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。
數(shù)的概念的發(fā)展
教學(xué)目的
1.使學(xué)生了解數(shù)是在人類社會(huì)的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，了解虛數(shù)產(chǎn)生歷史過(guò)程；
2.理解并掌握虛數(shù)單位的定義及性質(zhì)；
3.掌握復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的分類．
教學(xué)重點(diǎn)
虛數(shù)單位的定義、性質(zhì)及復(fù)數(shù)的分類．
教學(xué)難點(diǎn)
虛數(shù)單位的性質(zhì)．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
原始社會(huì)，由于計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，隨著文字的產(chǎn)生和發(fā)展，出現(xiàn)了記數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而建立了自然數(shù)的概念。自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集.
為了表示具有相反意義的量引進(jìn)了正負(fù)數(shù)以及表示沒(méi)有的零，這樣將數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集
有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長(zhǎng)去度量它的對(duì)角線所得的結(jié)果，無(wú)法用有理數(shù)表示，為解決這種矛盾，人們又引進(jìn)了無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集．
數(shù)的概念是人類社會(huì)的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，數(shù)學(xué)理論的研究和發(fā)展也推動(dòng)著數(shù)的概念的發(fā)展，數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)時(shí)刻離不開(kāi)的科學(xué)語(yǔ)言和工具．
二、新課教學(xué)
(一)虛數(shù)的產(chǎn)生
我們知道，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，解方程 是無(wú)能為力的，只有把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集才能解決．對(duì)于復(fù)數(shù) （a、b都是實(shí)數(shù)）來(lái)說(shuō)，當(dāng) 時(shí)，就是實(shí)數(shù)；當(dāng) 時(shí)叫虛數(shù)，當(dāng) 時(shí)，叫做純虛數(shù)．可是，歷史上引進(jìn)虛數(shù)，把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進(jìn)虛數(shù)的呢？
16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書(shū)中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”．他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫(xiě)到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時(shí)，他把答案寫(xiě)成 ，盡管他認(rèn)為 和 這兩個(gè)表示式是沒(méi)有意義的、想象的、虛無(wú)飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40．給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)’‘與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開(kāi)來(lái)．
數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)．德國(guó)數(shù)學(xué)家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說(shuō)：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”．瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說(shuō)：“一切形如 ， 習(xí)的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根．對(duì)于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時(shí)間和空間的考驗(yàn)，最終占有自己的一席之地．法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾（．1717—1783）在 1747年指出，如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是 的形式（a、b都是實(shí)數(shù)）（說(shuō)明：現(xiàn)行教科書(shū)中沒(méi)有使用記號(hào) 而使用 ）．法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了 ，這就是著名的探莫佛定理．歐拉在 1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式 ，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來(lái)表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號(hào)i作為虛數(shù)的單位．“虛數(shù)”實(shí)際上不是想象出來(lái)的，而它是確實(shí)存在的．挪威的測(cè)量學(xué)家未塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒(méi)有得到學(xué)術(shù)界的重視．
德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（1777—1855）在 1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來(lái)表示．在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的點(diǎn)A，縱軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)B，并過(guò)這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn)C就表示復(fù)數(shù) ．象這樣，由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來(lái)又稱“高斯平面”．高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù) ，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”．他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合．統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)—一對(duì)應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)—一對(duì)應(yīng)．高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間—一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法．至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來(lái)了．
經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來(lái)面目，原來(lái)虛數(shù)不虛呵．虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集．
隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來(lái)越顯出它的重要性，它不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問(wèn)題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)．
(二)、虛數(shù)單位
1.規(guī)定i叫虛數(shù)單位，并規(guī)定：
(1)
(2)實(shí)數(shù)與它進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立
2.形如 ( )的數(shù)叫復(fù)數(shù)，常用一個(gè)字母z表示，即 ( )
注：(1) ( )叫復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；
(2)以后說(shuō)復(fù)數(shù) 都有 ；
(3)a叫復(fù)數(shù) ( )的實(shí)部記作 ；b叫復(fù)數(shù) ( )的虛部，用 表示；
(4)全體復(fù)數(shù)的所成的集合叫復(fù)數(shù)集用C表示．
例1.指出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部：
(1 (2) (4) (5)
(6) (7) (8)10
3. 復(fù)數(shù) ( )當(dāng) 時(shí)z是實(shí)數(shù)，當(dāng) 時(shí),z是虛數(shù)．
例2. ( )取什么值時(shí)，復(fù)數(shù) 是（?）
(1) 實(shí)數(shù) (2) 純虛數(shù) (3) 零
解：∵ ，∴ ，
(1)z為實(shí)數(shù)，則 解得： 或
(2) z為實(shí)數(shù)，則 解得：
(3)z為零，則 解得：
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