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下學(xué)期 4.10 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)1
4.10 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
第一課時
（一）教學(xué)具準(zhǔn)備
直尺、投影儀．
（二）教學(xué)目標(biāo)
1．會用“正切線”和“單移法”作函數(shù) 的簡圖．
2．掌握正切函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．
（三）教學(xué)過程
1．設(shè)置情境
正切函數(shù)是區(qū)別于正弦函數(shù)的又一三角函數(shù)，它與正弦函數(shù)的最大區(qū)別是定義域的不連續(xù)性，為了更好研究其性質(zhì)，我們首先討論 的作圖．
2．探索研究
師：請同學(xué)們回憶一下，我們是怎樣利用單位圓中的正弦線作出 圖像的．
生：在單位圓上取終邊為 （弧度）的角，作出其正弦線 ，設(shè) ，在直角坐標(biāo)系下作點 ，則點 即為 圖像上一點．
師：這位同學(xué)講得非常好，本節(jié)課我們也將利用單位圓中的正切線來繪制 圖像．
（1）用正切線作正切函數(shù)圖像
師：首先我們分析一下正切函數(shù) 是否為周期函數(shù)？
生：∵
∴ 是周期函數(shù)， 是它的一個周期．
師：對，我們還可以證明， 是它的最小正周期．類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數(shù)在一個周期上的圖像，下面我們利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像．
作法如下：①作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系 軸左側(cè)作單位圓．
�、诎褑挝粓A右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．
�、壅覚M坐標(biāo)（把 軸上 到 這一段分成8等份）．
④找縱坐標(biāo)，正切線平移．
⑤連線．
圖1
根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以把上述圖像向左、右擴展，得到正切函數(shù) ， 且 （ ）的圖像，并把它叫做正切曲線（如圖1）．
圖2
（2）正切函數(shù)的性質(zhì)
請同學(xué)們結(jié)合正切函數(shù)圖像研究正切函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．
①定義域：
�、谥涤�
由正切曲線可以看出，當(dāng) 小于 （ ）且無限親近于 時， 無限增大，即可以比任意給定的正數(shù)大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于正無窮大）；當(dāng) 大于 且無限接近于 ， 無限減小，即取負值且它的絕對值可以比任意給定的正數(shù)大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于負無窮大）．這就是說， 可以取任何實數(shù)值，但沒有最大值、最小值．
因此，正切函數(shù)的值域是實數(shù)集 ．
�、壑芷谛�
正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是 ．
�、芷媾夹�
∵ ，∴正切函數(shù)是奇函數(shù)，正切曲線關(guān)于原點 對稱．
⑤單調(diào)性
由正切曲線圖像可知：正切函數(shù)在開區(qū)間（ ， ）， 內(nèi)都是增函數(shù)．
�。�3）例題分析
【例1】求函數(shù) 的定義域．
解：令 ，那么函數(shù) 的定義域是
由 ，可得
所以函數(shù) 的定義域是
【例2】不通過求值，比較下列各組中兩個正切函數(shù)值的大�。�
（1） 與 ；
（2） 與 ．
解：（1）∵
又 ∵ ，在 上是增函數(shù)
∴
�。�2）∵
又 ∵ ，函數(shù) ， 是增函數(shù)，
∴ 即 ．
說明：比較兩個正切型實數(shù)的大小，關(guān)鍵是把相應(yīng)的角誘導(dǎo)到 的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用 的單調(diào)遞增性來解決．
3．演練反饋（投影）
（1）直線 （ 為常數(shù)）與正切曲線 （ 為常數(shù)且 ）相交的相鄰兩點間的距離是（ ）
A． B． C． D．與 值有關(guān)
�。�2） 是 的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖像寫出下列不等式成立的角 集合
�、佟 、�
參考答案：
�。�1）C．注： 與 相鄰兩點之間距離即為周期長
（2）D．注：由 ，但 ，反之 ，但
（3）①
�、�
4．總結(jié)提煉
（1） 的作圖是利用平移正切線得到的，當(dāng)我們獲得 上圖像后，再利用周期性把該段圖像向左右延伸、平移。
�。�2） 性質(zhì)．
定義域
值域
周期
奇偶性
單調(diào)增區(qū)間
對稱中心
漸近線方程
奇函數(shù)
，
（四）板書設(shè)計
課題……
1．用正切線作正切函數(shù)圖像
2．正切函數(shù)的性質(zhì)
例1
例2
演練反饋
總結(jié)提煉
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