復數的向量表示

教學目標

　�。�1）掌握向量的有關概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

　�。�2）理解并掌握復數集、復平面內的點的集合、復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系；

　�。�3）掌握復數的模的定義及其幾何意義；

　�。�4）通過學習復數的向量表示，培養(yǎng)學生的數形結合的數學思想；

　�。�5）通過本節(jié)內容的學習，培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力，幫助學生逐步形成科學的思維習慣和方法．

 
 教學建議

一、知識結構

　　本節(jié)內容首先從物理中所遇到的一些矢量出發(fā)引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復數集與復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系，指出了復數的模的定義及其計算公式．

二、重點、難點分析

　　本節(jié)的重點是復數與復平面的向量的一一對應關系的理解；難點是復數模的概念．復數可以用向量表示，二者的對應關系為什么只能說復數集與以原點為起點的向量的集合一一對應關系，而不能說與復平面內的向量一一對應，對這一點的理解要加以重視．在復數向量的表示中，從復數集與復平面內的點以及以原點為起點的向量之間的一一對應關系是本節(jié)教學的難點．復數模的概念是一個難點，首先要理解復數的絕對值與實數絕對值定義的一致性質，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長度，也就是復平面上的點到原點的距離．

三、教學建議

　　1．在學習新課之前一定要復習舊知識，包括實數的絕對值及幾何意義，復數的有關概念、現行高中物理課本中的有關矢量知識等，特別是對于基礎較差的學生，這一環(huán)節(jié)不可忽視．

　　2．理解并掌握復數集、復平面內的點集、復平面內以原點為起點的向量集合三者之間的關系

　如圖所示，建立復平面以后，復數 與復平面內的點 形成—一對應關系，而點 又與復平面的向量 構成—一對應關系．因此，復數集 與復平面的以 為起點，以 為終點的向量集 形成—一對應關系．因此，我們常把復數 說成點Z或說成向量 ．點 、向量 是復數 的另外兩種表示形式，它們都是復數 的幾何表示．
　　相等的向量對應的是同一個復數，復平面內與向量 相等的向量有無窮多個，所以復數集不能與復平面上所有的向量相成—一對應關系．復數集只能與復平面上以原點為起點的向量集合構成—一對應關系．

2．

　　這種對應關系的建立，為我們用解析幾何方法解決復數問題，或用復數方法解決幾何問題創(chuàng)造了條件．

　　3．向量的模，又叫向量的絕對值，也就是其有向線段的長度．它的計算公式是 ，當實部為零時，根據上面復數的模的公式與以前關于實數絕對值及算術平方根的規(guī)定一致．這些內容必須使學生在理解的基礎上牢固地掌握．

　　4．講解教材第182頁上例2的第（1）小題建議．在講解教材第182頁上例2的第（1）小題時．如果結合提問 的圖形，可以幫助學生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）．對于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時周界（兩個同心圓）都應畫成虛線．

　　5．講解復數的模．講復數的模的定義和計算公式時，要注意與向量的有關知識聯系，結合復數與復平面內以原點為起點，以復數所對應的點為終點的向量之間的一一對應關系，使學生在理解的基礎上記憶。向量 的模，又叫做向量 的絕對值，也就是有向線段OZ的長度 ．它也叫做復數 的�；蚪^對值．它的計算公式是 ．

 

教學設計示例

復數的向量表示

教學目的

　　1掌握復數的向量表示 ，復數模的概念及求法，復數模的幾何意義．
　　2 通過數形結合研究復數．
　　3培養(yǎng)學生辯證唯物主義思想．

重點難點

　　復數向量的表示及復數模的概念．

教學學具

　　投影儀

教學過程

1復習提問：向量的概念；模；復平面．
2新課：

一、復數的向量表示：

在復平面內以原點為起點，點Z（a，b）為終點的向量OZ，由點Z（a，b）唯一確定．

因此復平面內的點集與復數集C之間存在一一對應關系，而復平面內的點集與以原點為起點的向量一一對應．

常把復數z=a+bi說成點Z（a，b）或說成向量OZ，并規(guī)定相等向量表示同一復數．

二、復數的模

　　向量OZ的模（即有向線段OZ的長度）叫做復數z=a+bi的模（或絕對值）記作|Z|或|a+bi|

　　|Z|=|a+bi|=a+b    

　　例1  求復數z₁=3+4i及z₂=-1+2i的模，并比較它們的大�。�

　　解：∵|Z₁|²=3²+4²=25     |Z₂|²=（-1）²+2²=5

　　∴|Z₁|＞|Z₂|

練習： 1已知z₁=1+3i  z₂=-2i  Z₃=4   Z₄=-1+2i

　　⑴在復平面內，描出表示這些向量的點，畫出向量．

　�、朴嬎闼鼈兊哪＃�    

三、復數模的幾何意義

　　復數Z=a+bi，當b=0時z∈R |Z|=|a|即a在實數意義上的絕對值復數模可看作點Z（a，b）到原點的距離．

　　例2  設Z∈C滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

　�、� |Z|=4    ⑵  2≤|Z|＜4

　　解：（略）

練習：⑴ 模等于4的虛數在復平面內的點集             ．

　�、�  比較復數z₁=－5+12i    z₂=―6―6i的模的大�。�

　　⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示復數x+yi的點的軌跡．

教學后記：

板書設計：    

一、復數的向量表示：        三、復數模的幾何意義

二、復數的模           　　       例2

　例1             

 

探究活動

　　已知 要使 ，還要增加什么條件？

　　解：要使 ，即 由此可知，點 到兩個定點 和 的距離之和為6 ，如把看成動點，則它的軌跡是橢圓 ．

　　因此，所要增加的條件是：點 應滿足條件 ．

　　說明　此題是屬于缺少條件的探索性問題，解決這類問題的一般做法是從結論出發(fā)，并采用逆推的方法得出終結的結論，便理所求的條件．     

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