第一冊(cè)已知三角函數(shù)值求角

【教學(xué)課題】: 已知三角函數(shù)值求角

【教學(xué)目標(biāo)】: 了解反三角函數(shù)的定義，掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角

【教學(xué)重點(diǎn)】: 掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角

【教學(xué)難點(diǎn)】: 反三角函數(shù)的定義

【教學(xué)過(guò)程】:

一．  問(wèn)題的提出：

在我們的學(xué)習(xí)中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（ ），我們?nèi)绾伪硎?v:shape id=_x0000_i1026 style="width: 9.75pt; height: 11.25pt" o:ole="" type="#_x0000_t75"> 呢？相當(dāng)于 中如何用 來(lái)表示 ，這是一個(gè)反解 的過(guò)程，由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性，它們不存在反函數(shù)，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個(gè)區(qū)間滿足：

（1）包含銳角；（2）具有單調(diào)性；（3）能取得三角函數(shù)值域上的所有值。

顯然對(duì) ，這樣的區(qū)間是 ；對(duì) ，這樣的區(qū)間是 ；對(duì) ，這樣的區(qū)間是 ；

二．新課的引入：

1．反正弦定義：

反正弦函數(shù)：函數(shù) ， 的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作： .

對(duì)于 注意：

（1） （相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域）；

（2） （相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域）；

（3） ；

即： 相當(dāng)于 內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為 。

反正弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實(shí)數(shù) 的反正弦，記作： 。其中 ， 。

例如： ， ， ，

由此可見：書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的，當(dāng)然理解了反正弦函數(shù)，能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識(shí)。

２．反余弦定義：

反余弦函數(shù)：函數(shù) ， 的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作： .

對(duì)于 注意：

（1） （相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域）；

（2） （相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域）；

（3） ；

即： 相當(dāng)于 內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為 。

反余弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實(shí)數(shù) 的反正弦，記作： 。其中 ， 。

例如： ， ，由于 ，故 為負(fù)值時(shí)， 表示的是鈍角。

３．反正切定義：

反正切函數(shù)：函數(shù) ， 的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作： .

對(duì)于 注意：

（1） （相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域）；

（2） （相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域）；

（3） ；

即： 相當(dāng)于 內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為 。

反正切：符合條件 （ ）的角 ，叫做實(shí)數(shù) 的反正切，記作： 。其中 ， 。

例如： ， ， ，

對(duì)于反三角函數(shù)，大家切記：它們不是三角函數(shù)的反函數(shù)，需要對(duì)定義域加以改進(jìn)后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關(guān)于 對(duì)稱這一特性，得到反三角函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)新教材的要求，這里就不再講了。

練習(xí)：

三．課堂練習(xí)：

例1．請(qǐng)說(shuō)明下列各式的含義：

(1) ；  (2)  ； (3） ； (4) 。

解：（1） 表示 之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為 ，這個(gè)角是 ；

（2） 表示 之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為 ，這個(gè)角不存在，即 的寫法沒有意義，與 ， 矛盾；

（3） 表示 之間的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為 ，這個(gè)角是 ；

（4） 表示 之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為 。這個(gè)角是一個(gè)銳角。

 

例2.比較大�。海�1） 與 ；（2） 與 。

解：（1）設(shè)： ， ； ， ，

則 ， ，

∵ 在 上是增函數(shù)， ，

∴ ，即 。

（2） 中 小于零， 表示負(fù)銳角，

中 雖然小于零，但 表示鈍角。

即： 。

   

例3．已知： ， ，求： 的值。

    解： 正弦值為 的角只有一個(gè)，即： ，

    在 中正弦值為 的角還有一個(gè)，為鈍角，即： ，

    所求 的集合為： 。

    注意：如果題目沒有特別說(shuō)明，結(jié)果應(yīng)為準(zhǔn)確值，而不應(yīng)是近似值，書上均為近似值。

   

例4．已知： ， ，求： 的值。

    解： 余弦值為 的角只有一個(gè)，即： ，

    在 中余弦值為 的角還有一個(gè)，為第三象限角，即： ，

    所求 的集合為： 。

 

例5．求證： （ ）。

證明：∵ ，∴ ，設(shè) ， ，

則 ，即： ，即： ，

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，即： 。

 

例6．求證： （ ）。

證明：∵ ，∴ ，設(shè) ， ，

則 ，即： ，即： （*），

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，即： 。

注意：（*）中不能用 來(lái)替換 ，雖然符號(hào)相同，但 ，不能用反余弦表示 。

四．課后作業(yè)。

    書上：P76.練習(xí),P77.  習(xí)題4.11。（均要準(zhǔn)確值，劃掉書上的精確到）

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