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指數(shù)函數(shù)

時(shí)間：2022-08-17 03:38:00 高一數(shù)學(xué)教案我要投稿

指數(shù)函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

　　1.使學(xué)生掌握指數(shù)函數(shù)的概念,圖象和性質(zhì).

　　(1)能根據(jù)定義判斷形如什么樣的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),了解對(duì)底數(shù)的限制條件的合理性,明確指數(shù)函數(shù)的定義域.

　　(2)能在基本性質(zhì)的指導(dǎo)下,用列表描點(diǎn)法畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象,能從數(shù)形兩方面認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

　　(3) 能利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較某些冪形數(shù)的大小,會(huì)利用指數(shù)函數(shù)的圖象畫(huà)出形如的圖象.

　　2. 通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念圖象性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察,分析歸納的能力,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　3.通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)的研究,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.使學(xué)生善于從現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,解決問(wèn)題.

教學(xué)建議

教材分析

　　(1) 指數(shù)函數(shù)是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念,基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的,它是重要的基本初等函數(shù)之一,作為常見(jiàn)函數(shù),它既是函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應(yīng)用,也是今后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,所以指數(shù)函數(shù)應(yīng)重點(diǎn)研究.

　　(2) 本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是在理解指數(shù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).難點(diǎn)是對(duì)底數(shù)在和時(shí),函數(shù)值變化情況的區(qū)分.

　　(3)指數(shù)函數(shù)是學(xué)生完全陌生的一類(lèi)函數(shù),對(duì)于這樣的函數(shù)應(yīng)怎樣進(jìn)行較為系統(tǒng)的理論研究是學(xué)生面臨的重要問(wèn)題,所以從指數(shù)函數(shù)的研究過(guò)程中得到相應(yīng)的結(jié)論固然重要,但更為重要的是要了解系統(tǒng)研究一類(lèi)函數(shù)的方法,所以在教學(xué)中要特別讓學(xué)生去體會(huì)研究的方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究.

教法建議

　　(1)關(guān)于指數(shù)函數(shù)的定義按照課本上說(shuō)法它是一種形式定義即解析式的特征必須是的樣子,不能有一點(diǎn)差異,諸如,等都不是指數(shù)函數(shù).

　　(2)對(duì)底數(shù)的限制條件的理解與認(rèn)識(shí)也是認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)的重要內(nèi)容.如果有可能盡量讓學(xué)生自己去研究對(duì)底數(shù),指數(shù)都有什么限制要求,教師再給予補(bǔ)充或用具體例子加以說(shuō)明,因?yàn)閷?duì)這個(gè)條件的認(rèn)識(shí)不僅關(guān)系到對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)及性質(zhì)的分類(lèi)討論,還關(guān)系到后面學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)中底數(shù)的認(rèn)識(shí),所以一定要真正了解它的由來(lái).

　　關(guān)于指數(shù)函數(shù)圖象的繪制,雖然是用列表描點(diǎn)法,但在具體教學(xué)中應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目列表計(jì)算,也應(yīng)避免盲目的連點(diǎn)成線(xiàn),要把表列在關(guān)鍵之處,要把點(diǎn)連在恰當(dāng)之處,所以應(yīng)在列表描點(diǎn)前先把函數(shù)的性質(zhì)作一些簡(jiǎn)單的討論,取得對(duì)要畫(huà)圖象的存在范圍,大致特征,變化趨勢(shì)的大概認(rèn)識(shí)后,以此為指導(dǎo)再列表計(jì)算,描點(diǎn)得圖象.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

課題指數(shù)函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

　　1. 理解指數(shù)函數(shù)的定義,初步掌握指數(shù)函數(shù)的圖象,性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

　　2. 通過(guò)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察,分析,歸納的能力,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　3. 通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)的研究,使學(xué)生能把握函數(shù)研究的基本方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)是理解指數(shù)函數(shù)的定義,把握?qǐng)D象和性質(zhì).

　　難點(diǎn)是認(rèn)識(shí)底數(shù)對(duì)函數(shù)值影響的認(rèn)識(shí).

教學(xué)用具

　　投影儀

教學(xué)方法

　　啟發(fā)討論研究式

教學(xué)過(guò)程

一. 引入新課

　　我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)運(yùn)算,在此基礎(chǔ)上,今天我們要來(lái)研究一類(lèi)新的常見(jiàn)函數(shù)-------指數(shù)函數(shù).

1.6.指數(shù)函數(shù)(板書(shū))

　　這類(lèi)函數(shù)之所以重點(diǎn)介紹的原因就是它是實(shí)際生活中的一種需要.比如我們看下面的問(wèn)題:

　　問(wèn)題1:某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),……一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂次后,得到的細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)與之間,構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系,能寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?

　　由學(xué)生回答:與之間的關(guān)系式,可以表示為.

　　問(wèn)題2:有一根1米長(zhǎng)的繩子,第一次剪去繩長(zhǎng)一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了次后繩子剩余的長(zhǎng)度為米,試寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系.

　　由學(xué)生回答:.

　　在以上兩個(gè)實(shí)例中我們可以看到這兩個(gè)函數(shù)與我們前面研究的函數(shù)有所區(qū)別,從形式上冪的形式,且自變量均在指數(shù)的位置上,那么就把形如這樣的函數(shù)稱(chēng)為指數(shù)函數(shù).

一. 指數(shù)函數(shù)的概念(板書(shū))

　　1.定義:形如的函數(shù)稱(chēng)為指數(shù)函數(shù).(板書(shū))

　　教師在給出定義之后再對(duì)定義作幾點(diǎn)說(shuō)明.

　　2.幾點(diǎn)說(shuō)明 (板書(shū))

　　(1) 關(guān)于對(duì)的規(guī)定:

　　教師首先提出問(wèn)題:為什么要規(guī)定底數(shù)大于0且不等于1呢?(若學(xué)生感到有困難,可將問(wèn)題分解為若會(huì)有什么問(wèn)題?如,此時(shí),等在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值不存在.

　　若對(duì)于都無(wú)意義,若則無(wú)論取何值,它總是1,對(duì)它沒(méi)有研究的必要.為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定且.

　　(2)關(guān)于指數(shù)函數(shù)的定義域 (板書(shū))

　　教師引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)范圍,發(fā)現(xiàn)指數(shù)可以取有理數(shù).此時(shí)教師可指出,其實(shí)當(dāng)指數(shù)為無(wú)理數(shù)時(shí),也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),對(duì)于無(wú)理指數(shù)冪,學(xué)過(guò)的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運(yùn)算法則它都適用,所以將指數(shù)范圍擴(kuò)充為實(shí)數(shù)范圍,所以指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?sub> .擴(kuò)充的另一個(gè)原因是因?yàn)槭顾叽砀袘?yīng)用價(jià)值.

　　(3)關(guān)于是否是指數(shù)函數(shù)的判斷(板書(shū))

　　剛才分別認(rèn)識(shí)了指數(shù)函數(shù)中底數(shù),指數(shù)的要求,下面我們從整體的角度來(lái)認(rèn)識(shí)一下,根據(jù)定義我們知道什么樣的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),請(qǐng)看下面函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù).

　　(1), (2), (3)

　　(4), (5).

　　學(xué)生回答并說(shuō)明理由,教師根據(jù)情況作點(diǎn)評(píng),指出只有(1)和(3)是指數(shù)函數(shù),其中(3) 可以寫(xiě)成,也是指數(shù)圖象.

　　最后提醒學(xué)生指數(shù)函數(shù)的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問(wèn)題引向深入,有了定義域和初步研究的函數(shù)的性質(zhì),此時(shí)研究的關(guān)鍵在于畫(huà)出它的圖象,再細(xì)致歸納性質(zhì).

　　3.歸納性質(zhì)

　　作圖的用什么方法.用列表描點(diǎn)發(fā)現(xiàn),教師準(zhǔn)備明確性質(zhì),再由學(xué)生回答.

函數(shù)

　　1.定義域 :

　　2.值域:

　　3.奇偶性 :既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

　　4.截距:在軸上沒(méi)有,在軸上為1.

　　對(duì)于性質(zhì)1和2可以?xún)蓷l合在一起說(shuō),并追問(wèn)起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對(duì)第3條還應(yīng)會(huì)證明.對(duì)于單調(diào)性,我建議找一些特殊點(diǎn).,先看一看,再下定論.對(duì)最后一條也是指導(dǎo)函數(shù)圖象畫(huà)圖的依據(jù).(圖象位于軸上方,且與軸不相交.)

　　在此基礎(chǔ)上,教師可指導(dǎo)學(xué)生列表,描點(diǎn)了.取點(diǎn)時(shí)還要提醒學(xué)生由于不具備對(duì)稱(chēng)性,故的值應(yīng)有正有負(fù),且由于單調(diào)性不清,所取點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能太少.

　　此處教師可利用計(jì)算機(jī)列表描點(diǎn),給出十組數(shù)據(jù),而學(xué)生自己列表描點(diǎn),至少六組數(shù)據(jù).連點(diǎn)成線(xiàn)時(shí),一定提醒學(xué)生圖象的變化趨勢(shì)(當(dāng)越小,圖象越靠近軸,越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線(xiàn).

二.圖象與性質(zhì)(板書(shū))

　　1.圖象的畫(huà)法:性質(zhì)指導(dǎo)下的列表描點(diǎn)法.

　　2.草圖:

　　當(dāng)畫(huà)完第一個(gè)圖象之后,可問(wèn)學(xué)生是否需要再畫(huà)第二個(gè)?它是否具有代表性?(教師可提示底數(shù)的條件是且,取值可分為兩段)讓學(xué)生明白需再畫(huà)第二個(gè),不妨取為例.

　　此時(shí)畫(huà)它的圖象的方法應(yīng)讓學(xué)生來(lái)選擇,應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)到列表描點(diǎn)不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡(jiǎn)單.即=與圖象之間關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),而此時(shí)的圖象已經(jīng)有了,具備了變換的條件.讓學(xué)生自己做對(duì)稱(chēng),教師借助計(jì)算機(jī)畫(huà)圖,在同一坐標(biāo)系下得到的圖象.

　　最后問(wèn)學(xué)生是否需要再畫(huà).(可能有兩種可能性,若學(xué)生認(rèn)為無(wú)需再畫(huà),則追問(wèn)其原因并要求其說(shuō)出性質(zhì),若認(rèn)為還需畫(huà),則教師可利用計(jì)算機(jī)再畫(huà)出如的圖象一起比較,再找共性)

　　由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教師可列一個(gè)表,如下:

　　以上內(nèi)容學(xué)生說(shuō)不齊的,教師可適當(dāng)提出觀(guān)察角度讓學(xué)生去描述,然后再讓學(xué)生將幾何的特征,翻譯為函數(shù)的性質(zhì),即從代數(shù)角度的描述,將表中另一部分填滿(mǎn).

　　填好后,讓學(xué)生仿照此例再列一個(gè)的表,將相應(yīng)的內(nèi)容填好.為進(jìn)一步整理性質(zhì),教師可提出從另一個(gè)角度來(lái)分類(lèi),整理函數(shù)的性質(zhì).

　　3.性質(zhì).

　　(1)無(wú)論為何值,指數(shù)函數(shù)都有定義域?yàn)?sub> ,值域?yàn)?sub> ,都過(guò)點(diǎn).

　　(2) 時(shí), 在定義域內(nèi)為增函數(shù),時(shí), 為減函數(shù).

　　(3) 時(shí),, 時(shí), .

　　總結(jié)之后,特別提醒學(xué)生記住函數(shù)的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質(zhì).

三.簡(jiǎn)單應(yīng)用 (板書(shū))

　　1.利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比大小. (板書(shū))

　　一類(lèi)函數(shù)研究完它的概念,圖象和性質(zhì)后,最重要的是利用它解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.首先我們來(lái)看下面的問(wèn)題.

　　例1. 比較下列各組數(shù)的大小

　　(1) 與; (2)與;

　　(3)與1 .(板書(shū))

　　首先讓學(xué)生觀(guān)察兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn),有什么相同?由學(xué)生指出它們底數(shù)相同,指數(shù)不同.再追問(wèn)根據(jù)這個(gè)特點(diǎn),用什么方法來(lái)比較它們的大小呢?讓學(xué)生聯(lián)想指數(shù)函數(shù),提出構(gòu)造函數(shù)的方法,即把這兩個(gè)數(shù)看作某個(gè)函數(shù)的函數(shù)值,利用它的單調(diào)性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過(guò)程.

　　解: 在上是增函數(shù),且

　　<.(板書(shū))

　　教師最后再?gòu)?qiáng)調(diào)過(guò)程必須寫(xiě)清三句話(huà):

　　(1) 構(gòu)造函數(shù)并指明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性.

　　(2) 自變量的大小比較.

　　(3) 函數(shù)值的大小比較.

　　后兩個(gè)題的過(guò)程略.要求學(xué)生仿照第(1)題敘述過(guò)程.

　　例2.比較下列各組數(shù)的大小

　　 (1)與; (2)與 ;

　　(3)與.(板書(shū))

　　先讓學(xué)生觀(guān)察例2中各組數(shù)與例1中的區(qū)別,再思考解決的方法.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)(1)來(lái)說(shuō)可以寫(xiě)成,這樣就可以轉(zhuǎn)化成同底的問(wèn)題,再用例1的方法解決,對(duì)(2)來(lái)說(shuō)可以寫(xiě)成,也可轉(zhuǎn)化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉(zhuǎn)化方法,由學(xué)生思考解決.(教師可提示學(xué)生指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值與1有關(guān),可以用1來(lái)起橋梁作用)

　　最后由學(xué)生說(shuō)出>1, <1,>.

　　解決后由教師小結(jié)比較大小的方法

　　(1) 構(gòu)造函數(shù)的方法: 數(shù)的特征是同底不同指(包括可轉(zhuǎn)化為同底的)

　　(2) 搭橋比較法: 用特殊的數(shù)1或0.

三.鞏固練習(xí)

　　練習(xí):比較下列各組數(shù)的大小(板書(shū))

　　(1)與 (2)與;

　　(3)與;　　(4)與.解答過(guò)程略

四.小結(jié)

　　1.指數(shù)函數(shù)的概念

　　2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

　　3.簡(jiǎn)單應(yīng)用