第六冊二次函數(shù)

知識點〗二次函數(shù)、拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

〖大綱要求〗

1．  理解二次函數(shù)的概念；

2．  會把二次函數(shù)的一般式化為頂點式，確定圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向，會用描點法畫二次函數(shù)的圖象；

3．  會平移二次函數(shù)y＝ax²(a≠0)的圖象得到二次函數(shù)y＝a(ax＋m)²＋k的圖象，了解特殊與一般相互聯(lián)系和轉化的思想；

4．  會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

5．  利用二次函數(shù)的圖象，了解二次函數(shù)的增減性，會求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標和函數(shù)的最大值、最小值，了解二次函數(shù)與一元二次方程和不等式之間的聯(lián)系。

內容

（1）二次函數(shù)及其圖象

如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0),那么，y叫做x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)的圖象是拋物線，可用描點法畫出二次函數(shù)的圖象。

（2）拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的頂點是 ，對稱軸是 ，當a>0時，拋物線開口向上，當a<0時，拋物線開口向下。

   拋物線y=a（x+h）2+k(a≠0)的頂點是（-h，k），對稱軸是x=-h.

〖考查重點與常見題型〗

1．  考查二次函數(shù)的定義、性質，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數(shù)y＝(m－2)x²＋m²－m－2額圖像經過原點， 

則m的值是         

2．  綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù)y＝kx＋b的圖像在第一、二、三象限內，那么函數(shù)

y＝kx²＋bx－1的圖像大致是（     ）

        y               y             y               y

 

       1                              1

      0    x          o-1  x        0    x          0 -1  x

     A               B             C               D

3．  考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x＝，求這條拋物線的解析式。

4．  考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如：

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

    5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。

習題1:

一、填空題：（每小題3分，共30分）

１、已知Ａ（３，６）在第一象限，則點Ｂ（３，－６）在第　　　　象限

２、對于ｙ＝－，當ｘ＞０時，ｙ隨ｘ的增大而　　　　　

３、二次函數(shù)ｙ＝ｘ^２＋ｘ－５取最小值是，自變量ｘ的值是　　　　　　

４、拋物線ｙ＝（ｘ－１）^２－７的對稱軸是直線ｘ＝　　　　　　

５、直線ｙ＝－５ｘ－８在ｙ軸上的截距是　　　　　　

６、函數(shù)ｙ＝中，自變量ｘ的取值范圍是　　　　　　

７、若函數(shù)ｙ＝（ｍ＋１）ｘ^{ｍ２＋３ｍ＋１}是反比例函數(shù)，則m的值為　　　　　

８、在公式＝ｂ中，如果ｂ是已知數(shù)，則ａ＝　　　　　　　

９、已知關于ｘ的一次函數(shù)ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ隨ｘ的增大而減小，則ｍ的取值范圍是　　　　　

１０、       某鄉(xiāng)糧食總產值為ｍ噸，那么該鄉(xiāng)每人平均擁有糧食ｙ（噸），與該鄉(xiāng)人口數(shù)ｘ的函數(shù)關系式是　　　　　　

二、選擇題：（每題3分，共30分）

１１、函數(shù)ｙ＝中，自變量ｘ的取值范圍　�。ā　。�

(Ａ)ｘ＞５　　　　(Ｂ)ｘ＜５　　　　(Ｃ)ｘ≤５　　　(Ｄ)ｘ≥５

１２、拋物線ｙ＝（ｘ＋３）^２－２的頂點在　　　　�。ā　。�

(Ａ)第一象限　　(Ｂ) 第二象限　　　(Ｃ) 第三象限　　(Ｄ) 第四象限

１３、拋物線ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）與坐標軸交點的個數(shù)為　�。ā　。�

(Ａ)０　　　(Ｂ)１　　　　(Ｃ)２　　　　(Ｄ)３

１４、下列各圖中能表示函數(shù)和在同一坐標系中的圖象大致是（　　　　）

     

　　　(Ａ)　　　　 (Ｂ)　　　　　(Ｃ)　　　　　　(Ｄ)

15．平面三角坐標系內與點（3，－5）關于ｙ軸對稱點的坐標為（　　�。�

（A）（－3,5）　　�。˙）（3,5）　　�。–）（－3，－5）　　　（D）（3，－5）

16．下列拋物線，對稱軸是直線ｘ＝的是（　　�。�

（A）       ｙ＝ｘ²（B）ｙ＝ｘ²＋2ｘ（C）ｙ＝ｘ²＋ｘ＋2（D）ｙ＝ｘ²－ｘ－2

17．函數(shù)ｙ＝中，ｘ的取值范圍是（　　　）

（A）ｘ≠0　�。˙）ｘ＞　　（C）ｘ≠　　（D）ｘ＜

18．已知A（0,0），B（3,2）兩點，則經過A、B兩點的直線是（　　�。�

（A）ｙ＝ｘ　�。˙）ｙ＝ｘ　�。–）ｙ＝3ｘ　�。―）ｙ＝ｘ＋1

19．不論ｍ為何實數(shù)，直線ｙ＝ｘ＋2ｍ與ｙ＝－ｘ＋4　的交點不可能在（　　�。�

（A）第一象限　�。˙）第二象限　　（C）第三象限　�。―）第四象限

20．某幢建筑物，從10米高的窗口A用水管和向外噴水，噴的水流呈拋物線（拋物線所在平面與墻面垂直，（如圖）如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面米，則水流下落點B離墻距離OB是（　　�。�

（A）2米　　　（B）3米　　　（C）4米　　�。―）5米

三．解答下列各題（21題6分，22----25每題4分，26-----28每題6分，共40分）

21．已知：直線ｙ＝ｘ＋ｋ過點A（4，－3）。（1）求ｋ的值；（2）判斷點B（－2，－6）是否在這條直線上；（3）指出這條直線不過哪個象限。

22．已知拋物線經過A（0，3），B（4,6）兩點，對稱軸為ｘ＝，

（1）       求這條拋物線的解析式；

（2）       試證明這條拋物線與X軸的兩個交點中，必有一點C，使得對于ｘ軸上任意一點D都有AC＋BC≤AD＋BD。

23．已知：金屬棒的長1是溫度ｔ的一次函數(shù)，現(xiàn)有一根金屬棒，在O℃時長度為200ｃｍ，溫度提高1℃，它就伸長0.002ｃｍ。

（1）       求這根金屬棒長度ｌ與溫度ｔ的函數(shù)關系式；

（2）       當溫度為100℃時，求這根金屬棒的長度；

（3）       當這根金屬棒加熱后長度伸長到201.6ｃｍ時，求這時金屬棒的溫度。

24．已知ｘ₁，ｘ₂，是關于ｘ的方程ｘ²－3ｘ＋ｍ＝0的兩個不同的實數(shù)根，設ｓ＝ｘ₁²＋ｘ₂²

（1）       求S關于ｍ的解析式；并求ｍ的取值范圍；

（2）       當函數(shù)值ｓ＝7時，求ｘ₁³＋8ｘ₂的值；

25．已知拋物線ｙ＝ｘ²－（ａ＋2）ｘ＋9頂點在坐標軸上，求ａ的值。

２６、如圖，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠，截�。粒牛剑拢疲剑模牵剑�，已知ＡＢ＝６，ＣＤ＝３，ＡＤ＝４，求：

（１）   四邊形ＣＧＥＦ的面積Ｓ關于ｘ的函數(shù)表達式和Ｘ的取值范圍；

（２）   當ｘ為何值時，Ｓ的數(shù)值是ｘ的４倍。

２７、國家對某種產品的稅收標準原定每銷售１００元需繳稅８元（即稅率為８％），臺洲經濟開發(fā)區(qū)某工廠計劃銷售這種產品ｍ噸，每噸２０００元。國家為了減輕工人負擔，將稅收調整為每１００元繳稅（８－ｘ）元（即稅率為（８－ｘ）％），這樣工廠擴大了生產，實際銷售比原計劃增加２ｘ％。

（１）   寫出調整后稅款ｙ（元）與ｘ的函數(shù)關系式，指出ｘ的取值范圍；

（２）   要使調整后稅款等于原計劃稅款（銷售ｍ噸，稅率為８％）的７８％，求ｘ的值．

２８、已知拋物線ｙ＝ｘ^２＋（２－ｍ）ｘ－２ｍ（ｍ≠２）與ｙ軸的交點為Ａ，與ｘ軸的交點為Ｂ，Ｃ（Ｂ點在Ｃ點左邊）

（１）   寫出Ａ，Ｂ，Ｃ三點的坐標；

（２）   設ｍ＝ａ^２－２ａ＋４試問是否存在實數(shù)ａ，使△ＡＢＣ為Ｒｔ△？若存在，求出ａ的值，若不存在，請說明理由；

（３）   設ｍ＝ａ^２－２ａ＋４，當∠ＢＡＣ最大時，求實數(shù)ａ的值。

習題2:

一．填空（20分）

1．二次函數(shù)=2（x - ）² +1圖象的對稱軸是           。

2．函數(shù)y= 的自變量的取值范圍是             。

3．若一次函數(shù)y=（m-3）x+m+1的圖象過一、二、四象限，則的取值范圍是               。

4．已知關于的二次函數(shù)圖象頂點（1，-1），且圖象過點（0，-3），則這個二次函數(shù)解析式為                           。

5．若y與x²成反比例，位于第四象限的一點P（a，b）在這個函數(shù)圖象上，且a,b是方程x²-x -12=0的兩根，則這個函數(shù)的關系式                            。

6．已知點P（1，a）在反比例函數(shù)y= （k≠0）的圖象上，其中a=m²+2m+3（m為實數(shù)），則這個函數(shù)圖象在第      象限。

7． x,y滿足等式x= ，把y寫成x的函數(shù)               ，其中自變量x的取值范圍是            。

8．二次函數(shù)y=ax²+bx+c+（a 0）的圖象如圖，則點P（2a-3，b+2）

在坐標系中位于第       象限

9．二次函數(shù)y=（x-1）²+（x-3）²，當x=          時，達到最小值           。

10．拋物線y=x²-（2m-1）x- 6m與x軸交于（x₁，0）和（x₂，0）兩點，已知x₁x₂=x₁+x₂+49，要使拋物線經過原點，應將它向右平移            個單位。

二．選擇題（30分）

11．拋物線y=x²+6x+8與y軸交點坐標（    ）

（A）（0，8）  （B）（0，-8）  （C）（0，6）   （D）（-2，0）（-4，0）

12．拋物線y= - （x+1）²+3的頂點坐標（    ）

 （A）（1，3）   （B）（1，-3）   （C）（-1，-3）   （D）（-1，3）

13．如圖，如果函數(shù)y=kx+b的圖象在第一、二、三象限，那么函數(shù)y=kx²+bx-1的圖象大致是（    ）

 

 

14．函數(shù)y= 的自變量x的取值范圍是（    ）

（A）x 2    （B）x<2    （C）x> - 2且x 1     （D）x 2且x –1

15．把拋物線y=3x²先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是（    ）

（A）=3（x+3）² -2  （B）=3（x+2）²+2   （C）=3（x-3）² -2   （D）=3（x-3）²+2

16．已知拋物線=x²+2mx+m -7與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，則關于x的方程 x²+（m+1）x+m²+5=0的根的情況是（    ）

（A）有兩個正根  （B）有兩個負數(shù)根   （C）有一正根和一個負根 （D）無實根

17．函數(shù)y= - x的圖象與圖象y=x+1的交點在（    ）

（A）       第一象限  （B）第二象限  （C）第三象限  （D）第四象限

18．如果以y軸為對稱軸的拋物線y=ax²+bx+c的圖象，如圖，

則代數(shù)式b+c-a與0的關系（    ）

（A）b+c-a=0  （B）b+c-a>0  （C）b+c-a<0  （D）不能確定

19．已知：二直線y= - x +6和y=x - 2，它們與y軸所圍成的三角形的面積為（    ）

（A）6   （B）10   （C）20   （D）12

20．某學生從家里去學校，開始時勻速跑步前進，跑累了后，再勻速步行余下的路程。下圖所示圖中，橫軸表示該生從家里出發(fā)的時間t，縱軸表示離學校的路程s，則路程s與時間t之間的函數(shù)關系的圖象大致是（    ）

 

 

 

 

 

三．解答題（21~23每題5分，24~28每題7分，共50分）

21．已知拋物線y=ax²+bx+c（a 0）與x軸的兩交點的橫坐標分別是-1和3，與y軸交點的縱坐標是- ；

（1）確定拋物線的解析式；

（2）用配方法確定拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標。

22、如圖拋物線與直線 都經過坐標軸的正半軸上A，B兩點，該拋物線的對稱軸x=—1，與x軸交于點C,且∠ABC=90°求：

    (1)直線AB的解析式；

(2)拋物線的解析式。

 

 

 

23、某商場銷售一批名脾襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經調查發(fā)現(xiàn)每件襯衫降價1元，  商場平均每天可多售出2件：

  (1)若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫要降價多少元，

  (2)每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多?

24、已知：二次函數(shù) 和 的圖象都經過x軸上兩個不同的點M、N，求a、b的值。

25、如圖，已知⊿ABC是邊長為4的正三角形，AB在x軸上，點C在第一象限，AC與y軸交于點D，點A的坐標為{—1，0)，求

  (1)B，C，D三點的坐標；

  (2)拋物線 經過B，C，D三點，求它的解析式；

  (3)過點D作DE∥AB交過B，C，D三點的拋物線于E，求DE的長。

  

 

 

 

 

 

 

 

26 某市電力公司為了鼓勵居民用電，采用分段計費的方法計算電費：每月用電不超100度

時，按每度0．57元計費：每月用電超過100度時．其中的100度仍按原標準收費，超過部分按每度0．50元計費。

    (1)設月用電x度時，應交電費y元，當x≤100和x>100時，分別寫出y關于x的函數(shù)

關系式；

(2)小王家第一季度交納電費情況如下：

月    份

一月份

二月份

三月份

合  計

交費金額

76元

63元

45元6角

184元6角

問小王家第一季度共用電多少度?

27、巳知：拋物線

  (1)求證；不論m取何值，拋物線與x軸必有兩個交點，并且有一個交點是A(2，0)；

    (2)設拋物線與x軸的另一個交點為B，AB的長為d，求d與m之間的函數(shù)關系式；

    (3)設d=10，P(a，b)為拋物線上一點：

       ①當⊿AＢＰ是直角三角形時，求b的值；

       ②當⊿ABＰ是銳角三角形，鈍角三角形時，分別寫出b的取值范圍(第2題不要求寫出過程)  

28、已知二次函數(shù)的圖象 與x軸的交點為A，B(點Ｂ在點A的右邊)，與y軸的交點為C；

  (1)若⊿ABC為Rt⊿，求m的值；

  (1)在⊿ABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值；

  (3)設⊿ABC的面積為S，求當m為何值時，s有最小值．并求這個最小值。 

 

 

 

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