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數(shù)學(xué)教案－直線(xiàn)的方程
教學(xué)目標(biāo) （1）掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線(xiàn)方程的方法，掌握直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和直線(xiàn)方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線(xiàn)的方程．
�。�2）理解直線(xiàn)方程幾種形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，能在整體上把握直線(xiàn)的方程．
�。�3）掌握直線(xiàn)方程各種形式之間的互化．
�。�4）通過(guò)直線(xiàn)方程一般式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、周密地分析、討論問(wèn)題的能力．
�。�5）通過(guò)直線(xiàn)方程特殊式與一般式轉(zhuǎn)化的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)．
�。�6）進(jìn)一步理解直線(xiàn)方程的概念，理解直線(xiàn)斜率的意義和解析幾何的思想方法．
教學(xué)建議
1．教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
由直線(xiàn)方程的概念和直線(xiàn)斜率的概念導(dǎo)出直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式；由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式分別導(dǎo)出直線(xiàn)方程的斜截式和兩點(diǎn)式；再由兩點(diǎn)式導(dǎo)出截距式；最后都可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為直線(xiàn)的一般式；同時(shí)一般式也可以轉(zhuǎn)化成特殊式．
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，以及根據(jù)具體條件求出直線(xiàn)的方程．
解析幾何有兩項(xiàng)根本性的任務(wù)：一個(gè)是求曲線(xiàn)的方程；另一個(gè)就是用方程研究曲線(xiàn)．本節(jié)內(nèi)容就是求直線(xiàn)的方程，因此是非常重要的內(nèi)容，它對(duì)以后學(xué)習(xí)用方程討論直線(xiàn)起著直接的作用，同時(shí)也對(duì)曲線(xiàn)方程的學(xué)習(xí)起著重要的作用．
直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程是平面解析幾何中所求出的第一個(gè)方程，是后面幾種特殊形式的源頭．學(xué)生對(duì)點(diǎn)斜式學(xué)習(xí)的效果將直接影響后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)．
②本節(jié)的難點(diǎn)是直線(xiàn)方程特殊形式的限制條件，直線(xiàn)方程的整體結(jié)構(gòu)，直線(xiàn)與二元一次方程的關(guān)系證明．
2．教法建議
（1）教材中求直線(xiàn)方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程幾何特征明顯，但局限性強(qiáng)；一般形式的方程無(wú)任何限制，但幾何特征不明顯．教學(xué)中各部分知識(shí)之間過(guò)渡要自然流暢，不生硬．
�。�2）直線(xiàn)方程的一般式反映了直線(xiàn)方程各種形式之間的統(tǒng)一性，教學(xué)中應(yīng)充分揭示直線(xiàn)方程本質(zhì)屬性，建立二元一次方程與直線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線(xiàn)方程”打下基礎(chǔ)．
直線(xiàn)一般式方程都是字母系數(shù)，在揭示這一概念深刻內(nèi)涵時(shí)，還需要進(jìn)行正反兩方面的分析論證．教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)分析思路，還應(yīng)抓住這一有利時(shí)使學(xué)生學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的分類(lèi)討論方法，從而培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、辯證、周密地分析、討論問(wèn)題的能力，特別是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)
�。�3）在強(qiáng)調(diào)幾種形式互化時(shí)要向?qū)W生充分揭示各種形式的特點(diǎn)，它們的幾何特征，參數(shù)的意義等，使學(xué)生明白為什么要轉(zhuǎn)化，并加深對(duì)各種形式的理解．
�。�4）教學(xué)中要使學(xué)生明白兩個(gè)獨(dú)立條件確定一條直線(xiàn)，如兩個(gè)點(diǎn)、一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向或其他兩個(gè)獨(dú)立條件．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，這是學(xué)生很早就接觸的幾何公理，然而在解析幾何，平面向量等理論中，直線(xiàn)或向量的方向是極其重要的要素，解析幾何中刻畫(huà)直線(xiàn)方向的量化形式就是斜率．因此，直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式在直線(xiàn)方程的幾種形式中占有很重要的地位，而已知兩點(diǎn)可以求得斜率，所以點(diǎn)斜式又可推出兩點(diǎn)式（斜截式和截距式僅是它們的特例），因此點(diǎn)斜式最重要．教學(xué)中應(yīng)突出點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式三個(gè)教學(xué)高潮．
求直線(xiàn)方程需要兩個(gè)獨(dú)立的條件，要依不同的幾何條件選用不同形式的方程．根據(jù)兩個(gè)條件運(yùn)用待定系數(shù)法和方程思想求直線(xiàn)方程．
�。�5）注意正確理解截距的概念，截距不是距離，截距是直線(xiàn)（也是曲線(xiàn)）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)，它是有向線(xiàn)段的數(shù)量，因而是一個(gè)實(shí)數(shù)；距離是線(xiàn)段的長(zhǎng)度，是一個(gè)正實(shí)數(shù)（或非負(fù)實(shí)數(shù)）．
�。�6）本節(jié)中有不少與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，是函數(shù)、不等式、三角與直線(xiàn)的重要知識(shí)交匯點(diǎn)之一，教學(xué)中要適當(dāng)選擇一些有關(guān)的問(wèn)題指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力．
（7）直線(xiàn)方程的理論在其他學(xué)科和生產(chǎn)生活實(shí)際中有大量的應(yīng)用．教學(xué)中注意聯(lián)系實(shí)際和其它學(xué)科，教師要注意引導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力．
�。�8）本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能更好地掌握，而不是僅停留在觀(guān)念上．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
直線(xiàn)方程的一般形式
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）掌握直線(xiàn)方程的一般形式，掌握直線(xiàn)方程幾種形式之間的互化．
�。�2）理解直線(xiàn)與二元一次方程的關(guān)系及其證明
（3）培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、分類(lèi)討論能力、逆向思維的習(xí)慣和形成特殊與一般辯證統(tǒng)一的觀(guān)點(diǎn)．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線(xiàn)方程的一般式．直線(xiàn)與二元一次方程 （ 不同時(shí)為0）的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其證明．
教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
教學(xué)過(guò)程（www.panasonaic.com）：
下面給出教學(xué)實(shí)施過(guò)程設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)要思路：
教學(xué)設(shè)計(jì)思路：
（一）引入的設(shè)計(jì)
前邊學(xué)習(xí)了如何根據(jù)所給條件求出直線(xiàn)方程的方法，看下面問(wèn)題：
問(wèn)：說(shuō)出過(guò)點(diǎn) （2，1），斜率為2的直線(xiàn)的方程，并觀(guān)察方程屬于哪一類(lèi)，為什么？
答：直線(xiàn)方程是 ，屬于二元一次方程，因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，它們的最高次數(shù)為一次．
肯定學(xué)生回答，并糾正學(xué)生中不規(guī)范的表述．再看一個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)：求出過(guò)點(diǎn) ， 的直線(xiàn)的方程，并觀(guān)察方程屬于哪一類(lèi)，為什么？
答：直線(xiàn)方程是 （或其它形式），也屬于二元一次方程，因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，它們的最高次數(shù)為一次．
肯定學(xué)生回答后強(qiáng)調(diào)“也是二元一次方程，都是因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，它們的最高次數(shù)為一次”．
啟發(fā)：你在想什么（或你想到了什么）？誰(shuí)來(lái)談?wù)�？各小組可以討論討論．
學(xué)生紛紛談出自己的想法，教師邊評(píng)價(jià)邊啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)統(tǒng)一到如下問(wèn)題：
【問(wèn)題1】“任意直線(xiàn)的方程都是二元一次方程嗎？”
（二）本節(jié)主體內(nèi)容教學(xué)的設(shè)計(jì)
這是本節(jié)課要解決的第一個(gè)問(wèn)題，如何解決？自己先研究研究，也可以小組研究，確定解決問(wèn)題的思路．
學(xué)生或獨(dú)立研究，或合作研究，教師巡視指導(dǎo)．
經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的研究，教師組織開(kāi)展集體討論．首先讓學(xué)生陳述解決思路或解決方案：
思路一：…
思路二：…
……
教師組織評(píng)價(jià)，確定最優(yōu)方案（其它待課下研究）如下：
按斜率是否存在，任意直線(xiàn) 的位置有兩種可能，即斜率 存在或不存在．
當(dāng) 存在時(shí)，直線(xiàn) 的截距 也一定存在，直線(xiàn) 的方程可表示為 ，它是二元一次方程．
當(dāng) 不存在時(shí)，直線(xiàn) 的方程可表示為 形式的方程，它是二元一次方程嗎？
學(xué)生有的認(rèn)為是有的認(rèn)為不是，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生，逐步認(rèn)識(shí)到把它看成二元一次方程的合理性：
平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn) 上點(diǎn)的坐標(biāo)形式，與其它直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)形式?jīng)]有任何區(qū)別，根據(jù)直線(xiàn)方程的概念，方程 解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的．
綜合兩種情況，我們得出如下結(jié)論：
在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線(xiàn)，都有一條表示這條直線(xiàn)的關(guān)于 、 的二元一次方程．
至此，我們的問(wèn)題1就解決了．簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)就是：直線(xiàn)方程都是二元一次方程．而且這個(gè)方程一定可以表示成 或 的形式，準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)該是“要么形如 這樣，要么形如 這樣的方程”．
同學(xué)們注意：這樣表達(dá)起來(lái)是不是很啰嗦，能不能有一個(gè)更好的表達(dá)？
學(xué)生們不難得出：二者可以概括為統(tǒng)一的形式．
這樣上邊的結(jié)論可以表述如下：
在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線(xiàn)，都有一條表示這條直線(xiàn)的形如 （其中 、 不同時(shí)為0）的二元一次方程．
啟發(fā)：任何一條直線(xiàn)都有這種形式的方程．你是否覺(jué)得還有什么與之相關(guān)的問(wèn)題呢？
【問(wèn)題2】任何形如 （其中 、 不同時(shí)為0）的二元一次方程都表示一條直線(xiàn)嗎？
不難看出上邊的結(jié)論只是直線(xiàn)與方程相互關(guān)系的一個(gè)方面，這個(gè)問(wèn)題是它的另一方面．這是顯然的嗎？不是，因此也需要像剛才一樣認(rèn)真地研究，得到明確的結(jié)論．那么如何研究呢？
師生共同討論，評(píng)價(jià)不同思路，達(dá)成共識(shí)：
回顧上邊解決問(wèn)題的思路，發(fā)現(xiàn)原路返回就是非常好的思路，即方程 （其中 、 不同時(shí)為0）系數(shù) 是否為0恰好對(duì)應(yīng)斜率 是否存在，即
�。�1）當(dāng) 時(shí)，方程可化為
這是表示斜率為 、在 軸上的截距為 的直線(xiàn)．
�。�2）當(dāng) 時(shí)，由于 、 不同時(shí)為0，必有 ，方程可化為
這表示一條與 軸垂直的直線(xiàn)．
因此，得到結(jié)論：
在平面直角坐標(biāo)系中，任何形如 （其中 、 不同時(shí)為0）的二元一次方程都表示一條直線(xiàn)．
為方便，我們把 （其中 、 不同時(shí)為0）稱(chēng)作直線(xiàn)方程的一般式是合理的．
【動(dòng)畫(huà)演示】
演示“直線(xiàn)各參數(shù)．gsp”文件，體會(huì)任何二元一次方程都表示一條直線(xiàn)．
至此，我們的第二個(gè)問(wèn)題也圓滿(mǎn)解決，而且我們還發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)問(wèn)題其實(shí)是一個(gè)大問(wèn)題的兩個(gè)方面，這個(gè)大問(wèn)題揭示了直線(xiàn)與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)，直線(xiàn)方程的一般形式是對(duì)直線(xiàn)特殊形式的抽象和概括，而且抽象的層次越高越簡(jiǎn)潔，我們還體會(huì)到了特殊與一般的轉(zhuǎn)化關(guān)系．
（三）練習(xí)鞏固、總結(jié)提高、板書(shū)和作業(yè)等環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)在此從略
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