圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系(一)

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系(一)

　

教學目標

1．使學生理解圓的旋轉不變性，理解圓心角、弦心距的概念；

2．使學生掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系定理及推論，并初步學會運用這些關系解決有關問題；

3．培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納的能力，向學生滲透旋轉變換的思想及由特殊到一般的認識規(guī)律．

教學重點和難點

圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系是重點；從圓的旋轉不變性出發(fā)，推出圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系是難點．

教學過程設計

一、創(chuàng)設情景，引入新課

圓是軸對稱圖形．圓的這一性質，幫助我們解決了圓的許多問題．今天我們再來一起研究一下圓還有哪些特性．

1．動態(tài)演示，發(fā)現規(guī)律

投影出示圖7－47，并動態(tài)顯示：平行四邊形繞對角線交點O旋轉180°后．問：

(1)結果怎樣？

學生答：和原來的平行四邊形重合．

(2)這樣的圖形叫做什么圖形？

學生答：中心對稱圖形．

投影出示圖7－48，并動態(tài)顯示：⊙O繞圓心O旋轉180°．由學生觀察后，歸納出：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形．

投影繼續(xù)演示如圖7－49，讓直徑AB兩個端點A，B繞圓心旋轉30°，45°，

90°，讓學生觀察發(fā)現什么結論？

得出：不論繞圓心旋轉多少度，都能夠和原來的圖形重合．

進一步演示，讓圓繞著圓心旋轉任意角度α，你發(fā)現什么？

學生答：仍然與原來的圖形重合．

于是由學生歸納總結，得出圓所特有的性質：圓的旋轉不變性．即圓繞圓心旋轉任意一個角度α，都能夠與原來的圖形重合．

2．圓心角，弦心距的概念．

我們在研究圓的旋轉不變性時，⊙O繞圓心O旋轉任意角度α后，出現一個角

∠AOB，請同學們觀察一下，這個角有什么特點？如圖7－50．(如有條件可電腦閃動顯示圖形．)

在學生觀察的基礎上，由學生說出這個角的特點：頂點在圓心上．

在此基礎上，教師給出圓心角的定義，并板書．

頂點在圓心的角叫做圓心角．

再進一步觀察，AB是∠AOB所對的弧，連結AB，弦AB既是圓心角∠AOB也是AB所對的弦．請同學們回憶，在學習垂徑定理時，常作的一條輔助線是什么？

學生答：過圓心O作弦AB的垂線．

在學生回答的基礎上，教師指出：點O到AB的垂直線段OM的長度，即圓心到弦的距離叫做弦心距．如圖7－51．(教師板書定義)最后指出：這節(jié)課我們就來研究圓心角之間，以及它們所對的弧、弦、弦的弦心距之間的關系．(引出課題)

二、大膽猜想，發(fā)現定理

在圖7－52中，再畫一圓心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，(變化顯示兩角相等)再作出它們所對的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，請大家大膽猜想，其余三組量 與 ，弦AB與A′B′，弦心距OM與OM′的大小關系如何？

學生很容易猜出： = ，AB=A′B′，OM=OM′．

教師進一步提問：同學們剛才的發(fā)現僅僅是感性認識，猜想是否正確，必須進行證明，怎樣證明呢？

學生最容易想到的是證全等的方法，但得不到 = ，怎樣證明弧相等呢？

讓學生思考并啟發(fā)學生回憶等弧的定義是什么？

學生：在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫等�。�

請同學們想一想，你用什么方法讓 和 重合呢？

學生：旋轉．

下面我們就來嘗試利用旋轉變換的思想證明 = ．

把∠AOB連同 旋轉，使OA與OA′重合，電腦開始顯示旋轉過程．教師邊演示邊提問．

我們發(fā)現射線OB與射線OB′也會重合，為什么？

學生：因為∠AOB=∠A′OB′，

所以射線OB與射線OB′重合．

要證明 與 重合，關鍵在于點A與點A′，點B與點B′是否分別重合．這兩對點分別重合嗎？

學生：重合．

你能說明理由嗎？

學生：因為OA=OA′，OB=OB′，

所以點A與點A′重合，點B與點B′重合．

當兩段孤的兩個端點重合后，我們可以得到哪些量重合呢？

學生： 與 重合，弦AB與A′B′重合，OM與OM′重合．

為什么OM也與OM′重合呢？

學生：根據垂線的唯一性．

于是有結論： = ，AB=A′B′，OM＝OM′．

以上證明運用了圓的旋轉不變性．得到結論后，教師板書證明過程，并引導學生用簡潔的文字敘述這個真命題．

教師板書定理．

定理：在同圓____中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．

教師引導學生補全定理內容．

投影顯示如圖7－53，⊙O與⊙O′為等圓，∠AOB=∠A′O′B′，OM與

O′M′分別為AB與A′B′的弦心距，請學生回答 與 ．AB與A′B′，OM與O′M′還相等嗎？為什么？

在學生回答的基礎上，教師指出：以上三組量仍然相等，因為兩個等圓可以疊合成同圓．(投影顯示疊合過程)

這樣通過疊合，把等圓轉化成了同圓，教師把定理補充完整．

然后，請同學們思考定理的條件和結論分別是什么？并回答：

定理是在同圓或等圓這個大前提下，已知圓心角相等，得出其余三組量相等．請同學們思考，在這個大前提下，把圓心角相等與三個結論中的任何一個交換位置，可以得到三個新命題，這三個命題是真命題嗎？如何證明？

在學生討論的基礎上，簡單地說明證明方法．

最后，教師把這四個真命題概括起來，得到定理的推論．

請學生歸納，教師板書．

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

三、鞏固應用、變式練習

例1 判斷題，下列說法正確嗎？為什么？

(1)如圖7－54：因為∠AOB=∠A′OB′，所以AB= ．

(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么 = ．

分析：(1)、(2)都是不對的．在圖7－54中，因為 和 不在同圓或等圓中，不能用定理．對于(2)也缺少了等圓的條件．可讓學生舉反例說明．

　

例2 如圖7－55，點P在⊙O上，點O在∠EPF的角平分線上，∠EPF的兩邊交⊙O于點A和B．求證：PA=PB．

讓學生先思考，再敘述思路，教師板書示范．

證明：作OM⊥PA，ON⊥PB，垂足為M，N．

把P點當做運動的點，將例2演變如下：

變式1(投影打出)

已知：如圖7－56，點O在∠EPF的平分線上，⊙O和∠EPF的兩邊分別交于點A，B和C，D．

求證：AB=CD．

師生共同分析之后，由學生口述證明過程．

變式2(投影打出)

已知：如圖7－57，⊙O的弦AB，CD相交于點P，∠APO=∠CPO，

求證：AB=CD．

由學生口述證題思路．

說明：這組例題均是利用弦心距相等來證明弦相等的問題，當然，也可利用其它方法來證，只不過前者較為簡便．

練習1 已知：如圖7－58，AD=BC．

求證：AB=CD．

師生共同分析后，學生練習，一學生上黑板板演．

變式練習．已知：如圖7－58， = ，求證：AB=CD．

四、師生共同小結

教師提問：

(1)這節(jié)課學習了哪些具體內容？

(2)本節(jié)的定理和推論是用什么方法證明的？

(3)應注意哪些問題？

在學生回答的基礎上，教師總結．

(1)這節(jié)課主要學習了兩部分內容：一是證明了圓是中心對稱圖形．得到圓的特性——圓的旋轉不變性；二是學習了在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對的弧、所對的弦、所對的弦的弦心距之間的關系定理及推論．這些內容是我們今后證明弧相等、弦相等、角相等的重要依據．

(2)本節(jié)通過觀察——猜想——論證的方法，從運動變化中發(fā)現規(guī)律，得出定理及推論，同時遵循由特殊到一般的思維認識規(guī)律，滲透了旋轉變換的思想．

(3)在運用定理及推論解題時，必須注意要有“在同圓或等圓”這一前提條件．

五、布置作業(yè)

思考題：已知AB和CD是⊙O的兩條弦，OM和ON分別是AB和 CD的弦心距，如果AB＞CD，那么OM和ON有什么關系？為什么？

板書設計

課堂教學設計說明

這份教案為1課時．

如果內容多，部分練習題可在下節(jié)課中處理．

——摘自《初中幾何教案》

　

　

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