充分條件與必要條件

教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）正確理解充分條件、必要條件和充要條件的概念；
　�。�2）能正確判斷是充分條件、必要條件還是充要條件；
　�。�3）培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力及歸納總結(jié)能力；
　�。�4）在充要條件的教學(xué)中，培養(yǎng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．

教學(xué)建議

（一）教材分析

1．知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　首先給出推斷符號(hào)“ ”，并引出充分條件與必要條件的意義，在此基礎(chǔ)上講述了充要條件的初步知識(shí)．

2．重點(diǎn)難點(diǎn)分析

　　本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)是關(guān)于充要條件的判斷．

　�。�1）充分但不必要條件、必要但不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件 和結(jié)論 之間的因果關(guān)系．

　�。�2）在判斷條件 和結(jié)論 之間的因果關(guān)系中應(yīng)該：

　　①首先分清條件是什么，結(jié)論是什么；

　�、谌缓髧L試用條件推結(jié)論，再嘗試用結(jié)論推條件．推理方法可以是直接證法、間接證法（即反證法），也可以舉反例說明其不成立；

　　③最后再指出條件是結(jié)論的什么條件．

　�。�3）在討論條件 和條件 的關(guān)系時(shí)，要注意：

　�、偃� ，但 ，則 是 的充分但不必要條件；

　　②若 ，但 ，則 是 的必要但不充分條件；

　�、廴� ，且 ，則 是 的充要條件；

　　④若 ，且 ，則 是 的充要條件；

　�、萑� ，且 ，則 是 的既不充分也不必要條件．

　�。�4）若條件 以集合 的形式出現(xiàn)，結(jié)論 以集合 的形式出現(xiàn)，則借助集合知識(shí)，有助于充要條件的理解和判斷．

　�、偃� ，則 是 的充分條件；

　　顯然，要使元素 ，只需 就夠了．類似地還有：

　�、谌� ，則 是 的必要條件；

　�、廴� ，則 是 的充要條件；

　�、苋� ，且 ，則 是 的既不必要也不充分條件．

　�。�5）要證明命題的條件是充要條件，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立．證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性．由于原命題 逆否命題，逆命題 否命題，當(dāng)我們證明某一命題有困難時(shí)，可以證明該命題的逆否命題成立，從而得出原命題成立．

（二）教法建議

　　1．學(xué)習(xí)充分條件、必要條件和充要條件知識(shí)，要注意與前面有關(guān)邏輯初步知識(shí)內(nèi)容相聯(lián)系．充要條件中的 ， 與四種命題中的 ， 要求是一樣的．它們可以是簡單命題，也可以是不能判斷真假的語句，也可以是含有邏輯聯(lián)結(jié)詞或“若 則 ”形式的復(fù)合命題．

　　2．由于這節(jié)課概念性、理論性較強(qiáng)，一般的教學(xué)使學(xué)生感到枯燥乏味，為此，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵．教學(xué)中始終要注意以學(xué)生為主，讓學(xué)生在自我思考、相互交流中去結(jié)概念“下定義”，去體會(huì)概念的本質(zhì)屬性．

　　3．由于“充要條件”與命題的真假、命題的條件與結(jié)論的相互關(guān)系緊密相關(guān)，為此，教學(xué)時(shí)可以從判斷命題的真假入手，來分析命題的條件對(duì)于結(jié)論來說，是否充分，從而引入“充分條件”的概念，進(jìn)而引入“必要條件”的概念．

　　4．教材中對(duì)“充分條件”、“必要條件”的定義沒有作過多的解釋說明，為了讓學(xué)生能理解定義的合理性，在教學(xué)過程中，教師可以從一些熟悉的命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系來認(rèn)識(shí)“充分條件”的概念，從互為逆否命題的等價(jià)性來引出“必要條件”的概念．

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

充要條件

教學(xué)目標(biāo)：

　　（1）正確理解充分條件、必要條件和充要條件的概念；

　�。�2）能正確判斷是充分條件、必要條件還是充要條件；

　�。�3）培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力及歸納總結(jié)能力；

　�。�4）在充要條件的教學(xué)中，培養(yǎng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：關(guān)于充要條件的判斷

教學(xué)用具：幻燈機(jī)或?qū)嵨锿队皟x

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1．復(fù)習(xí)引入

　　練習(xí)：判斷下列命題是真命題還是假命題（用幻燈投影）：

　�。�1）若 ，則 ；

　�。�2）若 ，則 ；

　�。�3）全等三角形的面積相等；

　　（4）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；

　　（5）若 ，則 ；

　�。�6）若方程 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則 ．

（學(xué)生口答，教師板書．）

　�。�1）、（3）、（6）是真命題，（2）、（4）、（5）是假命題．

　　置疑：對(duì)于命題“若 ，則 ”，有時(shí)是真命題，有時(shí)是假命題．如何判斷其真假的？

　　答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，則原命題是真命題，否則就是假命題．

　　對(duì)于命題“若 ，則 ”，如果由 經(jīng)過推理能推出 ，也就是說，如果 成立，那么 一定成立．換句話說，只要有條件 就能充分地保證結(jié)論 的成立，這時(shí)我們稱條件 是 成立的充分條件，記作 ．

　　2．講授新課

　�。ò鍟�充分條件的定義．）

　　一般地，如果已知 ，那么我們就說 是 成立的充分條件．

　　提問：請(qǐng)用充分條件來敘述上述（1）、（3）、（6）的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．

（學(xué)生口答）

　　（1）“ ，”是“ ”成立的充分條件；

　�。�2）“三角形全等”是“三角形面積相等”成立的充分條件；

　　（3）“方程 的有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解”是“ ”成立的充分條件．

　　從另一個(gè)角度看，如果 成立，那么其逆否命題 也成立，即如果沒有 ，也就沒有 ，亦即 是 成立的必須要有的條件，也就是必要條件．

（板書必要條件的定義．）

　　提出問題：用“充分條件”和“必要條件”來敘述上述6個(gè)命題．

（學(xué)生口答）．

　�。�1）因?yàn)?sub> ，所以 是 的充分條件， 是 的必要條件；

　�。�2）因?yàn)?sub> ，所以 是 的必要條件， 是 的充分條件；

　�。�3）因?yàn)椤皟扇�角形全等�?sub> “兩三角形面積相等”，所以“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件；

　�。�4）因?yàn)椤八倪呅蔚膶?duì)角線互相垂直” “四邊形是菱形”，所以“四邊形的對(duì)角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的必要條件，“四邊形是菱形”是“四邊形的對(duì)角線互相垂直”的充分條件；

　�。�5）因?yàn)?sub> ，所以 是 的必要條件， 是 的充分條件；

　�。�6）因?yàn)椤胺匠?sub> 的有兩個(gè)不等的實(shí)根” “ ”，而且“方程 的有兩個(gè)不等的實(shí)根” “ ”，所以“方程 的有兩個(gè)不等的實(shí)根”是“ ”充分條件，而且是必要條件．

　　總結(jié)：如果 是 的充分條件， 又是 的必要條件，則稱 是 的充分必要條件，簡稱充要條件，記作 ．

（板書充要條件的定義．）

3．鞏固新課

　　例1  （用投影儀投影．）

B

A是B的什么條件

B是 的什么條件

是有理數(shù)

是實(shí)數(shù)

   

   

、 是奇數(shù)

是偶數(shù)

   

   

   

   

   

是4的倍數(shù)

是6的倍數(shù)

   

（學(xué)生活動(dòng)，教師引導(dǎo)學(xué)生作出下面回答．）

　�、僖�?yàn)橛欣頂?shù)一定是實(shí)數(shù)，但實(shí)數(shù)不一定是有理數(shù)，所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

　�、� 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

　　③ 、 是奇數(shù)，那么 一定是偶數(shù)； 是偶數(shù)， 、 不一定都是奇數(shù)（可能都為偶數(shù)），所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

　　④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分條件；

　　⑤由交集的定義可知 且 是 成立的充要條件；

　　⑥由 知 且 ，所以 是 成立的充分非必要條件；

　　⑦由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分條件；

　�、嘁字�“ 是4的倍數(shù)”是“ 是6的倍數(shù)”成立的既非充分又非必要條件；

　　（通過對(duì)上述問題的交流、思辯，在爭論中得到了正確答案，并加深了對(duì)充分條件、必要條件的認(rèn)識(shí)．）

　　例2  已知 是 的充要條件， 是 的必要條件同時(shí)又是 的充分條件，試 與 的關(guān)系．（投影）

　　解：由已知得

，

　　所以 是 的充分條件，或 是 的必要條件．

　　4．小結(jié)回授

　　今天我們學(xué)習(xí)了充分條件、必要條件和充要條件的概念，并學(xué)會(huì)了判斷條件A是B的什么條件，這為我們今后解決數(shù)學(xué)問題打下了等價(jià)轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)．

　　課內(nèi)練習(xí)：課本（人教版，試驗(yàn)修訂本，第一冊(cè)（上））第 35頁練習(xí)l、2；第36頁練習(xí)l、2．

　�。ㄍㄟ^練習(xí)，檢查學(xué)生掌握情況，有針對(duì)性的進(jìn)行講評(píng)．）

　　5．課外作業(yè)：教材第36頁      習(xí)題1.8    1、2、3．

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