兩點之間線段最短教案

    兩點之間,線段最短     北京市東直門中學 杜開龍      
    設計思想
    (1)國家數(shù)學課程標準指出:義務教育階段的數(shù)學課程,其基本出發(fā)點是促進學生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學自身的特點,更應遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律,強調從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā),讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程,進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。
    (2)初一學生從基礎知識,基本技能和思維水平以及學習方式等方面有一個逐步適應和提高的過程。因此,在進行教學設計時,必須時時考慮到新初一學生的學習實際,既不能盲目拔高,也不能搞簡單化的結論式教學。在新課改的過程中,教學設計應立足于學生實際,從大處著眼,深入挖掘教材內(nèi)容的素質教育功能。
    (3)數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學,是師生之間、學生之間交往互動與共同發(fā)展的過程。數(shù)學教學應從學生的實際出發(fā),創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境,引導學生通過實踐、思考、探索、交流,獲得知識,形成技能,發(fā)展思維,學會學習。
    (4)本課題通過對內(nèi)容的挖掘與整理,采用“問題情境──建立模型──解釋、應用與拓展”的模式展開教學,讓學生經(jīng)歷“從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學──在教室里學習數(shù)學──到生活中運用數(shù)學” 這樣一個過程,從而更好地理解數(shù)學知識的意義,發(fā)展應用數(shù)學知識的意識與能力,進一步增強學好數(shù)學的愿望和信心。學生通過本節(jié)從具體情境發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題的學習活動,進一步體會數(shù)學與自然及人類社會的密切聯(lián)系,了解數(shù)學的價值。在互動交流活動中,學習從不同角度理解問題,尋求解決問題的方法,并有效地解決問題。體會在解決問題中與他人合作的重要性。體會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會,去解決日常生活中和其他學科學習中的問題,增強應用數(shù)學的意識。
    教學任務分析
    教
    學
    目
    標
    知識與技能
    理解“兩點之間,線段最短”的結論,并能用這一結論解釋一些簡單的問題。
    數(shù)學思考
    經(jīng)歷觀察、實驗、猜想等數(shù)學活動,發(fā)展合情推理能力,能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。
    解決問題
    初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題,并能應用所學知識解決問題;學會與他人合作,并能與他人交流思維的過程和結果。
    情感態(tài)度價值觀
    能積極參與數(shù)學學習活動,對數(shù)學有好奇心與求知欲;在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗,鍛煉克服困難的意志,建立自信心;初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造。
    重點
    結論的應用過程和拓展問題的探究過程
    難點
    拓展問題的探究過程
    教學流程安排
    活動流程圖
    活動內(nèi)容和目的
    活動1 熱身準備  我想試試
    活動2 課題引入 
    1、幻燈片:組圖
    2、數(shù)學活動
    活動3 新課教學
    解釋、應用與交流
    問題1、怎樣走最近?
    問題2、河道長度
    問題3、九曲橋
    3、拓廣探索與交流——螞蟻爬行最短問題
    活動4 回顧、思考與交流
    以這首小詩,激發(fā)學生大膽參與課堂探究的勇氣。
    以實際問題情境引入,激發(fā)學生學習興趣。
    在解釋、應用與交流中理解數(shù)學內(nèi)容
    引導探究繼續(xù)深入,引發(fā)對問題的深層思考,滲透轉化思想
    學習、反思,提高、升華
    課前準備
    教具
    學具
    補充材料
    課件
    正方體模型
    教學過程設計
    問題與情景
    師生行為
    設計意圖
    熱身準備
    我想試試
    羅賽蒂
    那個說“我想試試”的小孩
    他將登上山巔,
    那個說“我不成”的小孩,
    在山下停步不前。
    “我想試試”每天辦成很多事,
    “我不成”就真一事無成。
    因此你務必說“我想試試”,
    將“我不成”棄于埃塵。
    一、課題引入
    1、幻燈片:組圖
    綠地里本沒有路,走的人多了… …
    你能解釋一下原因何在?
    2、數(shù)學活動:在紙上任意點兩點,用線聯(lián)接它們,量一下它們的長短,比較一下誰最短?
    得出結論
    二、新課教學
    1、出課題:兩點之間,線段最短
    學生朗讀——我想試試
    教師提出問題
   

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學生獨立思考,小組交流后回答
    教師布置數(shù)學活動
    學生分組進行活動,給出探究結論。
    教師板書課題
    以這首小詩,激發(fā)學生大膽參與課堂探究的勇氣。
    以實際問題情境引入,激發(fā)學生學習興趣,引入本節(jié)課題
    動手具體做一做,在做中領悟數(shù)學
    2、解釋、應用與交流
    問題1、怎樣走最近?
    如圖1,從A地到B地有四條道路,除它們外能否再修一條從A地到B地的最短道路?
    教師提出問題
    學生思考、討論,發(fā)表看法
    教師注意對學生幾何語言的訓練(強調“連接AB”)
    在解釋、應用與交流中理解數(shù)學內(nèi)容
    問題2、河道長度
    如圖2,把原來彎曲的河道改直,A、B兩地間的河道長度有什么變化?
    圖2
    問題3、九曲橋
    (2)如圖3,公園里設計了曲折迂回的橋,這樣做對游人觀賞湖面風光有什么影響?與修一座筆直的橋相比,這樣做是否增加了游人在橋上行走的路程?說出其中的道理。
    圖3
    你還能舉出一些類似的例子嗎?
    小貓看見魚,小狗看見骨頭后會怎樣運動?
    有人過馬路到對面的商店去,但沒有走人行道,為什么呢?
    其他
    學生獨立思考、小組討論、組間交流,發(fā)表看法,相互評價
    設置三個問題,通過解釋、應用與交流活動,強化理解所學新知。
    理解的四個層次:1、可以結合自己的體驗或用自己的話闡述復雜概念;2、進行聯(lián)想、比喻及推論;3、在新環(huán)境中能解決問題;
    4、做出創(chuàng)新。
    舉例也是考察學生對事物真正理解與否的方式之一。
    3、拓廣探索與交流
    螞蟻爬行路線最短問題
    如圖4,一只螞蟻要從正方體的一個頂點A沿表面爬行到頂點B,怎樣爬行路線最短?如果要爬行到頂點C呢?
    4
    圖
    利用手中的正方體具體實驗一下,告訴大家你的結論。
    學生獨立思考,小組實驗、探究與交流,組間相互評價
    動手實驗,自主探究,合作交流。
    發(fā)表觀點,引發(fā)思考
    引導探究繼續(xù)深入,引發(fā)對問題的深層思考,達到理解的第三層次。力爭達到第四層次,學生作出創(chuàng)新。
    道理暫時說不出不要緊。關鍵是在活動中獲得的副產(chǎn)品。
    三、回顧、思考與交流
    設想自己是一名園林設計師或者是一名管理者,在進行公共綠地設計時對情境一的一些思考與探討能給你一些什么啟發(fā)。
    四、作業(yè)
    對螞蟻爬行最短問題的再思考:如果螞蟻在長方體的一個頂點上,如果螞蟻在圓柱上,這時問題發(fā)生怎樣的變化?問題如何解?
    請把你對此問題的研究寫成數(shù)學小作文,注意寫出自己的情感體驗。
    學習思考、組內(nèi)交流、組間交流
    學習、反思,提高、升華
    效果檢測
    1、通過課堂學習活動的展示與交流,學生對學生進行相互評價
    2、在學習活動過程中教師注意及時地鼓勵、指導、點評,實施過程評價
    3、課后要求學生“螞蟻爬行最短”問題進行繼續(xù)研究,并寫出數(shù)學小作文。
    附件──本節(jié)課的后續(xù)影響的例舉
    關于最短路徑思考
    黃博陽
    我們已經(jīng)學過“兩點之間,線段最短”這個數(shù)學公理了。這看似簡單的八個字蘊涵著許多奧妙,將它擴展、延伸可得到一個最短路徑問題、即求連接A、B兩點的線段中哪一條最短。
    當A、B在同一平面內(nèi)時,即使是從北京到天津,我們也可以輕松地利用“兩點之間,線段最短”得出線段AB是A、B兩點間的最短路徑(如圖1-1)。
    圖1-1
    有人會說:“這也太簡單了!”別著急,請看下面這道題(如圖2-1):
    圖2-1
    有一位將軍騎著馬要從A地走到B地,但途中要到水邊喂馬喝一次水,則將軍怎樣走最近。這道題乍一看似乎無從下手。但經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點之間,線段最短”來解決問題,具體方法為:做B點與河面的對稱點B',連接AB',可得到馬喝水的地方C(如圖2-2)。
    圖2-2
    再連接CB得到這道題的解A→C→B。這就是著名的“將軍飲馬”問題。不信的話你可以在河邊任意取一點C'連接AC'和C'B,比較一下就知道了。
    明白了剛才的平面問題,接下來看看立體圖形問題(如圖3-1)。
    圖3-1
    求點A到點C'的最短路徑是那一條。此時已不在同一平面內(nèi),不能直接利用公理解決問題。此時,就要利用數(shù)學中的轉化思想,把立體圖形轉化成平面圖形來研究(如圖3-2)。
    圖3-2
    從而得到兩條最短路徑:A→BC→C'和A→CD→C'。同理,還可以得出6條最短路徑來(如圖3-345)。
    圖3-3            圖3-4         圖3-5
    分別為:A→BC→C'、A→CD→C'、A→DD'→C'、A→BB'→C'、A→A'D'→C'、A→A'B'→C'。
    那長方體的最短路徑呢?我們來看一下這題(如圖4-1)
    圖4-1
    從A'到C,不經(jīng)過A'B'C'D'和ABCD兩面,怎樣走最近?我們不如先不考慮第二個條件,從上題可知有六條最短路徑,但此題與上題略有不同──長方體各面不相等,因此我們需比較那條路徑最短。觀察發(fā)現(xiàn)這六條路徑,兩兩長度相等,即只比較這三條路徑誰更短就可以了(如圖4-23)。
    圖4-2&n

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bsp;                   圖4-3
    解:設長方體長、寬、高分別為x、y、z,依題意,得:
    ①=
    ②=
    ③=
    ∵ 2xy>2xz>2yz
    ∴ ③<②<①
    即走第三條路徑最短。
    得到從A'到C的路徑中從A'→BB'→C和A'→DD'→C最短,與第二個已知條件無關。
    平面是這樣,那曲面呢?我們再看一題(如圖5-1),從A到B,怎樣走最近呢?與前兩題相同,把圓柱體展開(如圖5-2),此時,只有A點位于與長方形的交界處時,才是最短路徑,且只有一條最短路徑AB。
    圖5-1               圖5-2
    從上面幾題可以看出立體圖形中的最短路徑問題,都可先把立題圖形轉化成平面圖形再思考。而且得出正方體有6條最短路徑;長方體有2條最短路徑;圓柱有1條最短路徑。這短短的八個字還真是奧妙無窮啊!
    教師注:初一剛入學不久的學生,能把問題一個問題表述得如此清晰,很是難能可貴。不足之處是在對圓柱體問題的探究中考慮不周,有其他可能未進行探究。繼續(xù)努力,力爭把問題研究的更清楚、更透徹。
    兩點之間線段最短的探究與再思考
    原靜雯
    初一上學期,我們學習了兩點之間線段最短的知識,并利用它作了一節(jié)課,相信大家對它還是記憶猶新的。自從那次課后,不知大家有沒有進行更深的思考,小人不才,愿用這貧乏的文字,說一說我的想法。
    探究問題一:已知,A,B在直線L的兩側,在L上求一點,使得PA+PB最小。(如圖所示)
    解:根據(jù)兩點之間線段最短的基本概念,只用連接AB即可輕松的得到答案。如圖所示。線段AB與直線L的交點,就是題目要求的點P。
    總結:本題雖然十分簡單,但卻是所有有關本類題目難題的基礎,是必須要牢記與掌握的。下面一題,就是上一題的變形,你還會做嗎?
    探究問題二:已知,A,B在直線L的同一側,在L上求一點,使得PA+PB最小。(如圖所示)
    解:本題的難點不在于解題過程,而在于解題的思想,往往大家不能正確的找到解題的思路。那么,我就在此拋磚引玉,說說我的看法。首先,作點B關于L的對稱點B',(如圖所示),因為OB'=OB,∠BOP=∠B',OP=OP,所以△OPB≌△OPB'。所以,PB=PB'。因此,求AP+BP就相當于求AP+PB'。這樣,復雜的問題便通過轉化變得簡單,成了探究問題一。因此只用連接AB'即可,與直線L的交點,就是題目要求的點P。
    結論:我們完全也可以把以上的結論當作一個模塊牢記下來,成為自己解題的方法之一。
    探究問題三:A是銳角MON內(nèi)部任意一點,在∠MON的兩邊OM,ON上各取一點B,C,組成三角形,使三角形周長最小。(如圖所示)
    解:利用探究問題二的結論,作A與OM的對稱點D,再作A與ON的對稱點E。連接DE(如圖所示),據(jù)上題鋪墊,我們可得,AB=BD,AC=CE,又因為D,B,C,E在一條直線上,所以,這時的周長是最短的。
    總結:本題可總結為“三角形的一點決定”。下面我們看一看四邊形一邊確定。
    探究問題四:AB是銳角MON內(nèi)部一條線段,在角MON的兩邊OM,ON上各取一點C,D組成四邊形,使四邊形周長最小。(如圖所示)
    解:有了上一題的鋪墊,本題似乎簡單了許多,作A關于OM的對稱點E,再作B關于ON的對稱點F,連接EF即可。如圖。ABCD便是周長最小的。
    (2)下面我把上一題簡單變形,把銳角變?yōu)橹苯?大家再看,本圖有沒有似曾相識之感?對了,我們見過的,只用把兩條直角邊所在直線看作是一個平面直角坐標系,再把AB兩點固定位置,這樣,就變?yōu)榱嗽驴几郊宇}中的最后一題。
    原題:在直角坐標系中,有四個點A(-8,3)、B(-4,5)、C(0, n)、D(m,o),當四邊形ABCD的周長最短時,求m/n的值。
    解:依題意畫圖得:
    由探究問題四得知,作B關于Y軸的對稱點B',A關于X軸的對稱點A'。連接A'B',他們與X軸,Y軸的交點便為所求。如圖所示,過A'與B'兩點的直線的函數(shù)解析式可求。設過A'與B'兩點的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b.
    依題意得:-8k+b=-3, 4k+b=5
    解得,k=2/3,b=7/3
    所以,(0,n)為(o,7/3)
    (m,o)為(-3.5,o)
    所以,m/n=-2/3
    以上,便就是我對此問題的一些想法,復雜費解的問題是不是簡單了許多?好理解了許多呢?
    來源:人教網(wǎng)

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