不等式的解法舉例

教學(xué)目標

　�。�1）能熟練運用不等式的基本性質(zhì)來解不等式；

　�。�2）在鞏固一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；

　�。�3）能將較復(fù)雜的絕對值不等式轉(zhuǎn)化為簡單的絕對值不等式、一元二次不等式（組）來解；

　�。�4）通過解不等式，要向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元、分類討論等數(shù)學(xué)思想；

　�。�5）通過解各種類型的不等式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較及概括能力，培養(yǎng)學(xué)生的勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)內(nèi)容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，簡單的絕對值不等式及分式不等式的解法基礎(chǔ)上，進一步深入研究較為復(fù)雜的絕對值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是運用不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理、法則，將這些不等式等價轉(zhuǎn)化為一次不等式（組）或二次不等式的求解，具體地說就是含有絕對值符號的不等式去掉絕對值符號，無理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式為：
  ;

 ;

 ;

  

二、重點、難點分析

　　本節(jié)的重點和一個難點是不等式的等價轉(zhuǎn)化.解不等式與解方程有類似之處,但其二者的區(qū)別更要加以重視.解方程所產(chǎn)生的增根是可以通過檢驗加以排除的,由于不等式的解集一般都是無限集,如果產(chǎn)生了增根卻是無法檢驗加以排除的,所以解不等式的過程一定要保證同解,所涉及的變換一定是等價變換.在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中另一個難點是不等式 的求解.這個不等式其實是一個不等式組的簡化形式,當(dāng) 為一元一次式時,可直接解這個不等式組,但當(dāng) 為一元二次式時,就必須將其改寫成兩個一元二次不等式的形式,分別求解在求交集.

三、教學(xué)建議

　　(1)在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識,包括一元二次不等式的解法,簡單的絕對值不等式的解法,簡單的分式不等式的解法,不等式的性質(zhì),實數(shù)運算的符號法則等.特別是對于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生,這一環(huán)節(jié)不可忽視.

　　(2)在研究不等式 的解法之前,應(yīng)先復(fù)習(xí)解不等式組的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,啟發(fā)學(xué)生運用換元思想將 替換成 ,從而轉(zhuǎn)化一元二次不等式組的求解.

　　(3)在教學(xué)中一定讓學(xué)生充分討論,明確不等式組“ ”中的兩個不等式的解集間的交并關(guān)系，“ ” 兩個不等式的解集間的交并關(guān)系.

　　(4)建議表述解不等式的過程中運用符號“ ”.

　　(5)建議在研究分式不等式的解法之前,先研究簡單高次不等式(一端為0,另一端是若干個一次因式乘積形式的整式)的解法.可由學(xué)生討論不同解法,師生共同比較諸法的優(yōu)劣,最后落實到區(qū)間法.

　　(6)分式不等式 與高次不等式 的等價原因, 可以認為是不等式 兩端同乘以正數(shù) ,不等號不改變方向所得;也可以認為是 與 符號相同所得.

　　(7)分式不等式求解時不能盲目地去分母，但當(dāng)分母恒為正數(shù)(如分母是 )時，應(yīng)將其去掉，從而使不等式化簡.

　　(8)建議補充簡單的無理不等式 的解法,其中 為一次式.教學(xué)中先由學(xué)生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教師概括總結(jié),得出結(jié)論后一定要強調(diào)不等號的方向?qū)?sub> 的影響,即 保證了 ,而 卻不能保證這一點,所以要分 和 兩種情況進行討論.

　　(9)求解不等式不僅要重視思路的理解,更要重視表述的規(guī)范,作為教師應(yīng)給學(xué)生做出示范,學(xué)生通過模仿掌握書寫格式,這樣才有可能保證運算的合理性與結(jié)果的準確性.

 

教學(xué)設(shè)計示例

分式不等式的解法

教學(xué)目標

　　1．掌握分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化；
　　2．進一步熟悉并掌握數(shù)軸標根法；
　　3．掌握分式不等式基本解法.

教學(xué)重點難點

　　重點是分式不等式解法
　　難點是分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化

教學(xué)方法

　　啟發(fā)式和引導(dǎo)式

教具準備

　　三角板、幻燈片

教學(xué)過程（www.panasonaic.com）

1．復(fù)習(xí)回顧：

　　前面，我們學(xué)習(xí)了含有絕對值的不等式的基本解法，還了解了數(shù)軸標根法的解題思路，本節(jié)課，我們將繼續(xù)研究分式不等式的解法.

2．講授新課：

例3  解不等式 ＜0.

　　分析：這是一個分式不等式，其左邊是兩個關(guān)于x的二次三項式的商，根據(jù)商的符號法則，它可以化成兩個不等式組：

　　因此，原不等式的解集就是上面兩個不等式組的解集的并集，此種解法從課本可以看到.

　　另解：根據(jù)積的符號法則，可以將原不等式等價變形為（x²－3x＋2）(x²－2x－3)＜0

　　即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0

　　令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0

　　可得零點x=－1或1，或2或3，將數(shù)軸分成五部分（如圖）.

　　由數(shù)軸標根法可得所求不等式解集為：

　　{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}

　　說明：（1）讓學(xué)生注意數(shù)軸標根法適用條件；

　�。�2）讓學(xué)生思考 ≤0的等價變形.

例4  解不等式 ＞1

　　分析：首先轉(zhuǎn)化成右端為0的分式不等式，然后再等價變形為整式不等式求解.

　　解：原不等式等價變形為：

 －1＞0

　　通分整理得： ＞0

　　等價變形為：（x²－2x＋3）(x²－3x＋2)＞0

　　即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0

　　由數(shù)軸標根法可得所求不等式解集為：

　　　　{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}

　　說明：此題要求學(xué)生掌握較為一般的分式不等式的轉(zhuǎn)化與求解.

3．課堂練習(xí)：

　　課本P₁₉練習(xí)1.

　　補充：（1） ≥0；

　　　　�。�2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.

課堂小結(jié)

　　通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在進一步掌握數(shù)軸標根法的基礎(chǔ)上，掌握分式不等式的基本解法，即轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

課后作業(yè)

　　習(xí)題6.4  3,4.

板書設(shè)計

●教學(xué)后記

 

探究活動

　　試一試用所學(xué)知識解下列不等式：

　�。�1） ；

　　（2） ；

　　（3） ．

答案： （1）原式

　　觀察這個不等式組，由于要求 ，同時要求 ，所以①式可以不解．

　　∴ 原式



　　如下圖

　　∴

　�。�2）分析 當(dāng) 時，不等式兩邊平方，當(dāng) 時，在 有意義的前提下恒成立．

　　原式 （Ⅰ）

　　或（Ⅱ）

　　由于同時滿足（2）、（3）式，所以（1）式免解．

　　∴ （Ⅰ）式



　�。á颍┦� ．

　　綜合（Ⅰ）、（Ⅱ），得 ．

　�。�3）分析 當(dāng) 時，不等式兩邊平方，當(dāng) 時，原式解集為 ．

　　原式

　　觀察不等式組，設(shè)有可以免解的不等式．

　　原式

如下圖

　　∴

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