和圓有關的比例線段

教學建議

　　1、教材分析

　�。�1）知識結構

　�。�2）重點、難點分析

　　重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理．這些定理和推論不但是本節(jié)的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明．

　　難點：正確地寫出定理中的等積式．因為圖形中的線段較多，學生容易混淆．

　　2、教學建議

　　本節(jié)內容需要三個課時．第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2．第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3．第3課時是習題課，講例4并做有關的練3．

　�。�1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題，逐步培養(yǎng)學生研究性學習意識，激發(fā)學生的學習熱情；

　�。�2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，教師組織下，以學生為主體開展教學活動．

第1課時：相交弦定理

　　教學目標：

　　1．理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；

　　2．學會作兩條已知線段的比例中項；

　　3．通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，調動學生的思維積極性，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神；

　　4．通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法．

　　教學重點：

　　正確理解相交弦定理及其推論．

　　教學難點：

　　在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發(fā)生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理．

　　教學活動設計

　　（一）設置學習情境

　　 1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動）

　　①引導學生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．

　　②進一步得出：△APC∽△DPB．

　　 ．

　　 ③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關系會發(fā)生變化嗎?為什么?

　　組織學生觀察，并回答．

　　2、證明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O內一點P．

　　求證：PA·PB＝PC·PD．

　�。ˋ層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；B、C層學生在老師引導下完成）

　�。ㄗC明略）

　　（二）定理及推論

　　1、相交弦定理： 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．

　　結合圖形讓學生用數(shù)學語言表達相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點P，那么PA·PB＝PC·PD．

　　2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結論．

　　 對兩條相交弦的位置進行適當?shù)恼{整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P．

　　提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結論?

　　指出：PC²＝PA·PB．

　　請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確．教師糾正，并板書．

　　推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．

　　 3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC²＝PA·PB． 

　　若再連結AC，BC，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：

　　PC²＝PA·PB ；AC²＝AP·AB；CB²＝BP·AB

　　（三）應用、反思

　　例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長．

　　 引導學生根據(jù)題意列出方程并求出相應的解．

　　例2  已知：線段a，b．

　　求作：線段c，使c²＝ab．

　　分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段．

　　作法：口述作法．

　　反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用．同時可啟發(fā)學生考慮通過其它途徑完成作圖．

　　練習1 如圖，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．

　　變式練習：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的長度皆為整數(shù)．那么CD的長度是 多少?

　　 將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣

　　練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的長．

　　練習3  如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OP⊥PC，PC 交⊙O于C．  求證：PC²＝PA·PB 

　　引導學生分析：由AP·PB，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根據(jù)條件OP⊥PC．易 證得PC＝PD問題得證．

　�。�四）小結

　　知識：相交弦定理及其推論；

　　能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力；

　　思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法．

　　（五）作業(yè)

　　教材P132中 9，10；P134中B組4(1)．
第2課時 切割線定理

　　教學目標：

　　1．掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；

　　2．掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力

　　3．能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論，培養(yǎng)學生辯證唯物主義的觀點．

　　教學重點：

　　理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經常用到的重要定理．

　　教學難點：

　　定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯(lián)系是難點．

　　教學活動設計

　　（一）提出問題

　　1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內一點．如果兩弦延長交于圓外一點P，那么該點到割線與圓交點的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關系？(如圖1)

　　當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA，PB，PT之間又有什么關系？

　　2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關系為PT²=PA·PB．

　　3、證明：

　　讓學生根據(jù)圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想．

　　分析：要證PT²=PA·PB，  可以證明，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB．(圖3)．容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證．

　　 4、引導學生用語言表達上述結論．

　　切割線定理  從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．

　�。ǘ�）切割線定理的推論

　　1、再提出問題：當PB、PD為兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關系?

　　觀察圖4，提出猜想：PA·PB=PC·PD．

　　2、組織學生用多種方法證明：

　　方法一：要證PA·PB=PC·PD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．  (如圖4)

　　方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB．容易證明∠B=∠D，又∠P=∠P．  因此△PAD∽△PCB．(如圖5)

　　方法三：引導學生再次觀察圖2，立即會發(fā)現(xiàn)．PT²=PA·PB，同時PT²=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD

　　推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．（也叫做割線定理）

　�。ㄈ�）初步應用

　　例1  已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑．

　　分析：由于PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O于D，構成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解．

　�。ń饴裕┙處熓痉督忸}．

　　 例2  已知如圖7，線段AB和⊙O交于點C，D，AC＝BD，AE，BF分別切⊙O于點E，F(xiàn)，

　　求證：AE＝BF．

　　分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點出發(fā)引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC＝BD，AD＝BC．  因此它們的積相等，問題得證．

　　學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現(xiàn)的錯誤，如AE²＝AC·CD和BF²＝BD·DC等．

　　鞏固練習：P128練習1、2題  

　　（四）小結

　　知識：切割線定理及推論；

　　能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；

　　方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握．

　�。ㄎ澹┳鳂I(yè)教材P132中，11、12題．

探究活動

最佳射門位置

　　國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米)．

　　分析與解 如圖1所示．AB是足球門，點P是邊鋒所在的位置．最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示．即OP是圓的切線，而OB是圓的割線．

　　故 ，又 ，

　　OB=30.34+7.32＝37.66．

　　OP= (米)．

　　注：上述解法適用于更一般情形．如圖2所示．△BOP可為任意角．

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