“轉圈”中的數學

“轉圈”中的數學 ----“探索多邊形外角和”教學案例及點評 執(zhí)教：荊門市京山實驗中學/程詩春 點評：荊門市教研室/羅昭旭 摘自：《荊門教育信息網》 我們的數學教材、數學教師乃至數學教學總是那么一幅正兒八經的數學面孔：抽象化、符號化、程式化，使得原本生氣勃勃的青少年對數學望而生畏．但實際情況是，實踐活動產生了數學，社會生活充滿了數學，我們何不將數學的“真實”（背景、情境、發(fā)生過程等）再現給孩子們！本此目的，在執(zhí)教多邊形外角和時，作了如下嘗試． 課例：首先，由多邊形的內角和引出課題：多邊形的外角和。結合圖形（如下圖所示），老師和學生共同明確了多邊形的外角及外角和的意義后，提出問題：請你想一想，下列圖中三角形、四邊形和五邊形的外角和m3、m4及m5，哪個大？然后分組計算討論． T：同學們有什么發(fā)現？ S1：它們的外角和總是360°，與邊數無關． T：那為什么多邊形的內角和與邊數有關，而多邊形的外角和總是一個周角呢？你不感覺到意外嗎？(激發(fā)求知欲望） S2：可以用內角和（n－2).180°來說明它的正確性．（具體推導略） T：不錯．哪位同學能有更確切的見解？比方說你們由周角會想到什么？(點擊思維火花） S3：每個頂點處轉動一個角度，正好聯(lián)成一個周角． T：S3的見解太妙了，轉了一圈就是一個周角，360°就是轉了一圈．那么同學們會轉圈嗎？(刺激活動興趣） S：（齊答）會！我們每天早鍛煉跑步就是在操場上轉圈． T：（如圖）清晨，小明沿一個五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步.請思考： 問題(1)：小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角？在圖上標出． 問題(2)：他每跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少？ Ｓ1：小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角分別是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5． S2：我想小明在點A處第1次轉身前后視線夾角為∠1，同樣在點B處第2次轉身可得∠2，在C處第3次轉身得∠3，在點D處第4次轉身得∠4，點E處第5次轉身得∠5后，他與他原來方向一致，剛好轉了一圈，由此我想這五個外角的和是3600． [學生對問題（1）、（1）的解決充分展示了他們思考的全程，同時也充分說明給學生足夠的時間和空間思考，他們會結合自己的生活經驗去認識數學，形成數學結論，知識的形成過程與學生的能力同成長．] S3：沿各邊行走，應該說他的視線恰好掃過了一圈． S4：我在某一頂點沿各邊方向轉動一圈，恰好形成一個周角． T：好極了，S4回答得真精彩！作為一名數學教師，今天我總算明白了為什么多邊形的外角和總是360°．周而復始，原來如此！現在我們把轉圈的過程搬到黑板上來．（教師拿來出圓規(guī)，使一邊與六邊形的一邊重合，另一邊沿著各邊方向旋轉……，直至最終重合在一起，形成周角）此時所旋轉的各角與各外角是什么關系？（自然過渡，恰到好處的抽象．） S5：所旋轉的各角與各外角是同位角．　 S6：這相當于在一個頂點處分別作各邊的平行線而并未改變外角的大�。� T：Very good!一語道破了天機！可見數學原本是實際生活的產物． （從具體到抽象，又從抽象回到具體實際，再現了“數學----生活”的主題．） T：好，非常好！我們已經實實在在地“看”到了多邊形的外角和為周角這一有趣的結論．這里不妨再回頭比較一下它和多邊形內角和的聯(lián)系與區(qū)別．（照應前面S2說過的話） S７：根據內角與外角互為鄰補角，可以由內角和推導出外角和． S8：多邊形內角和隨邊數增加而增加，而外角和始終為周角． S9：（舉手）老師，也可以由外角和推導內角和． T：太好了！其實在前面探討多邊形內角和時，我們是以三角形內角和為基礎的，而用外角和來推導多邊形的內角和更為方便．請大家填寫下列表格，作為課外的探討． 多邊形 頂點的個數 內外角總和 內角和 外角和 3 3 3×180° 180° 360° 4 4 5 5 6 6 … … … … … n n 反思：上完這節(jié)課，我有一種如愿以償的快慰．說實話，從事數學教學以來，我一直在努力，在追求，在探索，但始終未能跳出“灌輸”的窠臼．應該說也是在沒完沒了的“轉圈”，就像多邊形外角和為360°，不知教了多少遍，但每次都是輕松地帶過，而未能真真切切地“看”到這個“圈”．直到今天，在這個“轉圈”的過程中，教師和學生們得到的不僅僅是一個周角，而是一種思想方法，一種全新的理念及其課程觀． 點評：傳統(tǒng)的數學教學總是從定理到定理，用公式推公式，數學知識真實而生動的背景、情景及發(fā)生過程被掩蓋得嚴嚴實實．比如多邊形的外角和，我們總是用內角和一證了之，沒有任何探究過程，更談不上有學生的親身體驗．本節(jié)課打破慣例，在師生共同的“轉圈”活動中觀察、體驗，讓學生真正看到了多邊形外角和是一個周角，再現了數學知識的真實背景及其本質內涵，學生當然不會把360°當作一個簡單的數據去記憶了．它留給孩子們的不再是枯燥無味的數字和公式，而是鮮活又純真的“梨子的滋味”，天經地義的結果和“原來如此”的感悟．

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