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二次根式的混合運算
教學(xué)建議
知識結(jié)構(gòu)
重難點分析
本節(jié)課的重點是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質(zhì)為基礎(chǔ)，同時又緊密地聯(lián)系著整式、分式的運算，也可以說它是運算問題在初中階段一次總結(jié)性，提高性綜合學(xué)習(xí)；二次根式的運算和有理化的方法與技巧，能夠進一步開拓學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力。
本節(jié)課的難點是把分母中含有兩個二次根式的式子進行分母有理化。分母有理化，實際上二次根式的除法與混合運算的綜合運用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據(jù)分式的基本性質(zhì)把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學(xué)者來說，這一過程容易出現(xiàn)找錯有理化因式和計算出錯的問題。
教法建議
1.在知識的引入上，可采取復(fù)習(xí)引入方式，比如復(fù)習(xí)有理數(shù)的混合運算或整式的運算。
2.在二次根式的加減、乘法混合運算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項式與多項式相乘、多項式與多項式到乘法公式的應(yīng)用，逐漸從數(shù)過渡到帶有字母的式。
3.在有理化因式教學(xué)中，要多出幾組題目從不同角度要求學(xué)生辨別，并及時總結(jié)。
學(xué)生特點：實驗班的A層學(xué)生(數(shù)學(xué)實施分層教學(xué)),主動學(xué)習(xí)積極性高，基礎(chǔ)扎實，思維活躍, ,并具有一定的獨立分析問題,探索問題,歸納概括問題的能力,有較好的思考、質(zhì)疑的習(xí)慣。
教材特點：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次根式的三個重要概念（最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化）和二次根式的有關(guān)運算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法）基礎(chǔ)上，將加、減、乘、除、乘方、開方運算綜合在一起的混合運算的學(xué)習(xí)。
鑒于學(xué)生的特點及教材的特點，本節(jié)課主要采用“互動式”的課堂教學(xué)模式及“談話式”的教學(xué)方法，以此實現(xiàn)生生互動、師生互動、學(xué)生與教材之間的互動。具體說明如下：
（一）在師生互動方面，教師注重問題設(shè)計，注重引導(dǎo)、點撥及提高性總結(jié)。使學(xué)生學(xué)中有思、思中有獲。如本節(jié)課開始，出示書中例題1：
讓學(xué)生先進行思考，解答。然后同學(xué)說出怎樣進行二次根式的混合運算。
強調(diào)：運算順序及運算律和有理數(shù)相同。
�。ǘ┰趯W(xué)生與學(xué)生的互動上，教師注重活動設(shè)計，使學(xué)生學(xué)中有樂，樂中悟道。教師設(shè)計一組題目，讓學(xué)生以競賽的形式解答，然后以記成績的方法讓其它同學(xué)說出優(yōu)點（簡便方法及靈活之處）與錯誤。由于本節(jié)課主要以計算為主，對運算法則及規(guī)律性的基礎(chǔ)知識，學(xué)生很容易掌握而且從意識上認(rèn)為本節(jié)課太簡單，不會很感興趣，所以為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及更好的抓好基礎(chǔ)，提高學(xué)生的運算能力，如此這般設(shè)計。
（三）在個體與群體的互動方式上，教師注重合作設(shè)計，使學(xué)生學(xué)中有辯，辯中求同。如本節(jié)課中對重點問題：“分母有理化”的教學(xué)，出示一個題目，讓學(xué)生思考，找個別學(xué)生說出自己的想法，然后其它同學(xué)補充完成。
學(xué)生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導(dǎo)，才能達(dá)到彼此互動。正是在這一教育思想的指導(dǎo)下，追求學(xué)生的認(rèn)知活動與情感活動的協(xié)調(diào)發(fā)展，有效地喚起學(xué)生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達(dá)到師生互動，生生互動�；邮浇虒W(xué)模式的目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學(xué)生樂學(xué)、會學(xué)、善學(xué)，從而優(yōu)化課堂教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量，在和諧、愉快的情景中實現(xiàn)教與學(xué)的共振。
對二次根式混合運算新課引入的建議
復(fù)習(xí)：
1.計算：（1） ；�。�2） .
解：(1) (2)
= =
= ； = .
2.在整式乘法中，單項式與多項式相乘的法則是什么？多項式與多項式的乘法法則是什么？什么是完全平方式？分別用式子表示出來。
答：單項式與多項式相乘的法則是，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。用式子表示為
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多項式與多項式相乘的法則是，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每項，再把所得的積相加。用式子表示為
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是單項式。
完全平方式是
； 。
在實數(shù)范圍內(nèi)，整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用，運用乘法法則及乘法公式可以進行二次根式的混合運算。引入新課。
對二次根式混合運算學(xué)法的建議
在進行二次根式的混合運算時，也有一個與分式運算相比較的問題，有的時候，加上團式分解、約分等技巧，可以大大簡化計算過程，這是要靈活運用的．因此，在本節(jié)學(xué)習(xí)時，可以適當(dāng)結(jié)合11．1節(jié)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)一下在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式的問題，如
這里再順便提一下，如
這種變形不是原來意義上的因式分解，否則就無法進行到底了．可以說是借助因式分解的方法，或具體說成提出 ，等等．
一、教學(xué)目標(biāo)
1．掌握二次根式的混合運算．
2．掌握乘法公式在混合運算的應(yīng)用．
3．通過二次根式的混合運算，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力．
4．通過例題由淺入深，層層深入，激發(fā)學(xué)生求知的欲望
二、教學(xué)設(shè)計
小結(jié)、歸納、提高
三、重點、難點解決辦法
1．教學(xué)重點：二次根式的混合運算．
2．教學(xué)難點：混合運算的應(yīng)用．
四、課時安排
1課時
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設(shè)計
1．復(fù)習(xí)，運算律及乘法分式，引導(dǎo)學(xué)生口答，并強調(diào)數(shù)的運算律在根式運算中的適用，引入例題．
2．通過例題由淺入深，層層深入，既提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣又激發(fā)學(xué)生求知的欲望；從例題的講解中幫助尋找解題的方法，規(guī)律及注意點．
3．通過大量的練習(xí)，以期形成自己所掌握的知識．
七、教學(xué)步驟
（－）明確目標(biāo)
前面學(xué)過二次根式的加減法的簡單運算，但二次根式未必全是加減混合運算，它同樣會出現(xiàn)二次根式的加、減、乘、除方等混合運算那么二次根式的混合運算的法則是什么？又將怎樣運用它進行化簡計算，這就是本節(jié)課所要研究的問題—二次根式的混合運算．
（二）整體感知
二次根式的混合運算中，應(yīng)注意運算的次序．這是進行二次根式混合運算的前提條件；通過適當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)乘法分式，分母有理化知識，然后再進行二次根式的混合運算的教學(xué)工作，將有助于更好地學(xué)習(xí)它；同樣為了更好地理解二次根式的混合運算還可以將它與數(shù)的運算律和運算方法進行對比，以幫助學(xué)生更好地理解并準(zhǔn)確地掌握好該知識，達(dá)到事半功倍的作用．
第一課時
�。ǎ┙虒W(xué)過程
【復(fù)習(xí)】
運算律在二次根式混合運算中仍適用．
各種整式乘法的法則．
乘法公式： ．
．
提問：加法的交換律、結(jié)合律各是怎樣的？乘法的交換律、結(jié)合律、分配津各是什么？
強調(diào)數(shù)的運算律在根式運算中仍適用后，可引入例題．
【例題】
例1 計算：
（1） ；
�。�2） ．
解：略．
注：①加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于學(xué)生理解和掌握．②在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，而是先乘除，進行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡．例如 ，沒有對 先進行化簡的必要，使計算繁瑣，而是應(yīng)先進行乘法運算 ，通過約分達(dá)到化簡的目的．
例2 計算：
�。�1） ；
�。�2） ；
�。�3） ．
解：略．
注：①由學(xué)生觀察算式，找出特征：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積；兩個數(shù)的和或差的平方，聯(lián)想乘法公式，與多項式的乘法相類似，二次根式的和相乘，適用乘法公式時，運用乘法公式．
�、趶�(fù)習(xí)乘法公式，可選做幾個小題．如 ， 等．
例3 計算：
�。�1） ；
�。�2） ．
解：略．
�、垡胗欣砘蚴降母拍�
例如， 與 ， 與 ．
注：互為有理化因式是指兩個代數(shù)式，其乘積不再含有二次根式．
可適當(dāng)再舉例說明，如 與 ， 與 、 與 ，但 與 就不是互為有理化因式．
（二）隨堂練習(xí)
計算：
�。�1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
�。�5） ；�。�6） ；
（7） ； �。�8） ；
（9） ．
解：（1） ．
�。�2）
．
�。�3）
．
�。�4）
．
�。�5）
．
�。�6）
．
（7） ．
�。�8）
．
（9）
．
�。ㄈ┛偨Y(jié)、擴展
對二次根式的混合運算與整式的混合運算及數(shù)的混合運算比較，要注意運算的順序及運算律在計算過程中的作用．
有理化因式的概念需強調(diào)乘積的結(jié)果不再含有二次根式．
練習(xí)：教材P198中1、2；教材P199中3．
�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
教材P204中1、2、3．
�。ㄎ澹┌鍟O(shè)計
標(biāo) 題
1．復(fù)習(xí)內(nèi)容 例3……
2．例題 3．有理化因式
例1…… 4．練習(xí)題
例2……
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