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二次根式的乘法
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)：
重點(diǎn)難點(diǎn)分析：
本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的中心內(nèi)容，化簡(jiǎn)和運(yùn)算都是圍繞其進(jìn)行的，而運(yùn)用此性質(zhì)計(jì)算化簡(jiǎn)又是二次根式的化簡(jiǎn)和混合運(yùn)算的基礎(chǔ).二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)通常與如勾股定理等幾何方面的知識(shí)綜合在一起.
本節(jié)難點(diǎn)是二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.積的算術(shù)平方根在應(yīng)用時(shí)既要強(qiáng)調(diào)這部分題目中的字母為正數(shù)，但又要注意防止學(xué)生產(chǎn)生字母只表示正數(shù)的片面認(rèn)識(shí).要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到積的算術(shù)平方根性質(zhì)與根式的乘法公式是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。綜合應(yīng)用性質(zhì)或乘法公式時(shí)要注意題目中的條件一定要滿足.
教法建議：
1. 由于性質(zhì)、法則和關(guān)系式較集中，在二次根式的計(jì)算、化簡(jiǎn)和應(yīng)用中又相互交錯(cuò)，綜合運(yùn)用，因此要使學(xué)生在認(rèn)識(shí)過(guò)程中脈絡(luò)清楚，條理分明，在教學(xué)時(shí)就一定要逐步有序的展開(kāi).在講解二次根式的乘法時(shí)可以結(jié)合積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，讓學(xué)生把握兩者的關(guān)系。
2. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和 （ ）及比較大小等內(nèi)容都可以通過(guò)從特殊到一般的歸納方法，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算一組具體的式子，引導(dǎo)他們做出一般的結(jié)論。由于歸納是通過(guò)對(duì)一些個(gè)別的、特殊的例子的研究，從表象到本質(zhì)，進(jìn)而猜想出一般的結(jié)論，這種思維過(guò)程對(duì)于初中學(xué)生認(rèn)識(shí)、研究和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律有著重要的作用，所以在教學(xué)中對(duì)于培養(yǎng)的思維品質(zhì)有著重要的作用。
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
二次根式的乘法(一)
一、教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生能夠利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算．
2．會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的乘法運(yùn)算．
3．使學(xué)生能聯(lián)系幾何課中學(xué)習(xí)的勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．
4．使學(xué)生了解比較二次根式的大小的方法．
二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1．重點(diǎn)：會(huì)利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的乘法運(yùn)算．
2．難點(diǎn)：二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用．
三、教學(xué)方法
從特殊到一般總結(jié)歸納的方法，類比的方法，講授與練習(xí)結(jié)合法．
四、教學(xué)手段
利用投影儀．
五、教學(xué)過(guò)程
(一)引入新課
觀察下面的例子：
于是可得到：
又如：
類似地可以得到：
(二)新課
積的算術(shù)平方根．
由前面所舉特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：一般地，有 (a≥0，b≥0)．
積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積．
要注意a≥0、b≥0的條件，因?yàn)橹挥衋、b都是非負(fù)數(shù)公式才能成立，這里要啟發(fā)學(xué)生為什么必須a≥0、b≥0．在本章中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有字母都表示正數(shù)，下面啟發(fā)學(xué)生從運(yùn)算順序看，等號(hào)左邊是將非負(fù)數(shù)a、b先做乘法求積，再開(kāi)方求積的算術(shù)平方根，等號(hào)右邊是先分別求a、b的兩因數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個(gè)算術(shù)平方根的積．
根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可以對(duì)二次根式進(jìn)行恒等變形，或?qū)⒂械囊蚴竭m當(dāng)改變移到根號(hào)外邊，或?qū)⒏?hào)外邊的非負(fù)因式平方后移到根號(hào)內(nèi)．
例1 把下面各數(shù)分解因數(shù)：
(1)20； (2)42； (3)63； (4)128．
說(shuō)明：通過(guò)本題復(fù)習(xí)分解因數(shù)，為利用積的算術(shù)平方根公式化簡(jiǎn)二次根式打下基礎(chǔ)．
解：略．
例2 化簡(jiǎn)：
�。�1） �。�2）
（3） �。�4）
分析：本題需要用積的算術(shù)平方根公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，題目中的被開(kāi)方數(shù)都是具體數(shù)字，學(xué)生便于理解，在講完例2后可以總結(jié)化簡(jiǎn)的方法．
解：（1）
�。�2）
（3）
�。�4）
說(shuō)明：① (a≥0，b≥0)可以推廣為 (a≥0，b≥0，c≥0)．
�、谶@個(gè)小題與本章章頭圖與章序言的內(nèi)容有聯(lián)系，解答了章序言中提出的一個(gè)問(wèn)題．
③ (4)小題要首先用平方差公式分解成積的形式，才可以用積的算術(shù)平方根公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
④通過(guò)例2可以看出，如果一個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)中有的因式(或因數(shù))能開(kāi)得盡方，可以利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將這些因式(或因數(shù))開(kāi)出來(lái)，從而將二次根式化簡(jiǎn)．
通過(guò)例2，我們根據(jù)算術(shù)平方根的定義，可得出： ， ， 等結(jié)果，于是可以總結(jié)出：一般地，有
（a≥0）
關(guān)于a＜0時(shí)， ，這種情況將在本章最后一小節(jié)專門(mén)研究.
例3 化簡(jiǎn)：
（1） ； �。�2）
分析：由例3，讓學(xué)生注意，在本章中，未加特別說(shuō)明時(shí)，字母一般表示正數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中不一定非是正數(shù)不可，如第(1)小題，a可以是負(fù)數(shù)，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)小組的討論，滲透分類討論的思想．
解：（1）
（2）
說(shuō)明：x2+y2這個(gè)式子不能再開(kāi)方了，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)積的算術(shù)平方根公式的特點(diǎn)．
例4 如右圖，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．
解：∵ AB2=AC2+BC2
∴
(cm)
答：AB長(zhǎng)26cm．
(三)小結(jié)
1．本節(jié)課講了積的算術(shù)平方根的性質(zhì)
(a≥0，b≥0)．
通過(guò)分式的應(yīng)用，讓學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)，為什么必須有a≥0、b≥0這個(gè)條件，而沒(méi)有這個(gè)條件上述性質(zhì)不成立．
問(wèn)學(xué)生：當(dāng)a＜0，b＜0， 也有意義，為什么一定要a≥0、b≥0呢？
引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出：若a＜0，b＜0， ， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有意義. 公式顯然不成立．
2．利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，化簡(jiǎn)二次根式的方法．
3．結(jié)合幾何課學(xué)習(xí)的勾股定理，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
(四)練習(xí)
1． 化簡(jiǎn)：
�。�1） ； �。�2） ；
（3） ； �。�4） ；
�。�5） ; (6) ；
�。�7） ； （8）
2． 計(jì)算：
�。�1） ； �。�2） ；
�。�3） ； （4）
3．已知一個(gè)直角三角形的斜邊c=21，一條直角邊b＝4，求另一條直角邊a．
六、作業(yè)
教材P．177習(xí)題11．2； A組1、2、3、4、5．
七、板書(shū)設(shè)計(jì)
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